Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 3
/ Aritmetik, polynom och rationella Uttryck
Tredjegradsekvationer
Innehåll
Vad är en tredjegradsekvation?
En ekvation, där största exponent för variabeltermerna är talet tre, kallas för en tredjegradsekvation. Den tillhör polynomekvationerna och är, som avslöjas av namnet, av graden tre.
Tredjegradsekvationen i allmän form
$ax^3+bx^2+cx+d=0$ax3+bx2+cx+d=0
där $a$a , $b$b , $c$c och $d$d alla är konstanter.
Så ser du en ekvation, där $x^3$x3 finns med och ingen variabelterm med ett större tal i exponenten, så är det helt enkelt en tredjegradsekvation.
Lösningar, dubbel- och trippelrötter
En tredjegradsekvation har tre lösningar. Men lösningarna kan sammanfalla, alltså vara identiska, vilket gör att de ser ut som bara en eller två lösningar. De kallas då för en trippel- eller dubbelrot.
Viktigt att observera är följande. Det som ser ut att vara en trippelrot grafiskt, kan vara en tredjegradsekvation där en av rötterna är reell och de andra två komplexa. Om ekvationen endast har reella koefficienter är alltid antingen en av lösningarna, eller rötterna som de också kallas, eller alla tre reella lösningar. Vi kan alltså inte ha två reella och en komplex lösning. Ekvationen har då i stället en dubbelrot, alltså reella rötter där två av dem sammanfaller.
Metoder för att lösa tredjegradsekvationer
Det finns tyvärr ingen enkel formel för att lösa tredjegradsekvationer.
Men ofta kan man genom att först faktorisera och sedan använda lösningsmetoder för andragradsekvationen ganska enkelt hitta lösningen ändå.
Exempel 1
Lös ekvationen $x^3-4x^2-5x=0$x3−4x2−5x=0
Lösning:
Vi har en tredjegradsekvation med tredjegradsterm, andragradsterm och en förstagradsterm , men ingen konstantterm. Vi löser den genom att först faktorisera och sedan lösa med en kombination av nollproduktmetoden och PQ.
$x^3-4x^2-5x=0$x3−4x2−5x=0 Bryt ut $x$x
$x(x^2-4x-5)=0$x(x2−4x−5)=0
Den första lösningen ges av nollproduktmetoden och är $x_1=0$x1=0
Vi använder pq-formeln för att ta reda på lösningarna som ges från parentesen genom att sätt den lika med noll.
$x^2-4x-5=0$x2−4x−5=0
$x=2\pm\sqrt{4+5}$x=2±√4+5
$x=2\pm\sqrt{9}$x=2±√9
$x=2\pm3$x=2±3
$ \begin{cases} x_2 =5 \\ x_3 = -1 \end{cases} $
Det tre lösningarna är
$ \begin{cases} x_1=0 \\ x_2 =5 \\ x_3 = -1 \end{cases} $
Exempel 2
Lös ekvationen $2x^3+16=0$2x3+16=0
Lösning:
Då ekvationen bara har en tredjegradsterm och konstantterm använder vi rotmetoden.
$4x^3+32=0$4x3+32=0 Dividerar båda leden med $4$4
$x^3+8=0$x3+8=0 Subtraherar båda leden med $8$8
$x^3=-8$x3=−8 Dra tredjeroten ur båda leden
$ \begin{cases} x_1=-2 \\ x_2 =-2 \\ x_3 = -2 \end{cases} $
Denna ekvation har en reell trippelrot. Alltså alla tre lösningarna på ekvationen är $x=-2$x=−2 .
Man skulle även kunna lösa denna ekvation med två komplexa rötter $x=1\pm i\sqrt{3}$x=1±i√3.
$ \begin{cases} x_1=-2 \\ x_2 =1+i\sqrt3 \\ x_3 =1-i\sqrt3 \end{cases} $
I faktorform skulle den i så fall skrivas som $\left(x+2\right)\left(x+\left(1-i\sqrt{3}\right)\right)\left(x-\left(1-i\sqrt{3}\right)\right)=0$(x+2)(x+(1−i√3))(x−(1−i√3))=0 Men det behöver vi inte tänka på så mycket i denna kurs.
Exempel 3
Lös ekvationen $\left(x+1\right)x^2-\left(x+1\right)4=0$(x+1)x2−(x+1)4=0
Lösning:
Vi börjar med att faktorisera VL.
$\left(x+1\right)x^2-\left(x+1\right)4=0$(x+1)x2−(x+1)4=0 Bryt ut $\left(x+1\right)$(x+1)
$\left(x+1\right)\left(x^2-4\right)=0$(x+1)(x2−4)=0
Med nollprodukt- och kvadratrotsmetoden kan vi nu ta fram lösningarna.
