Dubbelspalt och gitter

Vi har ju då i tidigare lektioner sett att ljus uppvisar vågegenskaper, dels reflektion och brytning, men även diffraktion och interferens. Bl.a. tittade vi översiktligt på det s.k. dubbelspaltsexperimentet där man låter exempelvis rött laserljus falla mot ett hinder med två smala spalter i. Laserljus är ljus med en bestämd våglängd, s.k. monokromatiskt ljus. Det är alltså inte en blandning av olika våglängder som t.ex. vitt ljus.

Principskissen här visar experimentet sett uppifrån. Spalterna fungerar då som två punktkällor som är fas. En sträcka längre fram finns en skärm som registrerar ljuset som tar sig igenom spalterna. I figuren visas framsidan av skärmen uppåt men den är egentligen riktad mot spalterna.

Eftersom det uppstår ett interferensmönster på skärmen, dvs. vi får omväxlande ljusa och mörka partier, s.k. maxima och minima, precis som för mekaniska vågor, så kan vi dra slutsatsen att ljus också verkar vara en vågrörelse.

Att det bildas ett interferensmönster beror på att vågorna från respektive spalt färdas olika långt innan de träffar skärmen. De kan då antingen kan vara i fas, dvs. att två vågtoppar eller två vågdalar möts och förstärker varandra, vilket ger ljusa områden på skärmen, alternativt ur fas, dvs. att en vågtopp möter en vågdal och därmed släcker ut varandra, vilket ger mörka områden på skärmen.

Vi ska titta lite noggrannare på detta och se om vi kan lista ut exakt var det bildas maxima och minima. Vi förenklar figuren och ritar in en symmetrilinje vid centralmax. Spalterna ser vi som punktkällor och kallar dem för $S_1$S₁ respektive $S_2$S₂ och avståndet mellan dem för $d$d. Avståndet från spalterna till skärmen betecknar vi med $l$l och avståndet från centralmax till en godtycklig punkt $P$P på skärmen för $y$y. Till sist betecknar vi avståndet från spalterna till en godtycklig punkt $P$P  på skärmen för $s_1$s₁ respektive $s_2$s₂ samt vinkeln mellan symmetrilinjen som utgår från mittpunkten mellan spalterna till punkten $P$P  för $\theta$θ.

För att det ska bildas konstruktiv interferens i punkten $P$P, dvs. ett maxima, krävs att vägskillnaden delta $\bigtriangleup s=s_2-s_1$△s=s₂−s₁ från vågkällorna till skärmen är ett helt antal våglängder. Dvs.  $\bigtriangleup s=n\text{λ}$△s=nλ,  där $n$n anger vilket maxima det handlar om, $n=0$n=0 är centralmax,  $n=1$n=1 är första maxima osv, dvs. $n\ge0$n≥0.

För att det istället ska bildas destruktiv interferens i punkten $P$P så krävs att vägskillnaden $\bigtriangleup s$△s är udda antal halva våglängder, dvs. $\frac{\text{λ}}{2}$λ2 , $\frac{3\text{λ}}{2}$3λ2  $\frac{5\text{λ}}{2}$5λ2 , osv… Detta kan vi skriva som $\bigtriangleup s=\left(n-\frac{1}{2}\right)\text{λ}$△s=(n−12 )λ, där $n\ge1$n≥1 .

För att hitta ett utryck för $\bigtriangleup s$△s så zoomar vi in på området kring spalterna. Vi ser att det är lite längre från S2 till P än från S1 och vägskillnaden deltas är markerat i figuren.

Om vi gör antagandet att skärmen är mycket långt från spalterna dvs. att  $l$l >> $d$d så kan strålarna från $s_1$s₁ respektive $s_2$s₂ anses vara parallella. Detta gör att vi kan approximera triangeln i figuren som rätvinklig och sträckan deltas motsvarar den kortare kateten i triangeln.

Med lite geometri ser vi att vinkeln $\theta$θ är den spetsiga vinkeln i tringeln och med lite trigonometri får vi att deltas då kan skrivas $\bigtriangleup s=d\cdot\sin\theta$△s=d·sinθ.

Ersätter vi $\bigtriangleup s$△s i vilkoren för ljusmaxima och ljusminima så får vi $d\cdot\sin\theta=n\text{λ}$d·sinθ=nλ för maxima och $d\cdot\sin\theta=\left(n-\frac{1}{2}\right)\text{λ}$d·sinθ=(n−12 )λ för minima.

För att kunna mäta våglängder mer noggrant så kan man förstärka effekten hos dubbelspaltexperimentet genom att istället för att använda två spalter i stället använda ett s.k. gitter. Ett gitter är en tunn skiva som innehåller väldigt många tunna spalter som är placerade på ett jämnt avstånd $d$d från varandra. Det kan röra sig om att istället för två spalter så har ett gitter exempelvis $1000$1000 spalter/mm. Avståndet $d$d mellan spalterna kallas i det här avseendet för gitterkonstanten. Laserljuset träffar alla spalterna samtidigt och de agerar nu som en stor mängd vågkällor som är i fas. En fördel med detta är att vi nu får mycket skarpare maxima och kan därmed göra noggrannare mätningar. 

Man kan enkelt visa att villkoren för maxima när det gäller gitter ser likadant ut som för en dubbelspalt, med den skillnaden att $d$d nu motsvarar gitterkonstanten, alltså avståndet mellan två intilliggande spalter i gittret. Sambandet kallas nu för ”Gitterformeln” och fungerar likadant som för dubbelspalt.