...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Derivera sin x och cos x - Kedjeregeln

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Deriveringsregler för cosinus och sinus

För funktioner som innehåller sinus, cosinus och tangens gäller att att de har följande derivator.

$ y = sinx $ har derivatan $ y´=cosx $

$ y = cosx $ har derivatan $ y´=-sinx $

$ y = tanx $ har derivatan $ y´=\frac{1}{cos^2x} $

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Kedjeregeln

När man har en funktion som består av en ”inre” funktion behöver man använda den så kallade kedjeregeln för att kunna derivera rätt. Denna säger att om man har en funktione enligt $f(g(x))$ så blir derivatan av denna $f ’(g(x)) \cdot g’(x)$. Dvs man tar den yttre derivatan och multiplicerar med den inre derivatan.

$ y=f(g(x))$ har derivatan $ f´(g(x)) \cdot g´(x) $

Exempel på att derivera med kedjeregeln

Nedan följer två exempel på hur du kan se den inre funktionen och derivera med hjälp av kedjeregeln.

Exempel 1

Derivera $ f(x)=sin^3x $.

Lösning:

Här gäller att den inre funktionen är $ u=sinx$ och den yttre blir då $ u^3 $.

$ f´(x)=3sin^2x \cdot cosx $

Exempel 2

Derivera $ f(x)=cos(4x-90) $.

Lösning:

Här gäller att den inre funktionen är $ u=4x-90$ och den yttre blir då $ cosu $.

$ f´(x)=-sin(4x-90) \cdot 4 = -4sin(4x-90) $

Exempel i videon

  • Derivera $ f(x)=2sinx $.
  • Derivera $ f(x)=-sinx $.
  • Derivera $ f(x)=2x+cosx $.
  • Derivera $ f(x)=sin(4x) $.
  • Derivera $ f(x)=2sinx $.
  • Derivera $ f(x)=sin^2x $.
  • Derivera $ f(x)=2cos(3x+1) $.
  • Derivera $ f(x)=\sqrt{x+1}$.

Kommentarer

randsara

hej Simon!
jag har en fråga här som jag inte kunde lösa
bestäm det exakta värde f´ ( pi/4)
f(X)= sinx/2 – cosx/3 ?
hur ska man bestämma exakta värde här ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Jag antar att du menar
    $ f(x) = \frac{sinx}{2}-\frac{cosx}{3} $

    Först så deriverar du funktionen så att du får:
    $f'(x)=\frac{cosx}{2}+\frac{sinx}{3}$

    Nu sätter vi in $\pi/4$
    $ f'(\pi/4)=\frac{cos(\pi/4)}{2}+\frac{sin(\pi/4)}{3}=$
    (ta fram exakta trigonometriska värden genom exempelvis en formelsamling)
    $ \frac{1/\sqrt{2}}{2}+\frac{1/\sqrt{2}}{3} = $
    $ \frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}} $

Maria

Hej jag har försökt lösa det här talet men jag får olika svar

En tangent dras till kurvan i X= Pi/3
Ange tangentens ekvation
Då y= 2sin(X+2)

Tack på förhand!

Leila

Sista frågan som kattla ställde:
Jag har svarat så:
-3 sin x (2+cos x)^2
Har jag svarat rätt?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, ja det är samma sak som vi nämner ovan.

Leila

Hej Simon!
Jag har slutprov övermorgon. Det känns mycket mindre nervös nu när jag pluggar med hjälp av matematikvideo. Jag rekomenderar denna sida till alla mina vänner som pluggar matte med:)
Den perfekta undervisningen!
TACK!

Med vänlig hälsning,
Leila

    Simon Rybrand (Moderator)

    Kul att höra, lycka till med provet!

kattla

Hej och tack för en mycket bra sida som kommer rädda mina studier! Jag har lärt mig mer på några minuter här än efter ett helt kapitel i boken!

Jag är dock lite osäker på en uppgift. y=(2+cosx)^3
Jag har följ din video och kommit fram till följande.
Inre funktionen:(2+cos x)=u
Inre derivata: u’=-sinx
Yttre funktionen: u^3
Yttre derivata: 3u^2=3(2+cosx)^2
Detta ger:
y’=3u^2∙u’ = 3(2+cosx)^2∙(-sinx) =3(cosx)^2 ∙(- sinx)

När jag skriver in funktionen på tex wolfram alpha så står det att derivatan till funktionen blir:
-3(2+cos(x))^2∙sin(x)

Vart har jag gjort fel i min uträkning? Eller är det så enkelt att man multiplicerat -1 framför sin x med 3an framför första parentesen? Borde man inte ta bort konstanten 2 när man deriverar?

Mvh
Kattis

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Kattis, du är mycket nära rätt lösning där och det är bara den yttre derivatan som blir fel, du tar bort 2:an där vilket du inte skall göra. Jag skriver derivatan här och förenklar den även så att du ser likheten med wolfram:
    $ y = (2+cosx)^3 $
    $ y´ = 3⋅(2+cosx)^2 ⋅ (-sinx) = $
    $ -3⋅(2+cosx)^2 ⋅ sinx $
    På slutet läggs minustecknet framför 3:an istället, hoppas att detta hjälper dig att förstå!

      kattla

      Tack så mycket!

Sebastian

Hej!
Jag undrar hur man deriverar sinx/2 ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Sebastian, när man deriverar det så får du
    $ f´(x) = \frac{cosx}{2} $

emmaknutsdotter

Hej! Jag har fastnat på en typ av tal som jag inte hittar i din video.

sin(3x-pi/4)

2cos pi-3x/12

Jätte snällt om du ville förklara dessa! Det är svårt att de vad som är inre och yttre derivata…

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det brukar vara lite krångligt att komma på vad som är inre och yttre derivata i början så det får man träna på en del.
    I funktionen y = sin(3x-pi/4) så har du den inre derivatan inom parantesen, så derivatan är
    $ y’ = cos(3x – \pi/4) \cdot 3 = 3cos(3x – \pi/4) $

    Den andra derivatan löser du på samma vis.

David Stephan

Jag anade att det talet var en konstant 🙂 Tack Simon för en grym sida! Du hjälper många genom att förenkla matten, och inte som många läroverk gör, dvs. komplicerar mer än nödvändigt.

David Stephan

Tjena Simon! Har en fråga gällande derivering. Om en inre funktion ser ut t.ex. så här: (x – 5a), deriverar man endast x? eller även 5a? Antingen bara 1, eller 1 – 5 som blir isåfall -4?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej David,
    Antagligen så är det så att med a menas en konstant, dvs ett tal, så denna konstant deriveras som vilken konstant som helst. Så om vi exempelvis har funktionen
    $ f(x) = (x – 5a)^3 $
    $ f'(x) = 3(x – 5a)^2 \cdot 1 $
    för att derivatan av x – 5a är 1 – 0 = 1

Gunilla Jacobsson

Hej! Jag försöker lösa följande tal men utan att lyckas: $ sin^4(2x-1) $. Fyran efter sin är upphöjt. Ger detta tal dubbla inre och yttre funktioner och derivata?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Gunilla,
    Ja det stämmer att det ger ”dubbla” inre funktioner då även den inre funktionen har en inre funktion.
    Vi har alltså
    $ y = sin^4(2x-1) = (sin(2x-1))^4 $
    Derivatan blir då
    $ y ’ = 4(sin(2x-1))^3⋅( cos(2x – 1)⋅2 ) = $
    $ y ’ = 4(sin(2x-1))^3⋅2cos(2x – 1) = $
    $ y ’ = 8sin^3(2x-1)⋅cos(2x – 1) $

      Gunilla Jacobsson

      Tack Simon! Vet inte om jag hade klarat matematik 4 utan matematikvideo. Rekommenderar den här sidan till alla mina vänner som pluggar matte!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (2)

  • 1. Premium

    Rapportera fel

    Vad blir derivatan av $f(x)=-\frac{1}{2}sin(x)$?

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel

    Derivera $y=cos(2x+1)$

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar