Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Trigonometri och trigonometriska funktioner
Kurvan till y = a sin x + b cos x
Om vi ritar grafen till funktionen
$y=4\sin x+3\cos x$y=4sinx+3cosx får vi följande.
Vi ser att grafen ser ut som en sinusfunktion, om än någon förskjuten i sidled.
Målet med denna lektion är att lära oss skriva om funktionsuttryck på formen $y=a\text{ }\sin x+b\text{ }\cos x$y=a sinx+b cosx till sinusfunktioner.
Kurvan till y = a sin x + b cos x
När du skriver om dessa typer av funktioner använder du följande samband för att göra detta
Summan av en sinus- och cosinusfunktion
$y=a\sin x+b\cos x$y=asinx+bcosx där $a>0$a>0
kan skrivas som
$y=c\sin\left(x+v\right)$y=csin(x+v)
där amplituden $c=\sqrt{a^2+b^2}$c=√a2+b2 och förskjutningen i sidled $v=\tan^{-1}$v=tan−1$\left(\frac{b}{a}\right)$(ba )
Vinkeln $v$v kommer anges i intervallet $-90°<v<90°$< span=””></v<90°$<>−90°<v<90°.
Exempel 1
Skriv om funktionsuttrycket $y=4\sin x+3\cos x$y=4sinx+3cosx på formen
$y=A\sin\left(x+v\right)$y=Asin(x+v)
Lösning
Vi börjar med att beräkna amplituden $c$c. I vår uppgift är $a=4$a=4 och $b=3$b=3 vilket ger att
$c=\sqrt{a^2+b^2}=$c=√a2+b2= $\sqrt{4^2+3^2}=$√42+32=$\sqrt{25}=5$√25=5
Vidare beräknar vi vinkeln $v$v.
$v=\tan^{-1}$v=tan−1 $\left(\frac{3}{4}\right)$(34 ) $\approx37^{\circ}$≈37∘
Det ger att funktionen på den omskrivna formen är
$y=5\sin\left(x+37^{\circ}\right)$y=5sin(x+37∘)
Härledning
Vi utgår från $y=a\sin x+b\cos x$y=asinx+bcosx och vill skriva om det till funktionen $y=c\sin\left(x+v\right)$y=csin(x+v). Vi tecknar utifrån detta ekvationssystemet
$\begin{cases} y=a\sin x+b\cos x\,\,\,(1) \\ y=c\sin \left(x+v\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{cases}$ $\Leftrightarrow$⇔ skriv om (2) med additionsformeln
$\begin{cases} y={\color{blue}a}\sin x+{\color{red}b}\cos x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ y={\color{blue}c \cos v} \cdot \sin x+ {\color{red}c \sin v} \cdot \cos x \,\,\,(2) \end{cases}$
Ekvation (1) och (2) blir lika med varandra om
$\begin{cases} {\color{blue}a=c \cos v} \\ {\color{red}b=c \sin v} \end{cases}$
Vi bestämmer ett uttryck för $c$c, vilket motsvarar omskrivningen amplitud, genom att först kvadrera ekvationerna
$\begin{cases} a^2= (c \cos v)^2 \\ b^2=(c \sin v)^2 \end{cases}$ $\Leftrightarrow$⇔ skriv om HL med potensregeln $\left(ab\right)^2=a^2b^2$(ab)2=a2b2
$\begin{cases} a^2= c^2 \cos^2 v \\ b^2=c^2 \sin^2 v \end{cases}$
Genom att addera VL och HL med varandra får vi att
$a^2+b^2= c^2 \cos^2 v +c^2 \sin^2 v$ $\Leftrightarrow$⇔ bryt ut $c^2$c2 i HL
$a^2+b^2= c^2 (\cos^2 v + \sin^2 v)$ $\Leftrightarrow$⇔ förenkla med trigonometriska ettan
$a^2+b^2= c^2$ $\Leftrightarrow$⇔ dra roten ur båda led
$c=\sqrt{^2+b^2}$
Vi bestämmer vinkeln $v$v, vilken kommer motsvara kurvans förskjutning i sidled, genom att dividera ekvationerna i systemet $\begin{cases} {\color{blue}a=c \cos v} \\ {\color{red}b=c \sin v} \end{cases}$ ledvis.
$\frac{b}{a}=\frac{c\sin v}{c\cos v}$ba =csinvccosv $\Leftrightarrow$⇔ skriv om/förenkla HL
$\frac{b}{a}=$ba = $\tan v$tanv $\Leftrightarrow$⇔ ta tangensinversen i både led
$v=\tan^{-1}$v=tan−1 $\left(\frac{b}{a}\right)$(ba )
Så nu har du sett hur summan av en sinus och cosinusfunktion kan skrivas om till en sinusfunktion. Och vill du nu utifrån den nya funktionen skriva om den i sin tur till en cosinusfunktion så förskjuter du ju bara den i sidled!
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (7)
-
1. Premium
I figuren visas graferna till $y=\sin x$y=sinx och $y=\cos x$y=cosx.
