Kom igång med Algebra i kursen

Om flera termer i ett algebraiskt uttryck är av samma sort så kan vi addera alternativt subtrahera dessa med varandra, så att vi minskar antalet termer i uttrycket.

När man gör detta kallas det att man förenklar uttrycket. Men för att detta skall kunna göras, måste alltså termerna vara av samma sort. 

Anledningen till att vi eftersträvar att förenkla uttrycken är att det ökar tydligheten och överskådligheten av uttrycken. Det kommer vi att ha stor användning av när vi ska visualisera uttrycken som grafer i ett koordinatsystem eller ange olika egenskaper hos uttryck som sammanfogas till funktioner. Men mer om detta senare.

Det man menar när man tala om termer av samma sort är att termerna innehåller samma variabler och att de har samma gradtal. Alltså samma exponent.

Exempelvis gäller att variabeltermerna $x^2$,  $-x^2$ och $6x^2$ är av samma sort. Lika så $a^4$,  $2a^4$ och $-0,3a^4$.

Vi observerar att exponenten inte är den samma och även om variabeln är densamma så räcker alltså inte detta för att ”slå ihop” termerna.

Det beror på att om vi skriver uttrycket i utvecklad form så har vi

 $2x^2+10x-x+5x^2=2\cdot x\cdot x+10\cdot x-1\cdot x+5\cdot x\cdot x$2x²+10x−x+5x²=2·x·x+10·x−1·x+5·x·x

och vi ser att första och sista termen inte anger att antal $x$x utan antal ”$x$x i kvadrat”, vilket inte är det samma.

Viktigt att förstå i detta sammanhang är att $ab$ och $7ba$  är av samma sort, även om det inte är riktigt lika tydlig att först se. Men eftersom att multiplikationen är kommutativ, vilket betyder att faktorer kan byta ordning utan att ändra värde,  $a\cdot b=b\cdot a$a·b=b·a, innehåller termerna variabler med samma exponent, även om de står i ombytt ordning. Alltså är de av samma sort.

Sammanfattningsvis gäller att vid sammanslagning av termer kan koefficienterna till variabeln vara olika, men inte exponenterna.

Vi understryker som följd av detta att $2x$ och $x^2$ varken är samma sak eller av ”samma sort” då de har olika grad, dvs de har olika exponenter och motsvarar $2\cdot x$2·x  respektive $x\cdot x$x·x. Inte heller  $xy^2$xy² och  $xy$xy är av samma sort, eftersom att variabel $y$y har olika exponenter.

Vi påminner om att du skriver potenser på Eddler i kortsvaren eller på GeoGebra på följande vis.

Upphöjt till kan skrivas genom att hålla nere shift och samtidigt trycka på knappen med symbolen ^

Ofta hittar du den på knappen precis till höger om Å.

På vissa digitala hjälpmedel skrivs ^ ut genast, medans det på andra inte skrivs förrän du anger vad du vill ha i exponenten, det vill säga ^ skrivs ut samtidigt som du ex skriver ut exponenten tre i skrivsättet 7^3.

För att förenkla och effektivisera beräkningar med potenser används potenslagarna, även kallade potensreglerna. Dessa kan endast användas när potenserna i uttrycket är skrivna på samma bas.  

Vi påminner igen att du måste du ha samma bas för att potenslagarna skall kunna användas. Har potenserna inte samma bas kan man försöka skriva om dem så att de får samma bas med bibehållet värde. Men det är inte alltid möjligt. I dessa fall får man beräkna uttrycken utan potensregler.

Återvänd till lektionen Potenser och Potenslagar om du känner dig osäker på detta.

Vi kan lösa b) med huvudräkning då vi vet att  $27=9\cdot3=3\cdot3\cdot3=3^3$27=9·3=3·3·3=3³  vilket ger att  $x^3=3^3$x³=3³ och vi ser att  $x=3$x=3.

Återvänd till lektionen Potensekvationer om du känner dig osäker på detta.

Vi tar ett exempel på förenkling av uttryck med parenteser.

Nu är det bara att sätta igång att öva på att förenkla uttryck. Du kommer ha stor användning av att behärska detta även i kommande kurser.

När vi utvecklar uttryck med parenteser, även kallat multiplicera in, ska alla termer i parentesen multipliceras med faktorn.

Vi repeterar följande regler för att ta bort parenteser i algebraiska uttryck. 

Beroende på vad man ska använda sitt uttryck till underlättar det att kunna ange det i antingen i faktorform eller som en utvecklad summa.

När vi svarar samlar vi ihop alla koefficienter, talen som multipliceras med en variabeln, och bildas en ny koefficient av deras produkt och placeras framför variabeln. I exemplet ovan är det koefficienterna $3$3 och $4$4 till variabeln $a$a som multipliceras till produkten $12$12 som alltså blir andra termernas ”förenklade” koefficient.

En annan viktig del i arbetet med algebra är faktorisering. I lektionen Faktorisera algebraiska uttryck gick vi igenom grunderna vid faktorisering. Vi repeterar dem kort här med några exempel. Känner du dig osäker så återvänd till den lektionen för att träna mer.

Man säger att man ”bryter ut” en faktor och förvandlar på så vis en summa till en produkt. Viktigt är att komma ihåg att det man bryter ut måste brytas ut ur alla termer i uttrycket! Vid faktoriseringen skiljs den utbrutna faktorn och det som är kvar av respektive term med en parentes.

Viktigt att komma ihåg är att när du bryter ut en hel terms värde finns ändå en etta kvar i parentesen.

Hade vi inte skrivit med ettan i parentesen är risken att vi fått  $2x\left(x+0\right)=2x^2$2x(x+0)=2x²  som alltså inte är rätt svar!

Den lag vi använder när vi multiplicerar in faktorer i parenteser eller fakotriserar kallas för den distributiva lagen. Vi kommer titta närmre på den i kommande lektion. Lagen säger följande.

Vi kan motivera lagen genom att visa att en rektangels area kan beskrivas på två olika sätt. De två sätten kommer motsvara vänster och högerledet i den distributiva lagen.

Då den stora rektangeln har sidorna $a$a och $b+c$b+c, kan vi uttrycka rektangelns area genom att multiplicera sidornas längder med varandra,  $a\left(b+c\right)$a(b+c).

De två små rektanglarna har sidorna $a$a och $b$b samt  $a$a och $c$c. De mindre rektanglarnas areor får vi genom att multiplicera deras respektive längder med varandra. Vi får att de två rektanglarna  $a\cdot b=ab$a·b=ab och  $a\cdot c=ac$a·c=ac.

Vi faktoriserar algebraiska uttryck med hjälp av att använda den distributiva lagen ”baklänges”.

• Förenkla $(2x^2+2x)-(x^2-2x)$(2x²+2x)−(x²−2x) 
• Förenkla $(3ab^2-2ab)-2(a^2b-2ab)$(3ab²−2ab)−2(a²b−2ab) 
• Bryt ut största möjliga faktor ur $2x^3y-6xy^2$2x³y−6xy² 
• Bestäm $n$n då $\frac{3^5}{3^n}=3^3$3⁵3ⁿ =3³
• Lös ekvationen $2^x\cdot2^{x-4}=16$2^x·2^x−4=16