Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Trigonometri och trigonometriska funktioner
Repetition av Trigonometri
Innehåll
I den här lektionen repeterar vi trigonometrin från Matematik 3 för dig som läser Matematik 4. Vi går igenom sin, cos och tan, enhetscirkeln, trigonometriska ekvationer, areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen.
Samband i rätvinkliga trianglar
För rätvinkliga trianglar gäller följande samband.
$\sin v=$sinv=$\frac{a}{c}=\frac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}$ac =Motstående katetHypotenusa
$\cos v=$cosv= $\frac{b}{c}=\frac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}$bc =Närliggande katetHypotenusa
$\tan v=$tanv= $\frac{a}{b}=\frac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}$ab =Motstående katetNärliggande katet
Enhetscirkeln
Med hjälp av en enhetscirkel utvidgar vi de trigonometriska sambanden $\sin v,\text{ }\cos v$sinv, cosv och $\tan v$tanv till att gälla för alla vinklar $v$v. Enhetscirkeln är mycket användbar för att ta fram nya samband och formler.
Med hjälp av enhetscirkeln kan ett antal samband tas fram. Dessa samband kommer du ha stor nytta av när du i Matematik 4 jobbar med trigonometriska ekvationer och formler.
Sammanfattning av samband
På enhetscirkeln gäller följande.
$\sin v=y$sinv=y
$\cos v=x$cosv=x
$\tan v=$tanv=$\frac{\sin v}{\cos v}$sinvcosv , där $\cos v\ne0$cosv≠0
$\sin\left(180^{\circ}-v\right)=\sin v$sin(180∘−v)=sinv
$\cos\left(180^{\circ}-v\right)=-\cos v$cos(180∘−v)=−cosv
Exempel 1
En punkt $P$P på enhetscirkeln har koordinaterna $\left(0,6;\text{ }0,8\right)$(0,6; 0,8)
Bestäm värdet för $\sin v$sinv, $\cos v$cosv, $\tan v$tanv och vinkeln $v$v med en decimals noggrannhet.
Lösning
Vi vet att punkten $P$P s koordinater är $(0,6;\text{ }0,8)$(0,6; 0,8) och samtidigt vet vi att alla punkter på enhetscirkeln har koordinaterna $(\cos v,\text{ }\sin v)$(cosv, sinv).
Vi kan därmed avgöra att
$\sin v=0,8$sinv=0,8
$\cos v=0,6$cosv=0,6
Därefter kan vi bestämma $\tan v$tanv genom
$\tan v=$tanv=$\frac{\sin v}{\cos v}=\frac{0,8}{0,6}\approx$sinvcosv =0,80,6 ≈$1,3$1,3
Slutligen bestämmer vi vinkeln $v$v genom
$\sin v=0,8$sinv=0,8 arcsin
$v=\arcsin\left(0,8\right)$v=arcsin(0,8)
$v\approx53,1^{\circ}$v≈53,1∘
Trigonometriska ekvationer
En trigonometrisk ekvation är en ekvation som innehåller de trigonometriska sambanden, exempelvis $\sin$sin, $\cos$cos och $\tan$tan. För att exempelvis lösa ekvationer med sinus så används $\arcsin$arcsin eller $\sin^{-1}$sin−1 (sinusinvers). På samma sätt används $\arccos$arccos eller $\cos^{-1}$cos−1 (cosinusinvers) för ekvationer med cosinus och $\arctan$arctan eller $\tan^{-1}$tan−1 (tangensinvers) för ekvationer med tangens.
För att fullständigt lösa dessa ekvationer så använder vi vår förståelse av enhetscirkeln.
Allmän lösning för sinus
$\sin v=a$sinv=a där $-1\le a\le1$−1≤a≤1
Alla lösningar ges av
$v=\sin^{-1}a+n\cdot360°$v=sin−1a+n·360° , $n$n är ett heltal
eller
$v=180°-\sin^{-1}a+n\cdot360°$v=180°−sin−1a+n·360° , $n$n är ett heltal
Vi tittar på ett exempel.
Exempel 2
För vilka vinklar i intervallet $0^{\circ}\le x\le180^{\circ}$0∘≤x≤180∘ gäller att $2\sin x=0,6$2sinx=0,6 ?
Lösning
$2\sin x=0,6$2sinx=0,6 dividera både led med $2$2
$\sin x=0,3$sinx=0,3 ta sinusinversen i båda led
$x=\sin^{-1}0,3$x=sin−10,3
$x\approx17,5^{\circ}$x≈17,5∘
Alla lösningar ges av
$x=17,5^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$x=17,5∘+n·360∘
och
$x=180^{\circ}-17,5^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$x=180∘−17,5∘+n·360∘
$x=162,5^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$x=162,5∘+n·360∘
där $n$n är ett heltal.
Här söktes dock endast lösningarna i intervallet $0^{\circ}\le x\le180^{\circ}$0∘≤x≤180∘ vilket ger oss lösningarna
$x_1=17,5^{\circ}$x1=17,5∘ och $x_2=162,5^{\circ}$x2=162,5∘
Allmän lösning för cosinus
$\cos v=a$cosv=a där $-1\le a\le1$−1≤a≤1
Alla lösningar ges av
$v=\pm\cos^{-1}a+n\cdot360°$v=±cos−1a+n·360° , $n$n är ett heltal
Exempel 3
Lös ekvationen $\cos x=0,7$cosx=0,7 fullständigt och svara med en decimals noggrannhet.
Lösning
$\cos x=0,7$cosx=0,7 ta cosinusinversen i båda led
$x=\pm\cos^{-1}0,7+n\cdot360^{\circ}$x=±cos−10,7+n·360∘ där $n$n är ett heltal.
$x\approx\pm45,6^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$x≈±45,6∘+n·360∘
Areasatssen, sinussatsen och cosinussatsen
De tre triangelsatserna areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen beskrever förhållanden mellan vinklar och siffror i godtyckliga trianglar. Med hjälp av dessa kan du ta reda på okända vinklar, sidor eller areor.
Areasatsen
För en triangel $ABC$ABC ges arean av följande kvot.
$\text{Area}=$Area= $\frac{a\text{ }b\text{ }\sin C}{2}$a b sinC2
där $C$C är mellanliggande vinkel för sidorna $a$a och $b$b
Då det finns tre vinklar i samma triangel gäller så klart att likhet råden mellan följande tre kvoter, eftersom att de alla motsvarar samma triangels area.
$\frac{a\text{ }b\cdot\sin C}{2}=\frac{b\text{ }c\cdot\sin A}{2}=\frac{a\text{ }c\cdot\sin B}{2}$a b·sinC2 =b c·sinA2 =a c·sinB2
Sinussatsen
För en triangel $ABC$ABC gäller att
$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$sinAa =sinBb =sinCc
där sidan $a$a är motstående vinkeln $A$A, sidan $b$b motstående vinkeln $B$B och sidan $c$c motstående vinkel $C$C.
Cosinussatsen
För en triangel $ABC$ABC gäller att
$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos C$c2=a2+b2−2·a·b·cosC
där sidan $a$a är motstående vinkeln $A$A, sidan $b$b motstående vinkeln $B$B och sidan $c$c motstående vinkel $C$C.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (9)
-
1. Premium
Beräkna vinkeln $v$v.
Svara med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Sin, cos och tanLiknande uppgifter: arcsinus okänd vinkel sinus sinusinversen trigonometriRättar...2. Premium
Beräkna sidan $a$a i triangeln.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Sin, cos och tanLiknande uppgifter: cosinus Geometri trigonometriRättar...3. Premium
Bestäm $\cos v$cosv om punkten $P$P har koordinaterna $\left(0,34;\text{ }0,94\right)$(0,34; 0,94)
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: EnhetscirkelnLiknande uppgifter: EnhetscirkelnRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Bestäm $\tan v$tanv om punkten $P$P har koordinaterna $\left(0,47;\text{ }0,88\right)$(0,47; 0,88). Svara med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: EnhetscirkelnLiknande uppgifter: Enhetscirkeln tangens trigonometriRättar...5. Premium
Triangeln $ABC$ABC har har sidorna $AB=12$AB=12 och $AC=10$AC=10 . Dess area är $35\text{ }cm^2$35 cm2. Bestäm vinkeln $A$A.
Svara i hela grader.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: AreasatsenLiknande uppgifter: areasatsenRättar...6. Premium
Ange alla lösningar till $\cos x=-0,2$cosx=−0,2 i intervallet $0^{\circ}\le x\le180^{\circ}$0∘≤x≤180∘
Avrunda svaret till en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Trigonometriska ekvationerLiknande uppgifter: trigonometrisk ekvation trigonometriska ekvationerRättar...7. Premium
Ange den andra vinkeln i intervallet $0<v<360° $ som har samma $y$-värde som punkten $P$.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: EnhetscirkelnLiknande uppgifter: Enhetscirkeln trigonometriRättar...8. Premium
Ange alla lösningar till $\cos x=0,36$cosx=0,36.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Trigonometriska ekvationerLiknande uppgifter: trigonometrisk ekvationRättar...9. Premium
Lös ekvationen $4\sin v=2$4sinv=2 fullständigt.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Trigonometriska ekvationerLiknande uppgifter: trigonometrisk ekvation trigonometriska ekvationerRättar...c-uppgifter (7)
-
10. Premium
Lös denna uppgift utan räknare!
Lös ekvationen $\cos\left(120^{\circ}\right)=-\cos x$cos(120∘)=−cosx
då $0\le x\le180^{\circ}$0≤x≤180∘
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: EnhetscirkelnLiknande uppgifter: Enhetscirkeln trigonometriska sambandRättar...11. Premium
Lös denna uppgift utan räknare!
Lös ekvationen $\sin x=\sin62^{\circ}$sinx=sin62∘
då $0\le x\le180^{\circ}$0≤x≤180∘
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: EnhetscirkelnLiknande uppgifter: Enhetscirkeln trigonometriska ekvationer trigonometriska sambandRättar...12. Premium
Bestäm $\tan u$tanu då $\tan v=$tanv= $\frac{7}{11}$711
Ange exakt svar.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Sin, cos och tanLiknande uppgifter: Geometri tangens trigonometriRättar...13. Premium
Punkten $Q$Q ligger i tredje kvadranten.
Bestäm $Q$Q s $y$y-koordinat, då $\cos v=-\sin w$cosv=−sinw.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: EnhetscirkelnLiknande uppgifter: Enhetscirkeln Geometri trigonometriRättar...14. Premium
Anton och Anya vill veta avståndet mellan två platser, A och B, i skogen. Mellan dessa platser är det besvärligt att ta sig fram. Det är därför svårt för dem att mäta upp avståndet direkt.
Istället väljer de ut två platser C och D som tillsammans med B ligger längs samma linje. Sedan mäter Anton och Anya upp sträckorna AC, AD, BD och CD, se figur. Figuren är inte skalenlig.
Beräkna avståndet mellan A och B.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: CosinussatsenLiknande uppgifter: Cosinussatsen problemlösning trigonometriRättar...15. Premium
Ange koordinaterna till punkten $M$M om punkten $P$P har koordinaterna $\left(-a,\text{ }b\right)$(−a, b)
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: EnhetscirkelnLiknande uppgifter: Enhetscirkeln trigonometriRättar...16. Premium
Figuren visar triangeln $ABC$ABC där en punkt $D$D är markerad på sidan $AC$AC. Några mått och vinklar finns givna i figuren.
Bestäm längden av sträckan $BD$BD genom att använda någon eller några av triangelsatserna (sinussatsen, cosinussatsen och areasatsen).
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Sinussatsen CosinussatsenLiknande uppgifter: cossinussatsen sinussatsen triangelsatsernaRättar...a-uppgifter (2)
-
17. Premium
Figuren visar en enhetscirkel som tangeras av en linje $L$L som är parallell med y-axeln. På linjen $L$L ligger en punkt $Q$Q som har y-koordinaten $t$t. Sträckan mellan origo och punkten $Q$Q bildar vinkeln $v$v med x-axeln.
För vinkeln $v$v gäller att $ 0° < v < 90° $
Bestäm $\cos v$cosv uttryckt i $t$t.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: EnhetscirkelnLiknande uppgifter: cosinus Enhetscirkeln trigonometriska sambandRättar...18. Premium
Armand arbetar som silversmed och hans specialitet är smycken i form av olika geometriska figurer. Han har bestämt sig för att göra ett smycke i form av en triangel. Till sitt förfogande har han en $9,0$9,0 cm lång silvertråd som han kan böja och klippa.
Armand betecknar triangeln $ABC$ABC och bestämmer sig för att vinkeln $A$A ska vara $30^{\circ}$30∘, sidan $AB$AB $4,2$4,2 cm och sidan $BC$BC $3,2$3,2 cm.
Utred på vilket eller vilka sätt smycket kan utformas.
Vilka möjliga längder kan sidan $AC$AC anta?
Avrunda till en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: När sinussatsen ger två fall (lösningar)Liknande uppgifter: Cosinussatsen Geometri sinussatsen trigonometriRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Redigera uppgift Stäng Lägg till uppgift Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Namnet måste vara 4-60 tecken långt. Rapportera fel Lektion
{[{lessonData.title}]}
Kategori
{[{reportType}]}
ID
{[{reportId}]}
Beskriv med minst 10 tecken. Byt kurs Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Köp Premium Avbryt Din skolas prenumeration har gått ut!Övningsuppgifter ej tillgängliga!Stäng Din skolas prenumeration har gått ut!Exempel i videon. 
Logga in
viaeller medGör om alla uppgifter All svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Radera Avbryt Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies. -
Endast Premium-användare kan kommentera.