Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Komplexa tal och Polynom
Absolutbeloppet och Komplexa konjugatet
Komplexa tal som vektorer
Vi har tidigare sett att ett komplext tal kan representeras av en punkt i det komplexa talplanet. Det komplexa talet kan även beskrivas som en vektor från origo till punken.
Absolutbelopp
Allmänt innebär absolutbeloppet för en vektor storleken av vektorn, dvs riktningen bortses ifrån. När ett komplext tal anges som en vektor i det komplexa talplanet innebär alltså absolutbeloppet längden av vektorn, vilket motsvaras av avståndet mellan origo och vektorns pilspets (punkten för det komplexa talet). Detta avstånd kan bestämmas med hjälp av avståndsformeln, som i sin tur är en omskrivning av Pythagoras sats.
För att beteckna ett absolutbelopp används lodräta streck på varsin sida om talet eller uttrycket. Absolutbeloppet av talet $z$z skrivs $\left|z\right|$|z|.
Definition av absolutbeloppet för ett komplext tal
Om $z=a+bi$z=a+bi gäller att
$\left|z\right|=\left|a+bi\right|=\sqrt{a^2+b^2}$|z|=|a+bi|=√a2+b2
Observera att den imaginära enheten $i$i inte ingår i beräkningen av talets absolutbelopp.
Exempel 1
Bestäm $|z|$|z| då $z=5+12i$z=5+12i .
Lösning
Vi använder oss att definitionen av absolutbeloppet för ett komplext tal.
$|z|=\sqrt{5^2+12^2}=$|z|=√52+122= $\sqrt{25+144}=$√25+144= $\sqrt{169}=13$√169=13
Definitionen av absolutbeloppet gäller även för negativa koordinater.
Exempel 2
Bestäm $|z|$|z| då $z=-2-3i$z=−2−3i.
Lösning
Definitionen av absolutbeloppet för ett komplext tal ger
$|z|=\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(-3\right)^2}=$|z|=√(−2)2+(−3)2= $\sqrt{4+9}=$√4+9= $\sqrt{13}$√13
Eftersom vi vet att $\left(-a\right)^2=a^2$(−a)2=a2 kan denna förenkling göras redan i det första steget.
Exempel 3
Bestäm $|z|$|z| då $z=-4+\sqrt{2}i$z=−4+√2i
Lösning
$\left|z\right|=\sqrt{4^2+\sqrt{2}^2}=$|z|=√42+√22= $\sqrt{16+2}=$√16+2= $\sqrt{18}$√18
Det komplexa konjugatet
Konjugatet till det reella uttrycket $a+b$a+b är $a-b$a−b, dvs tecknet byts för en av termerna. Detta känner du förmodligen igen från konjugatregeln. För ett komplext tal $a+bi$a+bi byts tecknet för den imaginära termen. Det komplexa konjugatet är alltså $a-bi$a−bi . För att ange det komplexa konjugatet används ett horisontellt streck. Konjugatet till det komplexa talet $z$z skrivs $\overline{z}$z och utläses ”z tak”.
Definition av konjugatet för ett komplext tal
Om $ z = a+bi $ gäller att
$ \overline{z}=a-bi $
Exempel 4
Ange det komplexa konjugatet till
a) $z=5-2i$z=5−2i
b) $z=-10+i$z=−10+i
Lösning
För det komplexa talet $z=a-bi$z=a−bi är det komplexa konjugatet enligt definitionen $\overline{z}=a+bi$z=a+bi.
a) För $z=5-2i$z=5−2i är det komplexa konjugatet $\overline{z}=5+2i$z=5+2i.
b) För $z=-10+i$z=−10+i är det komplexa konjugatet $\overline{z}=-10+(-i)=-10-i$z=−10+(−i)=−10−i.
Det komplexa konjugatet i det komplexa talplanet
Om ett komplext tal $z$z och dess konjugat $\overline{z}$z ritas i det komplexa talplanet kommer $z$z och $\overline{z}$z vara varandras spegelbilder på varsin sida om den reella axeln. Detta gäller när talen representeras av punkter, och när de representeras som vektorer.
Nyttan med komplexa konjugat
När ett komplext tal multipliceras med sitt komplexa konjugat enligt $z\cdot\overline{z}$z·z får man ett reellt tal. Detta är mycket användbart vid division med ett komplext tal i nämnaren, vid förenklingar och när man löser ekvationer med komplexa tal. Mer om detta i kommande lektioner.
Exempel 5
Beräkna $z\cdot\overline{z}$z·z om $z=2+3i$z=2+3i.
Lösning
Det komplexa talet $z=2+3i$z=2+3i har konjugatet $\overline{z}=2-3i$z=2−3i.
Vi beräknar produkten med hjälp av konjugatregeln.
$z\cdot\overline{z}=$z·z= $\left(2+3i\right)\cdot\left(2-3i\right)=$(2+3i)·(2−3i)= $4-9i^2$4−9i2
Eftesom $i^2=-1$i2=−1 kan vi förenkla ytterligare.
