Derivata

Med hjälp av derivata kan du beskriva förändringshastigheten vid en tidpunkt. Exempelvis kan du tänka dig att en funktion beskriver en bils sträcka. Derivatan av denna funktion beskriver då förändringen av sträckan vid en viss tidpunkt. Därför beskriver då derivatan av funktionen bilens hastighet.

Här nedan kan du läsa en sammanfattning av vad du behöver kunna om derivata på gymnasiet. Framförallt lyfter vi fram de viktigaste begreppen som du lär dig i Matematik 3, 4 och 5.

Gränsvärden och derivatans definition

När du lär dig förstå innebörden av derivata så behöver du börja med gränsvärden och genomsnittlig förändringshastighet. Det beror på att dessa två begrepp är två grundstenar när du lär dig derivatans definition. Derivatans definition ser ut på följande vis:

$f'(x)=$ $\lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Derivatans definition används sedan för att ta fram deriveringsregler för olika typer av funktioner. Därför är det bra om du minst har grundläggande förstålse för hur definitionen fungerar.

De viktiga deriveringsreglerna

Deriveringsregler förenklar sättet som du tar fram derivatan av olika funktionstyper. Exempelvis finns det färdiga deriveringsregler för polynomfunktioner, potensfunktioner och exponentialfunktioner. Framförallt börjar du att lära dig dessa regler i kurserna Matematik 3b och c. Sedan fördjupas deriveringsreglerna from kursen Matematik 4 (se nedan).

Derivata och tangentens lutning

Derivatans värde för en funktion är detsamma som tangentens lutning i en punkt. Därför är denna kunskap viktigt att känna till då den hjälper dig att lösa uppgifter grafiskt eller bestämma ekvationen till tangenten.

Derivatan och grafen

Derivata används även till att beskriva hur funktioner förändras. Därför kan du ta reda på när funktioner växer eller avtar med derivata. Dessutom kan du förstå när en funktion har en maximipunkt eller en minimipunkt. Exempelvis använder du det när du löser optimeringsproblem.

Det kan även vara viktigt att du förstår innebörden av andraderivata. Det beror på att med hjälp av andraderivata kan du se om en punkt på funktionens graf är en minimipunkt eller maximipunkt.

Fördjupning av deriveringsregler

I kursen Matematik 4 får du lära dig fler typer av deriveringsregler. Exempelvis lär du dig att derivera sammansatta funktioner med kedjeregeln och produkter av funktioner med produktregeln. Dessutom lär du dig att derivera kvoter av funktioner med kvotregeln.

Alla dessa regler bygger vidare på grundläggande förståelse av derivatans definition och de första deriveringsreglerna.

Derivata och förändringshastigheter

I matematik 4 fördjupar du dig även i tillämpningar som vi beskriver med sammansatta funktioner. I vissa verkliga skeenden beror en sak på en annan som kan ha en inre funktion. Dessa typer av skeenden benämns som förändringshastigheter och derivata. Exempelvis kan en kubs sida växa med tiden. Kubens volym beror på sidan som i sin tur beror på tiden. Därför har sidan en inre funktion som deriveras med kedjeregeln.

Tolka grafer med asymptoter

En asymptot är en rät linje som grafen till en funktion närmar sig. Du delar upp asymptoter i lodräta, horisontella och sneda asymptoter. Med hjälp av asymptoter och derivata kan du tolka och förstå hur grafer beter sig. Exempelvis kan det röra sig om grafer som inte är definierade för alla x. Därför kan dessa grafer vara lite svårare att snabbt skissa ut för hand.