...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Cirkeln och cirkelns Omkrets och Area

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Här hjälper vi dig att förstå vad en cirkel är och dess omkrets, radie, diameter och area. Vi tar även exempel på areaberäkningar för cirklar.

Cirkeln, radie och diameter

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

cirkeln och dess radie och diameter

En cirkel kan beskrivas som alla punkter som befinner sig på ett visst avstånd (radie) från cirkelns mittpunkt. Den kurva som bildar cirkeln brukar kallas för cirkelns periferi eller cirkelns rand. De viktigaste begreppen som vi behöver känna till för att förstå en cirkel är följande:

  • Mittpunkt – Cirkelns mittpunkt har samma avstånd (radie) till alla punkter på cirkeln.
  • Radie – Avståndet mellan mittpunkten och cirkeln (cirkelns periferi).
  • Diameter – Diametern är dubbelt så lång som radien och går från cirkeln genom mittpunkten till andra sidan av cirkeln.

Sambandet mellan radien och diametern är $d=2\cdot r$d=2·r.

Cirkelns Omkrets och Area

 

Det är inte lika lätt att förstå cirkelns omkrets eller arean som att förstå en kvadrats omkrets och area. Det är svårt att fysiskt mäta en cirkelns omkrets eller area så här behöver vi formler för att kunna göra dessa beräkningar.

För att beräkna både omkrets och area så behövs talet Pi (π ≈ 3,14). Detta tal definieras enligt

$Talet\text{ }Pi\text{ }\left(\pi\right)=\frac{Cirkelns\text{ }omkrets}{Cirkelns\text{ }diameter}\approx3,14$Talet Pi (π)=Cirkelns omkretsCirkelns diameter 3,14.

Med hjälp av denna formel kan vi sedan beskriva omkretsen som $O=\pi\cdot d$O=π·d.

Även för en cirkels area så behöver vi använda oss av  $\pi$π då denna beräknas med hjälp av formeln $Area=\pi\cdot r^2$Area=π·r2.

Formler för omkrets och area

cirkelns omkrets och area

$Omkrets=\pi\cdot d=\pi\cdot2r$Omkrets=π·d=π·2r

$Area=\pi\cdot r^2$Area=π·r2

Exempel på omkretsberäkningar

Exempel 1

En cirkel har radien $2,5$2,5 dm, beräkna dess omkrets.

Lösning:

Om radien är $2,5$2,5 cm så är diametern $2\cdot2,5=5$2·2,5=5 dm.

Då gäller att omkretsen är $\pi\cdot5\approx3,14\cdot5=15,7$π·53,14·5=15,7 dm.

Exempel 2

Använd figuren och beräkna cirkelns omkrets.

Beräkna cirkelns omkrets

Lösning:

Om vi mäter antalet rutor från botten till toppen så ser vi att det är 4 rutor lodrätt. Då två rutor är 1 cm så har cirkeln diametern $d=2\text{ }cm$d=2 cm.

Då gäller att omkretsen är $\pi\cdot2\approx3,14\cdot2=6,28$π·23,14·2=6,28 cm.

Exempel på areaberäkningar

Exempel 3

En cirkel har radien $12$12 cm, vilken är dess area?

Lösning:

Vi använder formeln för cirkelns area och får

$Area=\pi\cdot12^2\approx3,14\cdot144=452,16\text{ }cm^2$Area=π·1223,14·144=452,16 cm2

Exempel 4

En cirkel har omkretsen $10$10  cm, vilken är dess area?

Lösning:

Vi vet att omkretsen är $10$10 cm så då är diametern $\frac{10}{\pi}\approx3,18$10π 3,18 cm.

Radien är då  $\frac{3,18}{2}=1,59$3,182 =1,59 cm.

Vi använder formeln för cirkelns area och får

$Area=\pi\cdot1,59^2\approx3,14\cdot2,5281\approx7,94\text{ }cm^2$Area=π·1,5923,14·2,52817,94 cm2

Cirkelsektor och cirkelbåge

Det finns förstås en hel del fler begrepp, definitioner och satser som är viktiga att känna till om cirkeln. De allra viktigaste och mest grundläggande är att kunna beräkna en cirkels omkrets och area och känna till vad radie, diameter och mittpunkt är. Dessutom kan det i alla fall vara bra att känna till vad en cirkelsektor är för något.

Cirkelsektor

En cirkelsektor kan liknas vid en utskuren tårtbit ur en tårta. Dvs sektorn är en del av cirkeln där storleken (area, vinkel och båge) på sektorn beror på vinkeln $v$v. Arean som cirkelsektorn har är  $\frac{v}{360^{\circ}}\cdot\left(\text{Hela cirkelns area}\right)$v360 ·(Hela cirkelns area).

Så om cirkelsektorn har en vinkel som är $45^{\circ}$45 så är sektorns area  $25\text{ }\%$25 % av hela cirkelns area. Vi kan skriva det här som

$\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot\left(\text{Hela cirkelns area}\right)=\frac{1}{4}\cdot\left(\text{Hela cirkelns area}\right)=0,25\cdot\left(\text{Hela cirkelns area}\right)$90360 ·(Hela cirkelns area)=14 ·(Hela cirkelns area)=0,25·(Hela cirkelns area) .

Vi kan sammanfatta det här i en formel för cirkelsektorns area.

Cirkelsektorns area

$area=\frac{v}{360^{\circ}}\cdot\pi r^2$area=v360 ·πr2

Exempel i videon

  • Bestäm cirkelns omkrets och area (se bild i video).
  • Peter har ritat ut en halvcirkel med hjälp av en passare. Han mäter avståndet mellan passarens två spetsar till 6 cm. Vilken area har halvcirkeln?

Kommentarer

Hans Persson

Sista frågan. I uppgiften står arean=12 m^2. I lösningen har man räknat i cm^2.
Dessutom får man fel om man anger längdenhet i svaret, vilket känns konstigt.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Har korrigerat detta, tack för att du sade till!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken formel beräknar en cirkels omkrets?

    ($r=radie\text{ }och\text{ }d=diameter$r=radie och d=diameter)

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken formel beräknar en cirkels area? ($r=radie\text{ }och\text{ }d=diameter$r=radie och d=diameter)

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Vilken av de geometriska figurerna nedan har störst omkrets? Rektangeln eller cirkeln?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna cirkelns area.

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna cirkelns area.

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel

    Har figur A större area än figur B? (Svara med Ja eller Nej)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R1
    K

    Olle och Arvid jämför två olika geometriska figurer.

    Arvid säger: Cirkeln är störst

    Olle säger: Rektangeln är störst

    Vem av dem har rätt?

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    En cirkel har arean $12\text{ }m^2$12 m2. Vilken är dess radie? (Avrunda $\pi\approx3,14$π3,14 när du löser uppgiften samt ange ditt svar med två decimaler.)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.