Volymintegraler - Lär dig att beräkna volymer med integraler

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 4

Volymintegraler

Integraler

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här genomgången introduceras volymintegraler och skivmetoden som är en metod för att beräkna volymer med hjälp av integraler.

Vill du höja mattebetyget? Skaffa PREMIUM!


  • Över 600 videolektioner. Alla moment i din kurs.
  • Över 4000 övningsfrågor med förklaringar.
  • Genomgångar av gamla nationella prov.
  • Plugga i din takt. När du vill. Var du vill.
Ja, jag vill bli bättre med PREMIUM
Prova i 7 dagar för 9 kr.
Ingen bindningstid, avsluta när du vill.
6 votes, average: 5,00 out of 56 votes, average: 5,00 out of 56 votes, average: 5,00 out of 56 votes, average: 5,00 out of 56 votes, average: 5,00 out of 5
6
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
1

Text

Exempel i videon

  • Linjen $y=x$ snurrar runt $x-axeln$ så att en kon bildas. Beräkna volymen i intervallet $ 1≤x≤3 $.
  • Funktionen $ y=x^2 $ snurrar runt y-axeln så att en volym bildas. Beräkna volymen i intervallet $ 0≤y≤4 $.

Så beräknas en Volymintegral

VolymintegralI den här genomgången börjar vi att ge exempel på volymintegraler. Detta är ett bra sätt att använda integraler för att beräkna volymer som tidigare har varit svåra att beräkna. Själva idén bakom volymintegraler är att vi delar upp volymen i smala skivor (skivmetoden) för att sedan summera alla dessa skivor i kroppen med hjälp av en integral.

Det finns två olika sätt att använda sig av volymintegraler. Dels kan du skiva upp kroppen horisontellt (i x – led) eller lodrätt (i y – led). Det som då är viktigt att ha med sig när du gör detta är att när man gör det horisontellt skall variablerna i integralen beskrivas med $x$ och gör du det lodrätt skall variablerna skrivas med hjälp av $y$.

Metod för att beräkna volymintegraler

Det finns ett sätt att tänka strukturerat kring beräkning av volymintegraler. Det handlar övergripande om att:

  1. Börja med att först ta fram en formel för att beräkna volymen för en skiva.
  2. Detta gör du genom att först välja om du skall beräkna den i x – led eller i y – led. Om du beräknar den i x – led får du bredden Δx och i y – led bredden Δy på skivan. Ställ sedan upp en formel för att beräkna volymen för en skiva.
  3. Använd en integral för att beräkna volymen (summera alla skivors volym) för hela kroppen.

Ett exempel på beräkning av en volymintegral

Beräkna volymen som bildas då linjen $ y=2x $ snurras runt x-axeln i intervallet $ 0≤x≤2 $

Lösning:

Volymen för en skiva ges av

$ \pi ⋅ r^2 ⋅ Δx = $ $ \pi ⋅ y^2 ⋅ Δx = $ $ \pi ⋅ (2x)^2 ⋅ Δx= $ $\pi ⋅ 4x^2 ⋅ Δx $

Hela volymen ges av integralberäkningen

$ \int\limits_0^2 (\pi ⋅ 4x^2 ) dx  = $ $ \left[ \pi \frac{4x^3}{3} \right]_0^2 $

$ \pi \frac{4⋅2^3}{3} $ $ = \frac{32}{3}\pi \, v.e ≈ 10,667\pi \, v.e $

Kommentarer

  1. Hej. Ni behöver ändra intervallet i det sista exemplet, så att det är Y och inte X mellan 0 och 4.

    Mvh, Daniel.

    Daniel Fransson
    1. Hej Daniel och tack för påpekandet, vi ändrar detta omgående.

      Simon Rybrand
  2. Om: pi*r^2*h = pi*y^2*deltax = pi*x^2*deltax
    Varför är då…:
    pi*r^2*h = pi*x^2*deltax = pi*y*deltay

    Alltså varför blir det inte y i kvadrat ???

    NISSE-MA
    1. Hej, det beror på att vi i uppgiften har funktionen $ y = x^2 $ och så när vi byter ut $ x^2 $ så byter vi ut det mot bara y.

      I det här fallet så beräknar vi volymintegralen i y – led så vi behöver skriva integralen med hjälp av variabeln y.

      Simon Rybrand
  3. Hur gör man när man byter ut X mot Y om funktionen är Y=5/(1+X)

    Edin
    1. Du menar om du behöver lösa ut x från formeln
      $ y = \frac{5}{1+x} $?

      I så fall kan du göra enligt följande:
      $ y = \frac{5}{1+x} ⇔ $
      $ 1+x = \frac{5}{y} ⇔ $
      $ x = \frac{5}{y}-1 $

      Simon Rybrand
  4. Varför i tredje exemplet när vi byter ut x^2 så blir det bara y? I exempel två så blev ju y^2 = x^2 …

    John Winlund
    1. Hej,
      Det är för att vi har funktionen $ y = x^2 $ så när vi har radien $x^2$ så är det samma sak som y.
      Här skall vi också integrera i y-led så vi behöver byta ut variabeln x till variabeln y.

      Eller tänker du på när vi tar den primitiva funktionen? Dvs att om $ f(x)=x $ så är den primitiva funktionen $ F(x) = \frac{x^2}{2} $.

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: