Derivera sin x och cos x - Kedjeregeln - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 4

Derivera sin x och cos x – Kedjeregeln

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videon går vi igenom hur man tar fram derivatan till funktionerna $ y=sinx $ och $y=cosx$ samt hur kedjeregeln kan användas för att derivera sammansatta funktioner.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 500+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 3500+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 KR
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
8 votes, average: 3,88 out of 58 votes, average: 3,88 out of 58 votes, average: 3,88 out of 58 votes, average: 3,88 out of 58 votes, average: 3,88 out of 5
8
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

2
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
MEDELPOÄNG
ALLA
1

Text

Exempel i videon

  • Derivera $ f(x)=2sinx $.
  • Derivera $ f(x)=-sinx $.
  • Derivera $ f(x)=2x+cosx $.
  • Derivera $ f(x)=sin(4x) $.
  • Derivera $ f(x)=2sinx $.
  • Derivera $ f(x)=sin^2x $.
  • Derivera $ f(x)=2cos(3x+1) $.
  • Derivera $ f(x)=\sqrt{x+1}$.

Deriveringsregler för cosinus och sinus

För funktioner som innehåller sinus, cosinus och tangens gäller att att de har följande derivator.

$ y = sinx $ har derivatan $ y´=cosx $

$ y = cosx $ har derivatan $ y´=-sinx $

$ y = tanx $ har derivatan $ y´=\frac{1}{cos^2x} $

Kedjeregeln

När man har en funktion som består av en ”inre” funktion behöver man använda den så kallade kedjeregeln för att kunna derivera rätt. Denna säger att om man har en funktione enligt $f(g(x))$ så blir derivatan av denna $f ’(g(x)) \cdot g’(x)$. Dvs man tar den yttre derivatan och multiplicerar med den inre derivatan.

$ y=f(g(x))$ har derivatan $ f´(g(x)) \cdot g´(x) $

Exempel på att derivera med kedjeregeln

Nedan följer två exempel på hur du kan se den inre funktionen och derivera med hjälp av kedjeregeln.

Exempel 1

Derivera $ f(x)=sin^3x $.

Lösning:

Här gäller att den inre funktionen är $ u=sinx$ och den yttre blir då $ u^3 $.

$ f´(x)=3sin^2x \cdot cosx $

Exempel 2

Derivera $ f(x)=cos(4x-90) $.

Lösning:

Här gäller att den inre funktionen är $ u=4x-90$ och den yttre blir då $ cosu $.

$ f´(x)=-sin(4x-90) \cdot 4 = -4sin(4x-90) $

Kommentarer

  1. Hej! Jag försöker lösa följande tal men utan att lyckas: $ sin^4(2x-1) $. Fyran efter sin är upphöjt. Ger detta tal dubbla inre och yttre funktioner och derivata?

    Gunilla Jacobsson
    1. Hej Gunilla,
      Ja det stämmer att det ger ”dubbla” inre funktioner då även den inre funktionen har en inre funktion.
      Vi har alltså
      $ y = sin^4(2x-1) = (sin(2x-1))^4 $
      Derivatan blir då
      $ y ‘ = 4(sin(2x-1))^3⋅( cos(2x – 1)⋅2 ) = $
      $ y ‘ = 4(sin(2x-1))^3⋅2cos(2x – 1) = $
      $ y ‘ = 8sin^3(2x-1)⋅cos(2x – 1) $

      Simon Rybrand
      1. Tack Simon! Vet inte om jag hade klarat matematik 4 utan matematikvideo. Rekommenderar den här sidan till alla mina vänner som pluggar matte!

        Gunilla Jacobsson
  2. Tjena Simon! Har en fråga gällande derivering. Om en inre funktion ser ut t.ex. så här: (x – 5a), deriverar man endast x? eller även 5a? Antingen bara 1, eller 1 – 5 som blir isåfall -4?

    David Stephan
    1. Hej David,
      Antagligen så är det så att med a menas en konstant, dvs ett tal, så denna konstant deriveras som vilken konstant som helst. Så om vi exempelvis har funktionen
      $ f(x) = (x – 5a)^3 $
      $ f'(x) = 3(x – 5a)^2 \cdot 1 $
      för att derivatan av x – 5a är 1 – 0 = 1

      Simon Rybrand
  3. Jag anade att det talet var en konstant 🙂 Tack Simon för en grym sida! Du hjälper många genom att förenkla matten, och inte som många läroverk gör, dvs. komplicerar mer än nödvändigt.

