Förändringshastigheter och Derivata - Kedjeregeln

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 5

Förändringshastigheter och Derivata – Kedjeregeln

Derivata

Video

I den här videon går vi igenom hur förändringshastigheter och derivator kan beskriva olika samband som innehåller inre och yttre funktioner. Uppgifterna som vi går igenom kan ses som tillämpningar på kedjeregeln.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 500+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 3500+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 KR
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.

Vad tycker du om videon?

3 votes, average: 4,67 out of 53 votes, average: 4,67 out of 53 votes, average: 4,67 out of 53 votes, average: 4,67 out of 53 votes, average: 4,67 out of 5
3
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
5

Text

Exempel i videon

  • Beskrivning av ett samband för att förstå förändringshastigheten av volymen för en sfär vid en viss tidpunkt.
  • När volymen för en digital kub växer så ökar sidan s med 2 cm/sekund. Med vilken hastighet ökar volymen då sidan är 12 cm?
  • Volymen för en sfärisk ballong ökar vid en tidpunkt med 24 cm³/s. Hur snabbt ökar radien då denna är 20 cm vid tidpunkten?

Kedjeregeln

Vissa funktioner kan beskrivas har inre funktioner och yttre funktioner och när dessa deriveras används kedjeregeln. Dessa funktioner kallas för sammansatta funktioner.

Sammansatta funktioner

Funktionen $ y = f(g(x)) $ är en sammansatt funktion där $f(g(x))$ är den yttre funktionen och $g(x)$ är den inre funktionen.

Sammansatta funktioners derivata – Kedjeregeln

Derivatan av en sammansatt funktion ges av kedjeregeln vilken säger att
$ y´= f´(g(x))⋅g´(x) $

där

$ f´(g(x)) $ kallas den yttre derivatan och $g´(x)$ den inre derivatan.

Nedan följer några exempel på derivata för sammansatta funktioner.

Exempel 1

$ f(x) = sin^2x $ har den yttre funktionen $ u^2 $ och den inre $ u = sinx $.
Derivatan blir då $ f´(x) = 2sinx⋅cosx $

Exempel 2

$ f(x) = 4cos(10x+2) $ har den yttre funktionen $ 4cosu $ och den inre $ u = 10x+2 $.
Derivatan blir då $ f´(x) = -4sin(10x+2)⋅10 = -40sin(10x+2) $

Exempel 3

$ f(x) = (3x+2)^3 $ har den yttre funktionen $ u^3 $ och den inre $ u = 3x+2 $.
Derivatan blir då $ f´(x) = 3(3x+2)^2⋅3=9(3x+2)^2 $

Olika sätt att beskriva derivata

När vi tillämpar kedjeregeln är det viktigt att veta vilken variabel som vi deriverar med avseende på. Därför behöver vi förtydliga sättet vi beskriver derivatan.

Om vi exempelvis har en funktion $ y = 4ab + b^2 $ och vill derivera denna med avseende på variabeln $ b $ kan vi skriva det som $ \frac{dy}{db} $ vilket kan läsas som ”derivatan av y med avseende på variabeln b”. När vi då deriverar denna funktion ser vi alla andra variabler som konstanter och behandlar dem som detta.

Då gäller exempelvis att
$ \frac{dy}{db} = 4a + 2b $.

Om vi istället deriverar y med avseende på variabeln a får vi
$ \frac{dy}{da} = 4b $.
Här ser vi istället variabeln b som en konstant.

Förändringshastigheter och derivata – Tillämpning av Kedjeregeln

Om sidan för en kub ökar med tiden så kommer volymen för kuben förstås även den att öka. Vi kan då säga följande om sambandet mellan volymens ökning med tiden och sidans ökning:

  • Volymen beror av hur lång sidan är och beräknas med hjälp av $ V = s^3 $.
  • Sidan beror på tiden så vi kan säga att det finns en inre funktion $  s(t) $ och volymen kan då beskrivas med $ V = (s(t))^3 $.

Vi kan då ställa upp sambandet

$ \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{ds}⋅\frac{ds}{dt} $

Dvs att Förändringshastigheten av Volymen med avseende på tiden är lika med förändringshastighen av volymen med avseende på sidan som i sin tur har en inre funktion. Denna inre funktion är förändringshastigheten av sidan med avseende på tiden.

Exempel 4

Volymen för en kub minskar i ett tidsintervall med $ 8 \, m^3 / h$. Bestäm hur snabbt sidan $s$ minskar då denna vid en tidpunkt är $ 10 m $.

Lösning:

Här vet vi att $ \frac{dV}{dt} = -8 \, m^3/h $.

$ \frac{dV}{ds} = 3s^2 $ och sätter vi in $ s=10\,m $ får vi $  \frac{dV}{ds} =  300 $.

Vi kan då ställa upp sambandet

$ \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{ds}⋅\frac{ds}{dt} ⇔ $

$ -8 = 300⋅\frac{ds}{dt} ⇔ $

$  \frac{ds}{dt} = \frac{-8}{300}  ≈ -0,0266$

Alltså gäller att sidan minskar med $ 0,0266 \, m/h $

Kommentarer

  1. Fråga 5 innehåller fel. Volymen ökar med 20 cm^3 inte 20cm^2.
    När a = 5 blir dv/da = 3*5^2= 75 , inte 50 som det står i lösningen.

    adriankd@kth.se
    1. Hej
      Tack för att du sade till om detta, det är korrigerat i uppgiften!

      Simon Rybrand
      1. Hejsan, det verkar som svaret fortfarande är fel, det står fortfarande att att 3*5^2=50 och inte 75.

        Pauline Mengel
        1. Hej
          Ja det verkar vi ha missat att ändra konstigt nog. Nu skall det dock vara fixat!

          Simon Rybrand
  2. I avsnittet Olika sätt att beskriva derivata ska det stå
    dy/da=4b inte 4ab som det står nu.
    För övrigt har jag stor nytta av era genomgångar!
    /Anders,

    Grillska gymnasiet Uppsala
    1. Kul att du gillar genomgångarna!
      Texten är fixad, tack för att du sade till!

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: