...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Volymintegraler och Cylindriska skal

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Metoden med cylindriska skal

Metoden går ut på att man kan dela upp vissa kroppar i cylindriska skal/snitt och där dessa skals volym kan beräknas på samma sätt som man beräknar volymen för ett rätblock (låda).

Ett exempel på detta kan vara funktionen $f(x)=8x-4x^2 $ som skapar  volym i bilden nedan om vi låter denna rotera runt y-axeln.

cylindriska-skal-volymintegral

Inne i volymen kan ett cylindriskt skal skapas som kan liknas vid ett rör och det här cylindriska skalet kan ”vecklas” ut till ett rätblock. Rätblocket kommer att ha volymen

$ 2 \pi ⋅ r ⋅ y⋅ Δx = $ $ 2 \pi x f(x) Δx = $ $ 2 \pi (x (8x-4x^2)) Δx = $ $ 2\pi ( 8x^2-4x^3) Δx $.

Sedan kan volymen för alla cylindriska skal beräknas genom integralen

$ \int\limits_0^2  2 \pi (8x^2-4x^3) dx $

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Exempel i videon

  • Beräkna volymen som skapas då vi låter $ y=x-x^2 $ rotera runt y-axeln och begränsas av x-axeln.

Kommentarer

Amal Hussein

Tack så mycket 🙂
Bestäm volymen av den kropp som bildas då området som begränsas av y=x^2 och y=x roterar runt linjen x= -3?
Kan du hjäpa mig med denna med?

Amal Hussein

Bestäm volymen av den rotationskropp som bildas om arean under kurvan f(x) 1/x – 0,1 i första kvadranten roterar runt x-axeln då x>1?
Har fastnat på denna beräkningen:/

    Simon Rybrand (Moderator)

    Volymen för en skiva är:
    $ \pi·r^2·Δx=\pi·(1/x-0,1)^2·Δx $
    Sedan beräknade volymen för alla skivor, dvs volymen från x>1 till a=∞.
    $\pi \int \limits_1^a (1/x-0,1)^2 \, dx$ där $a \to ∞$

Leez

Jag undrar också om ni möjligtvis har lektioner på implicit och explicit derivering?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, nej tyvärr så har vi i nuläget ingenting kring det området.

Leez

Hej!
Jag undrar hur du fick fram 8pi/3 ? För jag får fram att det blir 4pi/3!
Tack! 🙂

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, jag ställer upp integralen enligt:

    $ 2\pi \int\limits_0^2 (2x^2-x^3) dx = $
    $ 2\pi \left[ \frac{2x^3}{3} -\frac{x^4}{4} \right]_0^2 = $
    $ 2\pi (\frac{16}{3} – 4) = 2\pi(\frac{4}{3}) = \frac{8\pi}{3} $


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (3/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL3
    M
    R
    K

    Beräkna volymen som skapas då vi låter $f(x)=2x-x^2$ƒ (x)=2xx2 rotera kring $y$-axeln och begränsas av $x$-axeln.

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Linjerna $y=1$y=1 , $x_1=2$x1=2 och $x_2=3$x2=3 bildar tillsammans med $x$-axeln ett slutet område i första kvadranten. Använd cylindriska skal och beräkna volymen som skapas då detta område roteras kring $y$-axeln.

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (3/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL3
    M
    R
    K

    Beräkna volymen som skapas då vi låter $f(x)=3x^2-x^3$ƒ (x)=3x2x3 rotera kring $y$-axeln och begränsas av $x$-axeln.

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (2/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL21
    M
    R
    K

    Använd metoden med cylindriska skal och beräkna volymen som skapas då det färgade området roteras runt $y$y-axeln.

    Försök sedan att komma på ett alternativt (och gärna enklare) sätt att bestämma rotationsvolymen.

    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Beräkna volymen som bildas då funktionen $y=\sqrt{x}+1$y=x+1 roteras kring $y$-axeln i intervallet $1\le x\le4$1x4 .

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B
    P
    PL3
    M
    R
    K

    Funktionerna $y_1=2x$y1=2x och $y_2=\frac{x^2}{2}$y2=x22  bildar ett slutet område i första kvadranten. Beräkna volymen som skapas då detta område roteras kring $y$-axeln.

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Funktionen $y=\frac{x^2}{2}-2$y=x22 2 och linjen $x=4$x=4 bildar ett slutet område i första kvadranten. Beräkna volymen som skapas då detta område roteras kring $y$-axeln.

    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/3)
    ECA
    B
    P
    PL3
    M
    R
    K

    Beräkna volymen som bildas då funktionen $y=sin\left(x\right)$y=sin(x) roteras kring $y$-axeln i intervallet $0\le x\le2\pi$0x2π.

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar