...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Växande och avtagande funktioner

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

 

Växande och avtagande funktion

Växande och avtagande funktioner

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Genom att studera hur grafens $y$y -värden förändras, när $x$x -värdena ökar kan vi avgöra om grafen är växande eller avtagande i ett intervall.

Lite förenklat kan man sammanfatta växande och avtagande så här.

En funktion är växande då större $x$x -värden även ger att funktionens $y$y-värde ökar.
En funktion är avtagande då större $x$x -värde istället ger att funktionens $y$y-värde minskar.

Mer exakt definierar vi detta som att

Funktionen $f$ƒ  är strängt växande om $f\left(x_1\right)<$ƒ (x1)<$f\left(x_2\right)$ƒ (x2) för alla $x_1$x1 och $x_2$x2 i funktionens definitionsmängd, så länge $x_1<$x1<  $x_2$x2.

Funktionen $f$ƒ  är strängt avtagande om $f\left(x_1\right)>$ƒ (x1)> $f\left(x_2\right)$ƒ (x2) för alla $x_1$x1 och $x_2$x2 i funktionens definitionsmängd, så länge $x_1<$x1<  $x_2$x2.

Om de öppna olikheterna (<) i definitionen byts ut mot slutna olikheter (≤), så talar vi istället om att $f$ƒ  är växande i stället för strängt växande.

Samband mellan derivatan och tangentens lutning

Då derivatan även definieras som tangentens lutning i en punkt, kan vi med hjälp av tangenters lutning avgöra om derivatan är positiv eller negativ.

Samband mellan derivatan och tangentens lutning

Om tangentens lutning är positiv i en punkt, är även derivatan positiv i punkten.

Om tangentens lutning är negativ i en punkt, är även derivatan negativ i punkten.

Om tangentens lutning är lika med noll i en punkt, är även derivatan lika med noll i punkten.

Samband mellan derivatan och tangentens lutning

Samband mellan derivatan och funktionens utseende

Med derivatans hjälp kan vi bestämma hur funktionen förändras i olika punkter. Eftersom att derivatan även definieras som tangentens lutning i punkten, ger tangentens $k$k -värde, värdet på förändring i punkten. Vi får följande samband mellan derivatan och funktionens förändring.

Växande och avtagande

Om funktionen $f$ växer så är $f ´(x) > 0$, derivatan är positiv.

Om funktionen $f$ avtar så är $f ´(x) < 0$, derivatan är negativ.

Om funktion $f$ varken växer eller avtar, har funktionen en extrempunkt. Där gäller att $f ´(x) = 0$.

Växande och avtagande graf

Exempel 1

I vilka intervall är funktionen växande?

Grafen till en polynomfunktion

Lösning:

Funktionen är växande i intervallen där derivatan är positiv. Derivatan är positiv i de punkter där tangentens lutning är positiv. Vi markera dessa områden i grafen med blått.

Växande och avtagande graf

Vi kan nu läsa av, att de intervall där funktionen är växande är för  $x<$x< $a$a  och  $b<$b<$x<$x<$c$c.

Derivatan och funktionens extrempunkter

I punkten där funktionen går från att ha varit växande till att bli avtagande eller tvärt omså har funktionen en så kallad extrempunkt. Det är den punkt där funktionsvärdet varken ökar eller minskar. Förändringen i punkten är noll.

Extrempunkt är ett samlingsnamn för vetrex, alltså minimi- och maximipunkter, samt terrasspunkter.  Vi kommer att gå igenom detta mer ingående i lektionen om Nollställen och teckentabeller.

Exempel i videon

  • Exempel på hur derivatan beter sig utifrån en utritad funktion (tredjegradsfunktion).
  • Företaget ”Roligare nu” gör StandUp Comedy föreställningar. Chefen Per har modellerat en funktion för att beskriva intäkterna $ I(x) $ beroende på biljettpriset $x$ kr. Funktionen han har är $ I(x)=1000x-10x^2 $. Vilket biljettpris ger maximal intäkt?

Kommentarer

Viktor Johansson

Hej! Har stött på lite problem när jag ska hitta avtagande x värden. (tror man säger så)

För vilka värden på x är funktionen f (x) = 3×2 + 3x 5 avtagande?

Blir inte riktigt klok på hur jag ska gå tillväga.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Har svårt att tolka din funktion, är det $f(x)=3·2+3x^5$?

Jesper Westin

Hej! Stämmer det inte att man säger att derivatan är både stigande och fallande i en extrempunkt? Därför säger man större eller lika med istället för bara större än. Man tar alltså med extrempunkten. Det gör personen i videon inte i detta klippet vad jag ser.

Josefine Lund

Hej!

Jag behöver hjälp med denna funktion:

f(x)= x^4/4 + 1/x = 0,25x^4 + x^-1.

