Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Integraler
Sannolikhetsfördelning
Innehåll
Sannolikhetsfördelning är ett sätt att med hjälp av en täthetsfunktion beskriva sannolikheter. Ett exempel på sannolikhetsfördelning är normalfördelning (Ma 2) som kan beskrivas med normalfördelningskurvans täthetsfunktion.
Täthetsfunktioner
En täthetsfunktion är en funktion som beskriver hur stor sannolikhet det är att en variabel skall anta ett värde inom en viss mängd. Exempelvis har exponentialfördelning och normalfördelning täthetsfunktioner som beskriver sannolikheter.
I den här lektionen jobbar vi framförallt med normalfördelning.
Normalfördelningskurvans täthetsfunktion
Normalfördelningens täthetsfunktion är
$f\left(x\right)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}$ƒ (x)=1σ√2π ·e−(x−μ)22σ2
där $\mu=medelvärde$μ=medelvärde och $\sigma=standardavvikelse$σ=standardavvikelse
När du ritar ut denna funktion får du kurvan här ovan. Kurvan kallas för normalfördelningskurvan.
Beräkna sannolikheter med integraler
Normalfördelningskurvan kan används till sannolikhetsberäkningar. Vi tar då reda på vilken sannolikhet det är att vi får ett resultat i ett visst intervall. Detta är samma sak som att beräkna arean i det intervallet. Därför kan vi använda integraler för dessa sannolikhetsberäkningar.
För att beräkna sannolikheten att ett värde befinner sig i ett intervall från a till b för ett normalfördelat material blir då
$\int_a^b\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}\text{ }dx$∫ab1σ√2π ·e−(x−μ)22σ2 dx
Denna integral går inte att beräkna algebraiskt då det inte går att ta fram en primitiv funktion. Därför tar vi hjälp av en grafritande räknare eller ett digitalt verktyg för att beräkna dessa integraler.
Så använder du räknaren för att beräkna integraler
Här nedan visar vi två metoder för hur du beräknar dessa integraler på din räknare. En typisk räknare som många använder är Texas Ti-82.
1. fnInt
Funktionen fnInt beräknar en integral genom approximation. I det här fallet kan det vara krångligt att fylla i täthetsfunktionen för normalfördelning då det lätt kan bli fel med parenteser och variabler. Nedan sparar vi standardavvikelse och medelvärde i egna variabler (eller funktioner) för att göra det lättare att göra flera beräkningar med olika värden.
Tryck på VARS > Y-VARS och fyll i funktionerna Y1: (1/(Y2*√(2*π)))*e^(-((X-Y3)^2)/(2*Y2^2)) Y2: Din standardavvikelse Y3: Ditt medelvärde Gå ur och tryck på MATH > fnInt( och fyll i fnInt(Y1, X, undre gräns, övre gräns) Tryck ENTER för att få ditt svar.
2. normalcdf(
Fungerar bara för normalfördelningens täthetsfunktionen men går snabbare än metoden här ovan.
Tryck på DISTR > normalcdf och fyll i normalcdf(Undre gräns, övre gräns, medelvärde, standardavvikelse)
Exempel
Exempel 1
Vid tillverkning av en juiceförpackning i en maskin är volymen normalfördelad med standardavvikelsen 0,04 dl och medelvärdet 10,0 dl. Hur stor sannolikhet är det att förpackningens volym $x\text{ }dl$x dl ligger i intervallet $10,05\le x\le10,1$10,05≤x≤10,1.
Lösning
Här gäller att $\mu=10$μ=10 och $\sigma=0,04$σ=0,04. Därför kan vi ställa upp integralen
$\int_{10,05}^{10,1}\frac{1}{0,04\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{\left(x-10\right)^2}{2\cdot0,04^2}}\text{ }dx$∫10,0510,110,04√2π ·e−(x−10)22·0,042 dx
Vi använder räknaren för att beräkna sannolikheten och får
normalcdf(10.05, 10.1, 10, 0.04) ≈ 0,0995 ≈ 10 %
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Beräkna integralen $\int_{0,01}^{1,3}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$∫0,011,31√x dx med hjälp av din räknare eller ett digitalt hjälpmedel.
Avrunda ditt svar till två decimaler
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: integraler sannolikhetsfördelning täthetsfunktionRättar...2. Premium
Beräkna Integralen med din räknare och svara med två decimaler.
$\int_{79,9}^{81,5}\frac{1}{0,5\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{\left(x-80\right)^2}{2\cdot0,5^2}}\text{ }dx$∫79,981,510,5√2π ·e−(x−80)22·0,52 dx
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: integraler sannolikhetsfördelning täthetsfunktionRättar...3. Premium
Vid en stickprovskontroll i en fabrik som tillverkar spik mätte man $1\text{ }000$1 000 spikar.
Medelvärdet var $80$80 mm och standardavvikelsen $0,5$0,5 mm.
En spik räknas som funktionsduglig om längden ligger mellan $78,2$78,2 och $81,5$81,5 mm.Hur stor är då sannolikheten att en spik kan användas?
Svara i procent och avrunda svaret till en decimal
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: integraler sannolikhetsfördelning täthetsfunktionRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Hur stor sannolikhet är det att ett resultat i de normalfördelade observationerna befinner sig i det rödmarkerade området?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: integraler sannolikhetsfördelning täthetsfunktionRättar...c-uppgifter (1)
-
5. Premium
Vid tillverkning av ett kullager i en maskin är bredden på kullagret normalfördelat med standardavvikelsen $0,01$0,01 mm och har medelvärdet $12$12 mm. Om kullagret är större eller lika med $12,031$12,031 mm måste det slängas.
Hur stor sannolikhet är det att ett kullager måste slängas?
Svara med en decimal
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: integraler sannolikhetsfördelning täthetsfunktionRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Endast Premium-användare kan kommentera.