Beräkna $y=\sin90^{\circ}+\cos90^{\circ}$y=sin90∘+cos90∘
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: EnhetscirkelnRättar...2. Premium
I figuren visas graferna till $y=\sin x$y=sinx och $y=\cos x$y=cosx.
Beräkna värdet för $y=\sin x+\cos x$y=sinx+cosx för
$x=-45^{\circ}$x=−45∘ $x=0^{\circ},\text{ }x=45^{\circ},x=90^{\circ},\text{ }x=135^{\circ},\text{ }x=180^{\circ},\text{ }x=270^{\circ}$x=0∘, x=45∘,x=90∘, x=135∘, x=180∘, x=270∘ och $x=360^{\circ}$x=360∘.
Plotta ut punkterna som bildas av respektive talpar och sammanbind till en graf.
Läs av amplituden och förskjutningen och ange funktionen på formen $y=A\sin\left(x+v\right)$y=Asin(x+v)
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: EnhetscirkelnRättar...3. Premium
Skriv om funktionen $f(x)=3\sin x+4\cos x$ƒ (x)=3sinx+4cosx på formen $y=c\sin\left(x+v\right)$y=csin(x+v)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kurvan till y = a sin x + b cos x Trigonometriska funktionerRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Eva, Jan och Lennart har fått i uppgift att beräkna det största värdet för funktionen $y=7\sin x+2\cos x$y=7sinx+2cosx.
” Det är ju enkel!” utbrister en av dem.
”Det är ju lika med $9$9, eftersom att de två funktionerna har amplituderna $7$7 och $2$2 och det är ju deras största värden! Och $7+2=9$7+2=9!”
Håller du med? Motivera ditt svar.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Trigonometriska funktionerRättar...5. Premium
Vilket är det minsta värdet funktionen $f(x)=3\sin x+4\cos x$ƒ (x)=3sinx+4cosx kan anta?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Amplitud och PeriodLiknande uppgifter: Kurvan till y = a sin x + b cos x Minsta värdet Trigonometriska funktionerRättar...6. Premium
Vilket är det största värdet funktionen $y=2\sin x-5\cos x$y=2sinx−5cosx kan anta?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Amplitud och PeriodLiknande uppgifter: Kurvan till y = a sin x + b cos x största värdet Trigonometriska funktionerRättar...7. Premium
Skriv om funktionen $y=\sin x-\cos x$y=sinx−cosx på formen $y=c\sin\left(x+v\right)$y=csin(x+v).
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kurvan till y = a sin x + b cos x Trigonometriska funktionerRättar...c-uppgifter (1)
-
8. Premium
I figuren visas graferna till $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) och $y=g\left(x\right)$y=g(x).
Skriv funktionsuttrycket $y=c\text{ }\sin\left(x+v\right)$y=c sin(x+v) som motsvarar summan $f\left(x\right)+g\left(x\right)$ƒ (x)+g(x).
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Trigonometriska funktionerRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Eleonora Ahlbäck
Hur löser jag denna uppgift?
Bestäm det exakta värdet av uttrycket sin(v)+cos(v) då tanv=2/5
Simon Rybrand (Moderator)
Här kommer några förslag på hur du kan komma framåt med denna uppgift.
Kanske att du kan använda dig av att
$ tan(v) = \frac{sinv}{cosv} = \frac25 $
vilket ger att
1) $cos(v)=\frac{5}{2}sin(v)$
Nu behöver du ett samband mellan sinus och cosinus för att kunna ta fram värden på dessa. Till detta kan du använda dig av trigonometriska ettan som säger att
$ cos^2v+sin^2v=1 $
Sätt in 1) och då får du att
$(\frac{5}{2}sin(v))^2+(sinv)^2=1⇔$ (bryt ut $sin^2v$)
$sin^2v(\frac52+1)=1⇔$
$\frac72sin^2v=1$
$sin^2{v}=1 \big/\frac72$
$sin^2{v}=\frac27$
$sin{v}=\pm \sqrt{\frac27}$
Kanske att detta kan hjälpa dig vidare?
Oliver Bonaccorso
Hej! hur löser man en uppgift som 4sin3x-3cosx? när det är en variabel framför x.. går det fortfarande att lösa uppgiften med hjälp av formeln?
nti_ma4
Om man har en graf, till en funktion f(x) = a sinx + b cosx
som går genom punkterna (0(grader), 2), och (60(grader), 0). Hur bestämmer man konstanterna a och b?
robsonator
sin (2x-15) = 1/√2
hur löser man det?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, detta är en trigonometrisk ekvation som du löser genom att använda arcsin (samma som $ sin^{-1} $). Kolla gärna igenom genomgångarna om dessa typer av ekvationer.
Peter Tatray
Ett alternativt sätt är att begrunda vad 1/√2 är. Enhetskvadraten (kvadraten med sidan 1) har diagonalen √2. Halva diagonalen är då √2/2=1/√2. Därför är det sinus(pi/4) och om man nu tänker på enhetscirkeln så duger också -pi/4.
Vi har då fått 2x-15= pi/4 + 2n*pi och 2x-15=-pi/4 + 2n*pi.
Endast Premium-användare kan kommentera.