Tillämpning Trigonometriska modeller

Temperaturen $y \, °C$ i en stad under ett långvarigt högtryck visade sig följa funktionen $y=24-6\sin 15t$ där $t$ är tiden i timmar efter $24.00$ det första dygnet under högtrycket.

Vilken är den lägsta temperaturen under högtrycket?

I en solpanel omvandlas energi från solstrålningen till elektricitet.

Solveig har satt upp en liten solpanel och mäter hur mycket effekt som den ger under några molnfria dagar. Hon upptäcker att mätvärdena varierar periodiskt och anpassar en sinuskurva till mätvärdena. Ekvationen för sinuskurvan blir  $y=390\sin\left(0,26x-2,0\right)+230$y=390sin(0,26x−2,0)+230  där $x$x är tiden i timmar från klockan $00.00$00.00 den $23$23 juli $2020$2020 och $y$y är effekten i watt (W).

Figuren visar hennes mätvärden och den anpassade sinuskurvan.

a) Bestäm hur stor effekten var klockan $19.00$19.00 den $23$23 juli $2020$2020.
Svara med minst två värdesiffror. Endast svar krävs.

b) Bestäm förändringshastigheten för effekten klockan $15.30$15.30 den $23$23 juli $2020$2020 mätt i W/h. Svara med minst två värdesiffror.

På en biljett till One Direction på Friends Arena står det ”Konserten börjar kl. $21.30$21.30. Arenan öppnas kl. $19.30$19.30.”

Enligt en förenklad modell fylls arenan med hastigheten $y$y besökare/minut, där
 $y=280+\left(210+0,583x\right)\cdot\cos\frac{\pi\cdot x}{40}$y=280+(210+0,583x)·cosπ·x40  
och $x$x är tiden i minuter efter att arenan öppnas.

Modellen antas gälla mellan $19.30$19.30 och $21.30$21.30.

Beräkna antalet besökare i arenan då konserten börjar.

Yosef och Zara ritar kurvan  $y=\sin x$y=sinx  på sina digitala verktyg. När de jämför sina kurvor upptäcker de att kurvorna ser olika ut. Se figur.

Förklara varför kurvornas utseende skiljer sig åt på detta sätt.

En betesmark för kor avgränsas av skog och en ringlande bäck enligt figuren nedan.

Enligt en förenklad modell kan bäckens läge beskrivas med  funktionen $f(x)=0,5x+\sin2x+3$ƒ (x)=0,5x+sin2x+3 .
Beräkna betesmarkens area.

Tidvatten är ett fenomen som uppstår på grund av månens dragningskraft på havsvattnet. Under ett dygn uppstår det både ebb (lågvatten) och flod (högvatten). De största skillnaderna mellan ebb och flod på jorden finns vid Newfoundland på Kanadas ostkust.

Enligt en förenklad modell kan vattennivån under ett visst dygn vid Newfoundland beskrivas med funktionen

 $y=8,0+8,0\text{ }\cos0,52x$y=8,0+8,0 cos0,52x 

där $y$y är vattnets höjd i meter jämfört med lägsta vattennivån och $x$x är antalet timmar efter klockan 03.00

a) Bestäm höjdskillnaden mellan högsta och lägsta vattennivån enligt modellen ovan.
     Endast svar krävs 

b) Utgå från modellen ovan och bestäm med vilken hastighet vattnets höjd ändras då klockan är 13.00

Fredrik testar sitt blodtryck med en blodtrycksmätare. Han observerar att blodtryckets högsta värde är $129$129 mmHg och att dess lägsta värde är $83$83 mmHg. Fredrik vill ställa upp en funktion som beskriver blodtrycket och antar att trycket $y$y mmHg varierar enligt sambandet  $y=A\sin kt+B$y=Asinkt+B, där $t$t är tiden i sekunder. Fredrik konstaterar också att tiden mellan två hjärtslag är $1,2$1,2 sekunder, vilket motsvarar perioden för denna funktion.

Bestäm konstanterna $A$A, $B$B och  $k$k.

Under en molnfri dag med $12$12 timmars solljus, kan intensiteten $I$I hos solljuset approximeras med  $I=I_0\text{ }\sin^3\left(\frac{\pi x}{12}\right)$I=I₀ sin³(πx12 ) där $I_0$I₀ är maximal intensitet och $x$x är tiden i timmar efter solens uppgång.

a) Bestäm hur många procent av maximal intensitet som solljuset har $3$3 timmar efter solens uppgång.

En dermatolog (hudläkare) rekommenderar att solskydd används om intensiteten överstiger  $50$50 % av maximal intensitet.

b) Bestäm hur många timmar som solskydd bör användas denna dag enligt rekommendationen.

Figurerna visar graferna till fyra trigonometriska funktioner.

a) Para ihop följande tre funktioner med rätt graf A–D.

 $y=\sin\left(x\right)+2$y=sin(x)+2  hör ihop med graf:
 $y=\sin\left(2x\right)$y=sin(2x) hör ihop med graf:
 $y=\sin\left(x+\pi\right)$y=sin(x+π) hör ihop med graf:

b) En av graferna A–D går inte att para ihop med någon av de tre funktionerna i a).
Ange en trigonometrisk funktion som har den grafen. 

I koordinatsystemet är kurvan  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) ritad i intervallet  $-4\le x$−4≤x $\le4$≤4.

Använd koordinatsystemet nedan och skissa kurvan  $y=\left|f\left(x\right)\right|$y=|ƒ (x)|  i intervallet  $-4\le x$−4≤x $\le4$≤4.
För att underlätta din skissning är kurvan  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) inritad med en streckad linje.

Temperaturen i ett kylrum varierar periodiskt med perioden $4,0$4,0 h, vilket beror på ett krånglande kylaggregat. Temperaturdifferensen mellan den högsta och den lägsta temperaturen är $5,2$5,2°C. Se figur.

Klockan $08.30$08.30 är temperaturen maximal och en timme senare har den sjunkit till $3,9$3,9°C.

Temperaturen i kylrummet kan beskrivas med modellen  $T\left(t\right)=A\cdot\cos\left(Bt+C\right)+D$T(t)=A·cos(Bt+C)+D  där $T\left(t\right)$T(t) är temperaturen i °C och $t$t är tiden i timmar från klockan $00.00$00.00.

Bestäm konstanterna $A$A, $B$B, $C$C och $D$D. Endast svar krävs.

Under ett blåsigt dygn kan vindhastigheten vid ett vindkraftverk beskrivas med modellen

$v\left(x\right)=11\sin\left(0,11x-0,89\right)+28$v(x)=11sin(0,11x−0,89)+28 ,  $0\le x\le24$0≤x≤24

där $v$v är vindhastigheten i km/h och $x$x är tiden i timmar från klockan $00.00$00.00.

a) Bestäm den högsta vindhastigheten under dygnet. Endast svar krävs.

Vid vindhastigheter över $36$36 km/h vinklas rotorbladen för att minska slitage.

b) Bestäm hur lång tid som vindhastigheten är över $36$36 km/h under det aktuella dygnet.

Vid vindhastigheter mellan $0$0 och $36$36 km/h kan mängden elenergi som produceras beräknas med hjälp av sambandet  $P\left(v\right)=0,42\cdot v^3$P(v)=0,42·v³  där $P\left(v\right)$P(v) är mängden producerad elenergi per timme i MJ/h och där $v$v är vindhastigheten i km/h.

Vid vindhastigheter över $36$36 km/h är produktionen av elenergi per timme lika stor som för vindhastigheten $36$36 km/h.

c) Bestäm den totala mängden elenergi som vindkraftverket producerar under dygnet.