Den första faktorn ger att $x=-1$x=−1 är en lösning eftersom att
$\left(x+1\right)=0$(x+1)=0 Subtrahera båda leden med $1$1
$x=-1$x=−1
Den andra faktorn ger att $x=\pm2$x=±2 eftersom att
$x^2-4=0$x2−4=0 Addera båda leden med $4$4
$x^2=4$x2=4 Dra roten ut båda leden
$x=\pm2$x=±2
Vi får rötterna
$ \begin{cases} x_1=-1 \\ x_2 =2 \\ x_3 = -2 \end{cases} $
Metoder för att lösa andragradsekvationer
Vi repeterar här kort de olika metoderna för att lösa en andragradsekvation.
PQ-formeln
En andragradsekvation med andragradsterm, förstagradsterm och en konstantterm, måste lösas med lösningsformeln. För
$x^2+px+q=0$x2+px+q=0
där $p$p är förstagradstermens koefficient och $q$q motsvarar konstanttermen, gäller att
$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$x1,2=−p2 ±√(p2 )2−q
Nollproduktsmetoden
En andragradsekvation med andragradsterm och förstagradsterm, men ingen konstantterm, kan lösas med nollproduktmetoden.
Antar en av faktorerna värdet noll, blir hela produktens resultat noll.
Andragradsekvationen som i faktorform skrivs
$\left(x-a\right)\left(x-b\right)=0$(x−a)(x−b)=0
har lösningarna $ \begin{cases} x_1=a\\ x_2 =b\end{cases} $
Kvadratrotsmetoden
En andragradsekvation med andragradsterm och konstantterm, men ingen förstagradsterm, kan lösas med kvadratrotsmetoden.
$x^2-a=0$x2−a=0
har lösningarna $ \begin{cases} x_1=\sqrt a\\ x_2 =-\sqrt a\end{cases} $
Grafisk lösning
Läs av ekvationens nollställen.
Exempel i videon
- Lös ekvationen $ x^3 = 27 $.
- Lös ekvationen $ x^3+x^2=0$.
- Lös ekvationen $ x^3-8x^2+7x=0 $.
- Lös ekvationen $ x^3-8x^2+7x=0 $ grafiskt.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Lös ekvationen $ x^3 = 8 $
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: aritmetik Matematik 3 polynom och rationella Uttryck TredjegradsekvationerRättar...2. Premium
Lös ekvationen $ x^3 – 2x^2 = 0 $
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: aritmetik Matematik 3 polynom och rationella Uttryck TredjegradsekvationerRättar...3. Premium
Funktionen $f(x)=x^3-2x^2-x+2$ är ritad i koordinatsystemet nedan.
Ange lösningen till ekvationen $f(x)=0$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: aritmetik Matematik 3 polynom och rationella Uttryck Tredjegradsekvationer tredjegradspolynom.Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Lös ekvationen $ x^3 – 8x^2 – 9x = 0 $
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: aritmetik Matematik 3 polynom och rationella Uttryck TredjegradsekvationerRättar...c-uppgifter (2)
-
5. Premium
Lös ekvationen $2x^3+16=0$2x3+16=0 .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: aritmetik Matematik 3 polynom och rationella Uttryck TredjegradsekvationerRättar...6. Premium
Vilken är rötterna till ekvationen $2x^3-50x=0$2x3−50x=0
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: aritmetik polynom och rationella Uttryck Tredjegradsekvationer tredjegradspolynom.Rättar...a-uppgifter (2)
-
7. Premium
Funktionen $f(x)$ är ritad i koordinatsystemet nedan. Funktionen skär i $y$y -axeln då $y=-16$. Vilken är funktionens formel?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: aritmetik polynom och rationella Uttryck Tredjegradsekvationer tredjegradspolynom.Rättar... -
8. Premium
Skriv polynomet $p(x)$p(x) i faktorform.
$p(x)=2x^3+24x^2-56x$p(x)=2x3+24x2−56x
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: aritmetik faktorform Matematik 3 polynom och rationella Uttryck Tredjegradsekvationer tredjegradspolynom.Rättar... -
-
-
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Kim Ödeving
Hej igen, det har blivit fel i svaret på övning 8, det skall vara 2x(x-2)(x+14). Har kollat med min mattelärare också 🙂
Kim Ödeving
Övning 8, jag förstår inte förklaringen till lösningen. Jag får rätt svar men jag gör på något annat sätt.. :)/ Kim
Andrea Olsson
Eller är det inte en reell lösning?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det finns i det här fallet två reella lösningar och två komplexa. Om du skall hitta de reella lösningarna så är nog en grafisk lösning smidigast. Dvs rita ut funktionen $ f(x)=x^4 – x – 1 $ och läs av när grafen skär x-axeln.
Andrea Olsson
Hej!
