...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Volymintegraler

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Så beräknas en Volymintegral

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

VolymintegralI den här genomgången börjar vi att ge exempel på volymintegraler. Detta är ett bra sätt att använda integraler för att beräkna volymer som tidigare har varit svåra att beräkna. Själva idén bakom volymintegraler är att vi delar upp volymen i smala skivor (skivmetoden) för att sedan summera alla dessa skivor i kroppen med hjälp av en integral.

Det finns två olika sätt att använda sig av volymintegraler. Dels kan du skiva upp kroppen horisontellt (i x – led) eller lodrätt (i y – led). Det som då är viktigt att ha med sig när du gör detta är att när man gör det horisontellt skall variablerna i integralen beskrivas med $x$ och gör du det lodrätt skall variablerna skrivas med hjälp av $y$.

Metod för att beräkna volymintegraler

Det finns ett sätt att tänka strukturerat kring beräkning av volymintegraler. Det handlar övergripande om att:

  1. Börja med att först ta fram en formel för att beräkna volymen för en skiva.
  2. Detta gör du genom att först välja om du skall beräkna den i x – led eller i y – led. Om du beräknar den i x – led får du bredden Δx och i y – led bredden Δy på skivan. Ställ sedan upp en formel för att beräkna volymen för en skiva.
  3. Använd en integral för att beräkna volymen (summera alla skivors volym) för hela kroppen.

Ett exempel på beräkning av en volymintegral

Beräkna volymen som bildas då linjen $ y=2x $ snurras runt x-axeln i intervallet $ 0≤x≤2 $

Lösning:

Volymen för en skiva ges av

$ \pi ⋅ r^2 ⋅ Δx = $ $ \pi ⋅ y^2 ⋅ Δx = $ $ \pi ⋅ (2x)^2 ⋅ Δx= $ $\pi ⋅ 4x^2 ⋅ Δx $

Hela volymen ges av integralberäkningen

$ \int\limits_0^2 (\pi ⋅ 4x^2 ) dx  = $ $ \left[ \pi \frac{4x^3}{3} \right]_0^2 $

$ \pi \frac{4⋅2^3}{3} $ $ = \frac{32}{3}\pi \, v.e ≈ 10,667\pi \, v.e $

Exempel i videon

  • Linjen $y=x$ snurrar runt $x-axeln$ så att en kon bildas. Beräkna volymen i intervallet $ 1≤x≤3 $.
  • Funktionen $ y=x^2 $ snurrar runt y-axeln så att en volym bildas. Beräkna volymen i intervallet $ 0≤y≤4 $.

Kommentarer

John Winlund

Varför i tredje exemplet när vi byter ut x^2 så blir det bara y? I exempel två så blev ju y^2 = x^2 …

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Det är för att vi har funktionen $ y = x^2 $ så när vi har radien $x^2$ så är det samma sak som y.
    Här skall vi också integrera i y-led så vi behöver byta ut variabeln x till variabeln y.

    Eller tänker du på när vi tar den primitiva funktionen? Dvs att om $ f(x)=x $ så är den primitiva funktionen $ F(x) = \frac{x^2}{2} $.

Edin

Hur gör man när man byter ut X mot Y om funktionen är Y=5/(1+X)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Du menar om du behöver lösa ut x från formeln
    $ y = \frac{5}{1+x} $?

    I så fall kan du göra enligt följande:
    $ y = \frac{5}{1+x} ⇔ $
    $ 1+x = \frac{5}{y} ⇔ $
    $ x = \frac{5}{y}-1 $

NISSE-MA

Om: pi*r^2*h = pi*y^2*deltax = pi*x^2*deltax
Varför är då…:
pi*r^2*h = pi*x^2*deltax = pi*y*deltay

Alltså varför blir det inte y i kvadrat ???

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det beror på att vi i uppgiften har funktionen $ y = x^2 $ och så när vi byter ut $ x^2 $ så byter vi ut det mot bara y.

    I det här fallet så beräknar vi volymintegralen i y – led så vi behöver skriva integralen med hjälp av variabeln y.

Daniel Fransson

Hej. Ni behöver ändra intervallet i det sista exemplet, så att det är Y och inte X mellan 0 och 4.

Mvh, Daniel.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Daniel och tack för påpekandet, vi ändrar detta omgående.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna volymen som bildas då $ y=\sqrt{x} $ roteras runt $x$-axeln i intervallet $0 ≤ x ≤ 2$.

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna volymen som bildas då $y=e^x$y=ex roteras runt $x$-axeln i intervallet $0\le x\le1$0x1.

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna volymen som bildas då $y=\frac{x^2+1}{2}$y=x2+12  roteras runt  $y$y-axeln i intervallet $1\le x\le3$1x3 .

    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K

    Funktionen $ y=\sqrt{2x} $ roteras runt $x$-axeln. Bestäm volymen som bildas i intervallet $ 0 ≤ x ≤ 2 $.
    Svara utan enhet och använd ”pi” om du vill beskriva talet $\pi$.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K

    Beräkna volymen av den ändliga kropp som bildas då $y=x^2-1$y=x21 roteras runt $x$-axeln.

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K

    Funktionen $y=\frac{a}{x}$y=ax  roteras kring $x$-axeln i intervallet $1\le x\le2$1x2. Bestäm ett värde på konstanten $a$, så att rotationsvolymen som bildas får volymen $8\pi$8π v.e.

    Använd ”pi” om du vill beskriva talet $\pi$.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K

    En funktion roteras kring $x$-axeln. En skiva av den rotationsvolym som bildas har arean $A\left(x\right)=x^2$A(x)=x2. Bestäm volymen som bildas i intervallet $1\le x\le4$1x4 .
    Svara utan enhet och använd ”pi” om du vill beskriva talet $\pi$.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K

    Använd en lämplig rotationsvolym för ta fram en allmän formel för volymen av en cirkulär kon där basradien $r$ är lika lång som höjden.

    (Här innebär A-nivån att ta fram formeln på ett korrekt sätt, inte att klicka i rätt svar. Öva på att göra en fullständig lösning med papper och penna.)

    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.