...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 3
 /   Trigonometri

Cirkelns ekvation

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

En cirkel kan beskrivas med cirkelns ekvation. I ekvationen används cirkelns medelpunkt, radien och en punkt på cirkelns rand.

_________________________________________

Lektionen ingår inte i det centrala innehållet i kursen efter revidering av kursplanering vt21

_________________________________________

Så beskrivs en cirkel med cirkelns ekvation

Genom att tänka oss cirkeln i ett koordinatsystem kan vi teckna följande samband mellan radien, cirkelns medelpunkt och någon punkt på cirkeln rand.

Cirkelns ekvation

Cirkelns ekvation

$r^2=\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2$r2=(xa)2+(yb)2 

där

  •  $r$r  motsvarar cirkelns radie
  • $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y) motsvarar en punkt på cirkelns rand
  • $\left(a,b\right)$(a,b) motsvarar cirkelns medelpunkt

Så om du känner till radien och cirkelns mittpunkt så kan du beskriva alla cirklar med denna ekvation. Punkten $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y) är en godtycklig punkt på cirkelns rand. Alla dessa godtyckliga punkter som har radiens avstånd från cirkelns medelpunkt bildar cirkelns rand. 

Testa själv och se cirkelns ekvation

Dra i punkterna nedan för att se den skapade cirkelns ekvation.

Exempel

Exempel 1

En cirkel har radien $2$2 och medelpunkten $\left(2,\text{ }3\right)$(2, 3). Bestäm cirkelns ekvation.

Lösning

Vi använder radien och medelpunkten till cirkelns ekvation och skriver

 $2^2=\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2$22=(x2)2+(y3)2 där punkten $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y) är en godtycklig punkt på cirkelns rand

Exempel 2

Bestäm radien och medelpunkten för cirkeln med ekvationen $16=\left(x-3\right)^2+\left(x+2\right)^2$16=(x3)2+(x+2)2 

Lösning

Vi jämför den givna ekvationen med formeln för cirkelns ekvation $r^2=\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2$r2=(xa)2+(yb)2

Vi ser nu att då  $4^2=16$42=16 så är cirkelns radie $4$4.

Från $\left(x-3\right)^2$(x3)2 ser vi att medelpunktens $x$x-koordinat är $3$3.

Från $\left(x+2\right)^2$(x+2)2 ser vi att medelpunktens  $y$y-koordinat är $-2$2 . Det beror på att ” $x+2$x+2 ” inne i parentesen kommer från uttrycket $\left(x-\left(-2\right)\right)^2$(x(2))2 vilket avslöjar att  $y$y-koordinaten är $-2$2.

Cirkelns medelpunkt är alltså $\left(3,\text{ }-2\right)$(3, 2).

Exempel 3

Använd figuren och bestäm den utritade cirkelns ekvation.

exempel 3 cirkelns ekvation

Lösning

Vi avläser medelpunkt som har koordinaterna $\left(3,\text{ }3\right)$(3, 3).

Radien är $4$4 l.e. Vi bestämmer den lättast genom att avståndet mellan medelpunkten och den punkt på cirkeln som befinner sig rakt ovanför/rakt nedanför medelpunkten motsvarar en radie.

Vi sätter in dessa värden i cirkelns ekvation och får

 $4^2=\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2$42=(x3)2+(y3)2 

Vi beräknar $4^2$42 och skriver ekvationen som

 $16=\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2$16=(x3)2+(y3)2 

Som vi nämnde är lättast att bestämma radiens längd genom att avläsa punkten på cirkeln rakt ovanför/nedanför medelpunkten. Lite mer omständligt är att använda avståndsformeln, som i sin tur härleds från Pythagoras sats, för att bestämma radien. Det ger samma resultat, men är som sagt lite onödigt krångligt när man fått cirkeln utritad. Om den inte är utritad kan du bli tvungen att använda den för att avgöra vilka punkter i planet som tillhör en cirkel eller ej. Se härledning av cirkelns ekvation nedan.

Cirkelns ekvation och enhetscirkeln

Enhetscirkeln är en speciell typ av cirkel. Där är radien 1 längdenhet och denna cirkel har sin medelpunkt i origo. För enhetscirkeln gäller alltså följande:

  • Medelpunkt = $\left(0,\text{ }0\right)$(0, 0) 
  • Radie =  $1$1

Vi kan därför beskriva enhetscirkeln på följande vis:

 $r^2=\left(x-a\right)^2+\left(x-y\right)^2$r2=(xa)2+(xy)2 

Vi sätter in radien och medelpunkts värden

 $1^2=\left(x-0\right)^2+\left(y-0\right)^2$12=(x0)2+(y0)2 

Då $x-0=x$x0=x och $y-0=y$y0=y  kan enhetscirkeln beskrivas med cirkelns ekvation på följande vis.

 $x^2+y^2=\sqrt{1}$x2+y2=1 

På samma vis kan en cirkel som har radien $3$3 och medelpunkt i origo beskrivas på följande vis:

 $x^2+y^2=\sqrt{3}$x2+y2=3 

Härledning av cirkelns ekvation

När cirkelns ekvation härleds så använder vi avståndsformeln som säger följande. 

Avståndet d mellan två punkter $\left(x_1,\text{ }y_1\right)$(x1, y1) och $\left(x_2,\text{ }y_2\right)$(x2, y2) ges av formeln

 $d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$d=(x2x1)2+(y2y1)2 

Med hjälp av avståndsformeln kan vi beskriva radien.

Härledning av cirkelns ekvation

Vi beskriver alltså radien som avståndet mellan medelpunkt $\left(a,\text{ }b\right)$(a, b) och punkten $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y) på cirkelns rand.

Vi får alltså

 $r=\sqrt{\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2}$r=(xa)2+(yb)2 

Kvadrera nu bägge leden så att vi blir av med roten ur tecknet.

 $r^2=\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2$r2=(xa)2+(yb)2 

Och vi har cirkelns ekvation.

Kommentarer

blake

Är denna lektion tillför Matte 4 nuförtiden?

    Anna Eddler Redaktör (Moderator)

    Hej Christopher,

    lektionen ingår inte längre i Ma4.

Hans Persson

I uppgift 4 här bredvid förstår jag inte informationen att punkten (6,4)
ligger på cirkeln. Det gör den väl inte?

Antonio Isho

Hej!
Hur löser man uppgift 8, finns något lösningsförslag för den uppgiften?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det finns lösningsförslag till alla våra uppgifter! Du klickar bara på glödlampesymbolen efter att du har rättat uppgiften.


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    En cirkel har ekvationen $5^2=\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2$52=(x2)2+(y3)2 

    Vilken är cirkelns radie?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: cirkelns ekvation
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B 1
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22

    Använd figuren och bestäm den utritade cirkelns ekvation.

    övning fig 1

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: cirkelns ekvation
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B 1
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22

    Använd figuren och bestäm den utritade cirkelns ekvation.

    övning fig 2

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: cirkelns ekvation
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22

    I figuren visas en cirkel som tangerar  $x$x-axeln i punkten $\left(4,\text{ }0\right)$(4, 0).
    Punkten $\left(4,\text{ }6\right)$(4, 6)  ligger på cirkeln. Ange cirkelns ekvation.

     

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22

    Bestäm medelpunkten till cirkeln som beskrivs av ekvationen  $8=\left(x-5\right)^2+\left(y-8\right)^2$8=(x5)2+(y8)2 

    Svara på formen (a, b)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: cirkelns ekvation
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R 1
    K
    M NP INGÅR EJ

    Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22

    En cirkel har radien $4$4 och sin medelpunkt i $\left(-1,\text{ }1\right)$(1, 1)

    Vilket av alternativen stämmer för punkten  $\left(2,-1\right)$(2,1)?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 7. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22

    En cirkel har sin medelpunkt i $\left(5,\text{ }3\right)$(5, 3) och en radie som är $5$5.

    Bestäm var cirkeln skär  $x$x-axeln.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: cirkelns ekvation
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B 1
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22

    En cirkel har radien $6$6 och sin medelpunkt i $\left(-2,\text{ }-2\right)$(2, 2).

    En av punkterna $\left(-8,\text{ }-2\right)$(8, 2) och $\left(-8,\text{ }-3\right)$(8, 3) ligger på cirkelns rand.

    Ange vilken!

    Svara på formen (a, b)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: cirkelns ekvation
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/3/0)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K 1
    M NP INGÅR EJ

    Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22

    En cirkel har ekvationen $x^2+x+y^2+4y=1$x2+x+y2+4y=1 

    Bestäm cirkelns area då medelpunkten är $\left(-0,5;\text{ }-2\right)$(0,5; 2).

    Ange svaret avrundat till en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Se mer:Videolektion: Cirkelns ekvation
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 10. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/2)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Uppgiften ingår inte i det centrala innehållet efter revidering av kursplanen vt22

    En cirkel har sin medelpunkt i $\left(1,\text{ }1\right)$(1, 1). Linjen $y=-x-4$y=x4 tangerar cirkelns rand.

    Bestäm cirkelns radie.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se