Hur löser man en fjärdegradsekvation? Hittar ej det någonstans. Tex x^4 – x – 1 = 0.
Kan man använda pq-formeln för en fjärdegradsekvation eller hur ska man räkna ut den? För att använda sig av nollproduktmetoden måste ju en av lösningarna bli 0 och jag hittar ingen sådan lösning i och med att x:et är upphöjt till 4…
auroralexx
Står x1, x2, x1 som olika svarsalternativ på sista frågan? Knas i HTML? 🙂
Simon Rybrand (Moderator)
Tyvärr inte knas i HTML 😉 utan här är det den mänskliga faktorn som har skrivit i fel. Det är korrigerat.
Amanda
Hej! Jag ska lösa 4x^3-6x^2+x=0 UTAN räknare. Jag förstår att ett x=0.
Simon Rybrand (Moderator)
Denna ekvation kan du faktorisera först:
$ 4x^3-6x^2+x=0 $
$ x(4x^2-6x+1)=0 $
För att få de två andra lösningarna så löser du andragradsekvationen
$ 4x^2-6x+1 = 0 $
(använd pq formeln)
BotenAnnie
hej !
hur gör man om det står att ekvationen ska lösas exakt och du har en faktor till? Alltså,
x^3 + x^2 – 10x +8 =0
här kan jag ju inte bryta ut nåt x väl eftersom jag har + 8 med i slutet?
mvh
Simon Rybrand (Moderator)
Ja om man inte vill jobba med polynomdivision (som ingår i Matematik E) så är nog det enklaste att rita ut funktionen och se vart grafen skär x – axeln, dvs där y = 0.
BotenAnnie
finns det nån kurs du går igenom Binomialsatsen osv ? tex där man utvecklar (3a + 2b)^6
Simon Rybrand (Moderator)
Hej,
I nuläget har vi inget material på binomialsatsen tyvärr.
Vi fyller hela tiden på med mer genomgångar så det kommer säkert att komma så småningom.
Ella
Hur gör man om man om ekvationen ser ut så här
$ x^3 − 6,5x^2 − 13x + 8 = 0 $ har en rot som är x = 0,5.
Simon Rybrand (Moderator)
Ja om man inte vill jobba med polynomdivision (som ingår i Matematik E) så är nog det enklaste att rita ut funktionen
$ f(x) = x^3 − 6,5x^2 − 13x + 8 $ och se vart grafen skär x – axeln, dvs där y = 0.
sara
Hur gör man om det skulle stå $ x^3−8x^2−9x+6=0 $? då går det inte att bryta ut x ?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, det blir direkt då en lite svårare ekvation att lösa algebraiskt. Rent tekniskt brukar man göra så att man gissar sig till en lösning för att sedan göra en polynomdivision för att hitta en faktorisering. Detta ingår i Matematik E och hör kanske inte till Matematik 3 eller Matte C.
Då är det bättre att du gör så att du ritar ut funktionen $ f(x) = x^3−8x^2−9x+6 $ i din grafritande räknare eller i ett grafprogram för att på så vis se när denna är = 0.
nti_ma3
Hej!
Nej jag är på samma uppgift som tidigare,
Hur gör man när man ska bestämma extrempunkter och avgöra om de är lokala maximi eller minimipunkter?
f(x)= x upphöjt till 2 + 5 ?
Vi har suttit i timmar utan något resultat.
När ska man derivera och när är det pq-formeln ?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det är alltså $ f(x) = x^2 + 5 $ och dess extrempunkter?
Detta är ju en andragradsfunktion och de har antingen en maxpunkt eller en minimipunkt. Då vi har en positiv $ x^2 $ term så har vi en minimipunkt då denna kurva alltid är böjd som en positiv mun 🙂
Beräkningen för den uppgiften kan se ut så här:
$ f(x) = x^2 + 5 $
Derivatan blir:
$ f ’ (x) = 2x $
Vi tar reda på när derivatan är 0:
2x = 0
x = 0
Dvs vi har en minimipunkt då x = 0 där y värdet är $ y = 0^2 + 5 $ = 5 och denna minimipunkt har alltså koordinaterna:
(0, 5)
nti_ma3
Vi är flera stycken som suttit flera timmar idag med denna uppgiften men kommer ingenstans..
hur räknar man denna ekvation då det är så få termer ?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, vilken tredjegradsekvation avses? Är det någon i testet här ovan?
nti_ma3
Hur gör man när man ska bestämma extrempunkter och avgöra om de är lokala maximi eller minimipunkter?
f(x)= x upphöjt till 2 + 5 ?
är det pq-formeln här också ? blir helt förvirrad.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, nej det är oftast med hjälp av derivata som du avgör sådana saker. Jag rekommenderar att du kikar igenom genomgångarna om derivata och vad derivatan säger om kurvan/grafen.
Endast Premium-användare kan kommentera.