$4-9i^2=4-9\cdot\left(-1\right)=$4−9i2=4−9·(−1)= $4+9=$4+9= $13$13
Som resultat får vi alltså ett reellt tal $13$13.
För alla komplexa tal $z$z gäller att produkten av $z$z och dess konjugat $\overline{z}$z är ett reellt tal som är större eller lika med noll.
Produkten av ett komplext tal $z$z och dess konjugat $\overline{z}$z
$z\cdot\overline{z}\ge0$z·z≥0
Exempel i videon
- Markera $z = 3 + 4i$ i det komplexa talplanet och beräkna absolutbeloppet.
- Markera $z = -3 – 4i$ i det komplexa talplanet och beräkna absolutbeloppet.
- Bestäm $\overline{z}$ då $z = -5 – 2i$. Markera båda talen i ett det komplexa talplanet.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (8)
-
1. Premium
I det komplexa talplanet är ett komplext tal $z$ markerat. Dra punkten så att den istället representerar $\overline{z}$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Absolutbeloppet och Komplexa konjugatet Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
-
2. Premium
Låt $z=2-3i$, vad är $\overline{z}$?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Absolutbeloppet och Komplexa konjugatet Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
3. Premium
Med vilken sats/regel kan vi beräkna avståndet till ett komplext tal från origo i det komplexa talplanet?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Absolutbeloppet och Komplexa konjugatet Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
4. Premium
Vilket av nedanstående komplexa tal ligger närmast origo i det komplexa talplanet?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Absolutbeloppet och Komplexa konjugatet Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
5. Premium
Låt $z=1+2i$, beräkna absolutbeloppet $|z|$.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Absolutbeloppet och Komplexa konjugatet Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
6. Premium
Låt $z=2-3i$. Beräkna $|z|$.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Absolutbeloppet och Komplexa konjugatet Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
7. Premium
Bestäm $\left|z\right|$|z| då $z=\sqrt{4}+\sqrt{2}i$z=√4+√2i
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: absolutbelopp av komplexa tal komplexa tal absolutbeloppRättar... -
8. Premium
Beräkna $z\cdot\overline{z}$z·z då $z=1+3i$z=1+3i
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Absolutbeloppet och Komplexa konjugatet Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar...c-uppgifter (1)
-
9. Premium
Låt $w$ vara ett komplext tal, vad är $Im(\overline{w})$?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Absolutbeloppet och Komplexa konjugatet Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar...
-
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Diana Wachtmeister
På Fråga 8, så blir det 1-3i+3i-9i^2, vilket jag då tänker blir 1+9i^2 men i svaret så tas i^2 bort, varför blir det så? 🙂
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Diana,
$1-3i+3i-9i^2=1-9i^2$
Negationerna tillhör ju termen direkt efter. Så $-3i$ och $+3i$ tar ut varandra och lämnar kvar $1$ och $-9i^2$
Och då $i^2=-1$ får vi att $1-9i^2=1-9\cdot (-1)=1+9=10$
Hoppas det gick att hänga med på.
rossul alhasnawi
hej
i Exempel 6 du har skrivit
z⋅z¯=(3+3i)⋅(3−3i)=9−9i+9i−3i2
frågan är hur blev det 3i^2 men inte 9i^2 ???? eller
Simon Rybrand (Moderator)
Tack för din kommentar.
Det var fel där i ett steg, det är korrigerat!
darrrrUC
På exempel 2 så är talet z = -3 -4i då borde väll koordinaten vara (-3,-4) men den sätts ut i videon på (-4, -3) Har jag missat något eller är det fel i videon? realdelen är väll -3 och imaginärdelen -4?
mvh Emil
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det har slunkit in ett fel i videon där, det skall ordnas så fort som möjligt. Tack för att du sade till!
thronell
Det där felet är inte rättat ännu 🙂
Mikael144600
Felet är fortfarande kvar 🙂
Simon Rybrand (Moderator)
Nu är det fixat!
natsu25
på fråga 4 skrev du att enligt konjugatregeln blir svaret:
1−3i+3i−9i2=1+9=10.
vad jag inte förstår är hur 1-9i^2 blir 1+9?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, det kommer ifrån att inom området komplexa tal så definierar man $ i^2 = -1 $.
Detta gör att du får
$ 1-9i^2 = 1-9⋅(-1) = 1+9 = 10 $
Sussicake
svaret på nr.3 står att det är roten ur 13. Vart tar minuset på 3an vägen? 🙂
Simon Rybrand (Moderator)
Hej!
Om du beräknar $(-3)^3$ så är detta samma sak som $ (-3)(-3) = 9 $, dvs multiplikation av två negativa tal ger en positiv produkt.
Leila
Tack så mycket!
BotenAnnie
du är grym! tack
Endast Premium-användare kan kommentera.