    David Stephan
  4. Hej! Jag har fastnat på en typ av tal som jag inte hittar i din video.

    sin(3x-pi/4)

    2cos pi-3x/12

    Jätte snällt om du ville förklara dessa! Det är svårt att de vad som är inre och yttre derivata…

    emmaknutsdotter
    1. Hej, det brukar vara lite krångligt att komma på vad som är inre och yttre derivata i början så det får man träna på en del.
      I funktionen y = sin(3x-pi/4) så har du den inre derivatan inom parantesen, så derivatan är
      $ y’ = cos(3x – \pi/4) \cdot 3 = 3cos(3x – \pi/4) $

      Den andra derivatan löser du på samma vis.

      Simon Rybrand
  5. Hej!
    Jag undrar hur man deriverar sinx/2 ?

    Sebastian
    1. Hej Sebastian, när man deriverar det så får du
      $ f´(x) = \frac{cosx}{2} $

      Simon Rybrand
  6. Hej och tack för en mycket bra sida som kommer rädda mina studier! Jag har lärt mig mer på några minuter här än efter ett helt kapitel i boken!

    Jag är dock lite osäker på en uppgift. y=(2+cosx)^3
    Jag har följ din video och kommit fram till följande.
    Inre funktionen:(2+cos x)=u
    Inre derivata: u’=-sinx
    Yttre funktionen: u^3
    Yttre derivata: 3u^2=3(2+cosx)^2
    Detta ger:
    y’=3u^2∙u’ = 3(2+cosx)^2∙(-sinx) =3(cosx)^2 ∙(- sinx)

    När jag skriver in funktionen på tex wolfram alpha så står det att derivatan till funktionen blir:
    -3(2+cos(x))^2∙sin(x)

    Vart har jag gjort fel i min uträkning? Eller är det så enkelt att man multiplicerat -1 framför sin x med 3an framför första parentesen? Borde man inte ta bort konstanten 2 när man deriverar?

    Mvh
    Kattis

    kattla
    1. Hej Kattis, du är mycket nära rätt lösning där och det är bara den yttre derivatan som blir fel, du tar bort 2:an där vilket du inte skall göra. Jag skriver derivatan här och förenklar den även så att du ser likheten med wolfram:
      $ y = (2+cosx)^3 $
      $ y´ = 3⋅(2+cosx)^2 ⋅ (-sinx) = $
      $ -3⋅(2+cosx)^2 ⋅ sinx $
      På slutet läggs minustecknet framför 3:an istället, hoppas att detta hjälper dig att förstå!

      Simon Rybrand
      1. Tack så mycket!

        kattla
  7. Hej Simon!
    Jag har slutprov övermorgon. Det känns mycket mindre nervös nu när jag pluggar med hjälp av matematikvideo. Jag rekomenderar denna sida till alla mina vänner som pluggar matte med:)
    Den perfekta undervisningen!
    TACK!

    Med vänlig hälsning,
    Leila

    Leila
    1. Kul att höra, lycka till med provet!

      Simon Rybrand
  8. Sista frågan som kattla ställde:
    Jag har svarat så:
    -3 sin x (2+cos x)^2
    Har jag svarat rätt?

    Leila
    1. Hej, ja det är samma sak som vi nämner ovan.

      Simon Rybrand
  9. Hej jag har försökt lösa det här talet men jag får olika svar

    En tangent dras till kurvan i X= Pi/3
    Ange tangentens ekvation
    Då y= 2sin(X+2)

    Tack på förhand!

    Maria
  10. hej Simon!
    jag har en fråga här som jag inte kunde lösa
    bestäm det exakta värde f´ ( pi/4)
    f(X)= sinx/2 – cosx/3 ?
    hur ska man bestämma exakta värde här ?

    randsara
    1. Jag antar att du menar
      $ f(x) = \frac{sinx}{2}-\frac{cosx}{3} $

      Först så deriverar du funktionen så att du får:
      $f'(x)=\frac{cosx}{2}+\frac{sinx}{3}$

      Nu sätter vi in $\pi/4$
      $ f'(\pi/4)=\frac{cos(\pi/4)}{2}+\frac{sin(\pi/4)}{3}=$
      (ta fram exakta trigonometriska värden genom exempelvis en formelsamling)
      $ \frac{1/\sqrt{2}}{2}+\frac{1/\sqrt{2}}{3} = $
      $ \frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}} $

      Om du fortfarande är osäker på denna så posta gärna den i vårt forum så tar vi det därifrån!

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: