Nationellt prov Matematik 4 vt 2015 del B och C

För funktionen $f$ƒ  gäller att  $f\left(x\right)=5\sin4x+3$ƒ (x)=5sin4x+3.

a) Bestäm det största värde som funktionen kan anta.

b) Bestäm $f’\left(x\right)$ƒ ’(x).

I det komplexa talplanet är talet $z$z markerat.

a) Markera talet  $\overline{z}$z  i talplanet.

b) Bestäm  $z\cdot\overline{z}$z·z.

Figuren visar grafen till en funktion $f$ƒ.

Bestäm  $\int_{-3}^0f\left(x\right)dx$∫₋₃⁰ƒ (x)dx.

För de komplexa talen $z$z och $w$w gäller
 $z=7\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right)$z=7(cos5π3 +isin5π3 )  och  $w=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$w=2(cosπ3 +isinπ3 ).

a) Bestäm $\left|\frac{z}{w}\right|$|zw |.

b) Bestäm $\text{arg}\left(\frac{z}{w}\right)$arg(zw ).

Figurerna visar graferna till fyra trigonometriska funktioner.

a) Para ihop följande tre funktioner med rätt graf A–D.

 $y=\sin\left(x\right)+2$y=sin(x)+2  hör ihop med graf:
 $y=\sin\left(2x\right)$y=sin(2x) hör ihop med graf:
 $y=\sin\left(x+\pi\right)$y=sin(x+π) hör ihop med graf:

b) En av graferna A–D går inte att para ihop med någon av de tre funktionerna i a).
Ange en trigonometrisk funktion som har den grafen. 

Bestäm konstanten $a$a så att polynomet  $p\left(x\right)=x^5+2x^4-8x+a$p(x)=x⁵+2x⁴−8x+a  blir delbart med faktorn  $\left(x-1\right)$(x−1).

I koordinatsystemet är kurvan  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) ritad i intervallet  $-4\le x$−4≤x $\le4$≤4.

Använd koordinatsystemet nedan och skissa kurvan  $y=\left|f\left(x\right)\right|$y=|ƒ (x)|  i intervallet  $-4\le x$−4≤x $\le4$≤4.
För att underlätta din skissning är kurvan  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) inritad med en streckad linje.

 $z_1=\cos35^{\circ}+i\sin35^{\circ}$z₁=cos35^∘+isin35^∘ är en rot till ekvationen  $z^9=w$z⁹=w.
Bestäm en annan rot till samma ekvation.

Ange vilket av alternativen A–H som är det bästa närmevärdet till  $\frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}+0,01\right)-\sin\frac{\pi}{3}}{0,01}$sin(π3 +0,01)−sinπ3 0,01  .

A.  $0$0 
B.  $0,01$0,01 
C.  $0,5$0,5 
D.  $1$1
E.  $2$2 
F.  $10$10 
G.  $50$50
H.  $100$100 

Ange en funktion $f$ƒ  som har derivatan  $f’\left(x\right)=24x\left(x^2+1\right)^5$ƒ ’(x)=24x(x²+1)⁵.

Beräkna  $\frac{3+5i}{1+i}$3+5i1+i . Svara på formen  $a+bi$a+bi.

Lös ekvationen  $\sin3x=$sin3x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$√32  

Visa att  $\frac{1-\cos^2x}{\sin x\text{ }\cos x}=$1−cos²xsinx cosx =$\tan x$tanx   för alla $x$x där uttrycken är definierade.

Det skuggade området i figuren begränsas av kurvan  $y=\cos x$y=cosx,  $x$x-axeln och linjen  $x=a$x=a, där  $0<$0<$a$a$<\frac{\pi}{2}$<π2 

Bestäm $a$a så att områdets area blir $\frac{1}{2}$12  a.e.

Intäkten vid försäljning av en vara ges av  $I\left(p\right)=2000p\cdot e^{-0,05p}$I(p)=2000p·e^−0,05p  där $I$I är intäkten i kr/dag och $p$p är varans pris i kr.

Avgör om det finns något pris $p$p som ger maximal intäkt och ange i så fall detta pris.

Parham arbetar med differentialekvationen  $y”+8y=6y’$y”+8y=6y’. Han kommer fram till att  $y=4e^{2x}$y=4e^2x är en lösning till ekvationen och visar resultatet för Aida. Aida studerar ekvationen och säger att det inte kan stämma. Hon menar att siffrorna $4$4 och $2$2 råkat byta plats i Parhams lösning, för lösningen ska vara  $y=2e^{4x}$y=2e^4x enligt Aida.

Undersök om någon av dem har fel.

Kurvan  $y=h-x^2$y=h−x², där $h$h är en positiv konstant, begränsar tillsammans med koordinataxlarna ett område i första kvadranten.

Bestäm $h$h så att områdets area blir $\frac{16}{3}$163  a.e.

Visa att  $\sin345^{\circ}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$sin345^∘=√2−√64 .

Bestäm det minsta värde som funktionen  $y=e^{\sin x\text{ }\cos x}$y=e^{sinx cosx}  kan anta. Svara exakt.

Funktionerna  $f_1$ƒ ₁,  $f_2$ƒ ₂,  $f_3$ƒ ₃  och  $f_4$ƒ ₄  är definierade enligt följande:

Figurerna nedan visar funktionernas grafer $A$A– $D$D för $x>0$x>0.
Alla grafer är ritade i koordinatsystem med samma skala.

Para ihop varje funktion  $f_1-f_4$ƒ ₁−ƒ ₄  med rätt graf A–D. Motivera ditt svar.