Jag förstår inte den delen där x^4/4 blir 0,25x^4. Kan du hjälpa mig? Tusen tack!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det är för att du kan skriva
    $\frac{x^4}{4}=\frac14·x^4=0,25·x^4$

Cissi

hej, jag undrar vad menas med ”ange funktionen till tangenten”? Alltså vad menas med funktionen i detta sammanhang?
Ex. om man har en graf med funktionen f(x)=x^2 och ska ange funktionen för en valfri tangent till f(x).

GabriellaR

Hej! Tack för en bra hemsida! Det jag inte riktigt förstår är att när x0 ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, kan du förklara frågan lite mer? Är osäker på vad du menar här, är det något i videon eller i en övningsuppgift?

karingyllengahm

Hej, jag har en fundering. Arbetar i boken exponent 3c. Följande uppgift lyder: Ange för varje polynom om det är växande eller avtagande.
a) p(x)=-2x+3

Hur ska jag som enklast lösa detta?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, om en funktion är växande så ökar dess y – värde när du går från vänster till höger i ett koordinatsystem där grafen är utritad. Om den är avtagande så minskar y- värdet om du går från vänster till höger.
    Enklast är nog att rita ut polynomet som man gör med en funktion så ser du hur den minskar eller ökar.
    I exemplet du nämner så har du en linje med negativ lutning, dvs den minskar i värde så den är avtagande.

Simon Rybrand (Moderator)

Hej!
Jag tror en bra video att kika på i detta sammanhang är fölijande:
matematikvideo.se/derivatans-graf-och-funktionens-graf
Där förklaras hur man kan tänka i liknande situationer.

SVGoteborg

Hej!
Jag förstår inte riktigt den sista frågan ni hade här nr 3 menar jag. Varför har du lagt 200x? Hur?
Med vänlig hälsning
Ibaa

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, Intäkterna för försäljningen ges av 200x då de säljer 200 produkter för x kronor. Vinsten kommer då att bli 200x – K(x) där K är kostnaderna.

mikaelhagfeldt@gmail.com

Hej! Jag har problem med att tolka denna typ av uppgifter såsom uppg 3. Hur vet jag att intäkter betecknas I(x) där intäkter är en funktion som beror av x, som sedan blir 200x? Uträkningen i sig har jag inga problem med men just hur man tolkar uppgiften rätt. Har alltid haft problem med att översätta siffror till ord på något sätt. Något tips på hur man kan tänka kring detta och öva sig?
Tack på förhand, och tack dessutom för en fantastisk kurs!
MVH Mikael

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, jag förstår ditt problem och det kan ta lite tid innan man blir van att kunna tolka en text för att därefter gå över till matematiskt språk och tillämpa en metod för att lösa en uppgift.
    Några tips kan vara att alltid skriva ner stödord vad som står i texten, vilken information finns, vad är det för enhet osv. Så att du först samlar på dig så mycket fakta som möjligt som du sedan kan översätta till matematik. Det är alltid bra, om möjligt, att rita figurer också.
    Sedan gäller det att träna och träna, till slut kommer du säkert börja att känna att du behärskar det.

Stefan

Hej

Jag har en fråga som jag inte förstår mig på riktigt. Jag har ett polynom p(x) av tredje graden, som har tre nollställen x =-1, x=2, x=3. Dessutom gäller att p(0) = -12, skriv polynomet i faktoriserad form.

Jag tappar bort mig på p(0) = -12 speciellt. Tacksam för hjälp! Du är grym!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, med hjälp av dina tre nollställen så kan du skriva polynomet som
    $ p(x) = k(x+1)(x-2)(x-3) $
    där k är någon konstant som du vill ta reda på.

    Denna kan du ta reda på genom att du vet att p(0) = 12, dvs att då x=0 är y = 12.

    Så om vi sätter in detta i p(x) så får vi ekvationen
    $ 12 = k(0+1)(0-2)(0-3) $
    $ 12 = k(1)(-2)(-3) $
    $ 12 = 6k $
    $ k = 2 $

    Dvs p(x) = 2(x+1)(x-2)(x-3)

Daniel Kjernström

Hej
Jag undrar om det finns det någon enkel förklaring till att förstå funktionen av växande och avtagande?

Tex för vilka värden på x är polynomet växande.
a) f(x) = x^2+4x-4
b) g(x) = -x^2+6x+4
c) h(x) = 2x^2-8x-2

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det bästa sättet för att undersöka om funktionen är växande eller avtagande är oftast att undersöka derivatan. Om derivatan är negativ i ett intervall så är funktionen avtagande, om derivatan är positiv så är den växande.

    Om du exempelvis har $ f(x) = x^2+4x-4 $.
    $ f´(x)=2x+4 $
    Vi söker nollstället (dvs där f´(x) = 0)
    $ 2x + 4 = 0 ⇔ $
    $ x = -2 $

    Derivatan innan nollstället kan testas genom att sätta in ett värde från intervallet x < -2: $ f´(-3) = 2(-3) + 4 = -2 $ Derivatan är negativ, funktionen avtar.Efter nollstället: $ f´(1) = 2(1) + 4 = 6 $ Derivatan är positiv, funktionen växer.Så här gäller att x < -2 Funktionen avtar x = 0 Vi har en max/min punkt x > -2 Funktionen växer.

Luem

Hur ska man tänka kring ett sånt här tal?

Vilken/vilka av följande funktioner är avtagande?
a, f(x)=3e^x
b, f(x)=0,5e^2x
c, f(x)=0,9*10^x
d, f(x)=7,2*0,35^x

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hejsan,
    Av dessa exempel så är det d) f(x)=7,2*0,35^x som avtar och alla andra växer. Detta kan du se om du exempelvis ritar ut dem i ett grafprogram/räknare eller om du kikar på termen 0,35^x. Denna term kommer nämligen att gå mot noll ju större x blir.

nti_ma3

Hej.
Behöver lite hjälp med att förstå den här uppgiften.
”Bestäm ekvationen för vågräta tangenter till funktionen
f(x)=4x^2+4x-5”

Vet inte riktigt hur jag ska gå till väga för att lösa uppgiften.
Använder mig av denna formeln ”f(x)=ax^n f'(x)anx^n-1”

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, här behöver du hitta det x – värde där derivatan är noll, dvs där lutningen (eller k – värdet i räta linjens ekvation) är noll. Detta gör du genom att söka där
    $ f´(x) = 0⇔ $
    $ 8x + 4 = 0 ⇔ $
    $ 8x = -4 ⇔ $
    $ x = -0,5 $
    För att ta reda på tangentens ekvation kan vi sätta in x = -0,5 i funktionsformeln och får att f(-0,5)=-6.
    Dvs ekvationen är y = -6

lumba100

Tjenare!
Jag är kanske lite trög så här på morgonen men förstår inte riktigt hur 200x−(5000+x2−1000x)=1200x−5000−x2
med syfte på 200x – 1000x kan bli 1200?
Tar man inte i princip bara bort parentesen?
MVH

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, när man tar bort parantesen där ändras tecknet framför -1000x så att vi får + 1000x. Om vi skriver ut uträkningen med ett extra steg blir det:
    $ V(x) = 200x – (5000 + x^2 -1000x) = $
    $ = 200x – 5000 – x^2 + 1000x = $
    $ = 1200x – 5000 -x^2 $

      ksmiles

      Eftersom det står: Kostnaden för att tillverka ”produkten” borde man väl kunna räkna ut svaret utan att inkludera antal sålda per månad ? & är inte det lättare ?

        Simon Rybrand (Moderator)

        Om jag förstår frågan rätt så vill du då istället minimera kostnaden? Dvs beräkna minimivärde för funktionen K(x). Detta kommer tyvärr inte att fungera då vi använder oss av antalet tillverkade produkter x i både vinstfunktionen och i kostnadsfunktionen. De kommer därför att vara kopplade till varandra och vi måste maximera dem med en funktion.

        Jag kanske missförstår hur du tänker här, säg till bara i så fall!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Grafen nedan tillhör funktionen  $f(x)$ƒ (x).

    För vilket $x$x -värde gäller att  $f'(x)=0$ƒ ’(x)=0 ?

    Negativ parabel

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Din vän vill ta reda på efter hur lång tid en boll hon skjutit upp i luften vänder och börjar närma sig marken igen. Hon gör en modell av bollens bana $h(t)$h(t), där $h(t)$h(t) motsvara bollen höjd över marken och $t$t tiden från att hon sparkat i väg den.

    Vilken beräkning ska hon göra för att effektivast ta reda på det?

    Öva gärna på att motivera ditt svar på ett papper.

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    För vilka $x$x-värden är funktionen växande?

    Grafen till en femtegradsfunktion

    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    För vilka $x$x-värden är funktionen avtagande?

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    För vilka $x$x-värden är funktionen växande?

    Växande och avtagande funktion

    Välj det alternativ som anger alla aktuella $x$x-värden. Även värden som ger att $f’\left(x\right)=0$ƒ (x)=0 får ingå i intervallet.

    Endast svar krävs.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    I koordinatsystemet är olika punkter benämnda med en bokstav  $A-G$AG.

    Grafen till en femtegradsfunktion

    För vilken punkt gäller att  $f´(x)$ƒ ´(x)  är minst?

    Öva gärna på att motivera ditt svar på ett papper.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M1
    R
    K

    Ett företag funderar på det mest optimala priset $x$x kr på en produkt för att maximera sin vinst per månad. Kostnaden för att tillverka produkten ges av  $K(x)=5000+x^2-1000x$K(x)=5000+x21000x och man beräknar att kunna sälja $200$200  produkter per månad.

    Beräkna det optimala priset.

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Vilket påstående nedan stämmer?

    Grafen till en femtagradsfunktion

    Öva gärna på att motivera ditt svar på ett papper.

    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Vilket påstående nedan stämmer INTE?

    Grafen till en femtagradsfunktion

    Öva på att motivera ditt val på ett papper.

    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.