Växande och avtagande funktioner - Derivata (Matte 3) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Växande och avtagande funktioner

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videon går vi igenom hur man med hjälp av derivatan, vilket är den samma som tangentens lutning, kan avgör om en funktion är växande eller avtagande. Alltså hur en funktion förändras i olika punkter.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
16 votes, average: 3,63 out of 516 votes, average: 3,63 out of 516 votes, average: 3,63 out of 516 votes, average: 3,63 out of 516 votes, average: 3,63 out of 5
16
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

9
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
MEDELPOÄNG
ALLA
3

Text

Växande och avtagande funktion

Växande och avtagande funktioner

Genom att studera hur grafens $y$y -värden förändras, när $x$x -värdena ökar kan vi avgöra om grafen är växande eller avtagande i ett intervall. Lite förenklat kan man sammanfatta växande och avtagande så här.

En funktion är växande då större $x$x -värden även ger att funktionens $y$y-värde ökar.
En funktion är avtagande då större $x$x -värde istället ger att funktionens $y$y-värde minskar.

Mer exakt definierar vi detta som att

Funktionen $f$ƒ  är strängt växande om $f\left(x_1\right)<$ƒ (x1)<$f\left(x_2\right)$ƒ (x2) för alla $x_1$x1 och $x_2$x2 i funktionens definitionsmängd, så länge $x_1<$x1<  $x_2$x2.

Funktionen $f$ƒ  är strängt avtagande om $f\left(x_1\right)>$ƒ (x1)> $f\left(x_2\right)$ƒ (x2) för alla $x_1$x1 och $x_2$x2 i funktionens definitionsmängd, så länge $x_1<$x1<  $x_2$x2.

Om de öppna olikheterna (<) i definitionen byts ut mot slutna olikheter (≤), så talar vi istället om att $f$ƒ  är växande i stället för strängt växande.

Samband mellan derivatan och tangentens lutning

Då derivatan även definieras som tangentens lutning i en punkt, kan vi med hjälp av tangenters lutning avgöra om derivatan är positiv eller negativ.

Samband mellan derivatan och tangentens lutning

Om tangentens lutning är positiv i en punkt, är även derivatan positiv i punkten.

Om tangentens lutning är negativ i en punkt, är även derivatan negativ i punkten.

Om tangentens lutning är lika med noll i en punkt, är även derivatan lika med noll i punkten.

Samband mellan derivatan och tangentens lutning

Samband mellan derivatan och funktionens utseende

Med derivatans hjälp kan vi bestämma hur funktionen förändras i olika punkter. Eftersom att derivatan även definieras som tangentens lutning i punkten, ger tangentens $k$k -värde, värdet på förändring i punkten. Vi får följande samband mellan derivatan och funktionens förändring.

Växande och avtagande

Om funktionen $f$ växer så är $f ´(x) > 0$, derivatan är positiv.

Om funktionen $f$ avtar så är $f ´(x) < 0$, derivatan är negativ.

Om funktion $f$ varken växer eller avtar, har funktionen en extrempunkt. Där gäller att $f ´(x) = 0$.

Växande och avtagande graf

Exempel 1

I vilka intervall är funktionen växande?

Grafen till en polynomfunktion

Lösning:

Funktionen är växande i intervallen där derivatan är positiv. Derivatan är positiv i de punkter där tangentens lutning är positiv. Vi markera dessa områden i grafen med blått.

Växande och avtagande graf

Vi kan nu läsa av, att de intervall där funktionen är växande är för  $x<$x< $a$a  och  $b<$b<$x<$x<$c$c.

Derivatan och funktionens extrempunkter

I punkten där funktionen går från att ha varit växande till att bli avtagande eller tvärt omså har funktionen en så kallad extrempunkt. Det är den punkt där funktionsvärdet varken ökar eller minskar. Förändringen i punkten är noll.

Extrempunkt är ett samlingsnamn för vetrex, alltså minimi- och maximipunkter, samt terrasspunkter.  Vi kommer att gå igenom detta mer ingående i lektionen om Nollställen och teckentabeller.

Exempel i videon

  • Exempel på hur derivatan beter sig utifrån en utritad funktion (tredjegradsfunktion).
  • Företaget ”Roligare nu” gör StandUp Comedy föreställningar. Chefen Per har modellerat en funktion för att beskriva intäkterna $ I(x) $ beroende på biljettpriset $x$ kr. Funktionen han har är $ I(x)=1000x-10x^2 $. Vilket biljettpris ger maximal intäkt?

Kommentarer

  1. Hej! Har stött på lite problem när jag ska hitta avtagande x värden. (tror man säger så)

    För vilka värden på x är funktionen f (x) = 3×2 + 3x 5 avtagande?

    Blir inte riktigt klok på hur jag ska gå tillväga.

    Viktor Johansson
    1. Har svårt att tolka din funktion, är det $f(x)=3·2+3x^5$?

      Simon Rybrand
  2. Hej! Stämmer det inte att man säger att derivatan är både stigande och fallande i en extrempunkt? Därför säger man större eller lika med istället för bara större än. Man tar alltså med extrempunkten. Det gör personen i videon inte i detta klippet vad jag ser.

    Jesper Westin
  3. Hej!

    Jag behöver hjälp med denna funktion:

    f(x)= x^4/4 + 1/x = 0,25x^4 + x^-1.

    Jag förstår inte den delen där x^4/4 blir 0,25x^4. Kan du hjälpa mig? Tusen tack!

    Josefine Lund
    1. Det är för att du kan skriva
      $\frac{x^4}{4}=\frac14·x^4=0,25·x^4$

      Simon Rybrand
  4. hej, jag undrar vad menas med ”ange funktionen till tangenten”? Alltså vad menas med funktionen i detta sammanhang?
    Ex. om man har en graf med funktionen f(x)=x^2 och ska ange funktionen för en valfri tangent till f(x).

    Cissi
  5. Hej! Tack för en bra hemsida! Det jag inte riktigt förstår är att när x0 ?

    GabriellaR
    1. Hej, kan du förklara frågan lite mer? Är osäker på vad du menar här, är det något i videon eller i en övningsuppgift?

      Simon Rybrand
  6. Hej, jag har en fundering. Arbetar i boken exponent 3c. Följande uppgift lyder: Ange för varje polynom om det är växande eller avtagande.
    a) p(x)=-2x+3

    Hur ska jag som enklast lösa detta?

    karingyllengahm
    1. Hej, om en funktion är växande så ökar dess y – värde när du går från vänster till höger i ett koordinatsystem där grafen är utritad. Om den är avtagande så minskar y- värdet om du går från vänster till höger.
      Enklast är nog att rita ut polynomet som man gör med en funktion så ser du hur den minskar eller ökar.
      I exemplet du nämner så har du en linje med negativ lutning, dvs den minskar i värde så den är avtagande.

      Simon Rybrand
  7. Hej!
    Jag förstår inte vad det är jag ska svara på denna fråga:
    ”Nedan ser du grafen till en funktions derivata. Vilka slutsatser om funktionen kan du dra av grafen?”

    Nu kan jag ju inte skicka grafen men den är negativ innan x=1, positiv efter x=1 och 1 x=0 är den noll.
    Derivatan skär alltså genom x=1 och y=-2
    Jag förstår att derivatan är negativ, noll och positiv men vad innebär det egentligen för en funktion?

    Sara
  8. Hej!
    Jag förstår inte riktigt den sista frågan ni hade här nr 3 menar jag. Varför har du lagt 200x? Hur?
    Med vänlig hälsning
    Ibaa

    SVGoteborg
    1. Hej, Intäkterna för försäljningen ges av 200x då de säljer 200 produkter för x kronor. Vinsten kommer då att bli 200x – K(x) där K är kostnaderna.

      Simon Rybrand
  9. Hej! Jag har problem med att tolka denna typ av uppgifter såsom uppg 3. Hur vet jag att intäkter betecknas I(x) där intäkter är en funktion som beror av x, som sedan blir 200x? Uträkningen i sig har jag inga problem med men just hur man tolkar uppgiften rätt. Har alltid haft problem med att översätta siffror till ord på något sätt. Något tips på hur man kan tänka kring detta och öva sig?
    Tack på förhand, och tack dessutom för en fantastisk kurs!
    MVH Mikael

    mikaelhagfeldt@gmail.com
    1. Hej, jag förstår ditt problem och det kan ta lite tid innan man blir van att kunna tolka en text för att därefter gå över till matematiskt språk och tillämpa en metod för att lösa en uppgift.
      Några tips kan vara att alltid skriva ner stödord vad som står i texten, vilken information finns, vad är det för enhet osv. Så att du först samlar på dig så mycket fakta som möjligt som du sedan kan översätta till matematik. Det är alltid bra, om möjligt, att rita figurer också.
      Sedan gäller det att träna och träna, till slut kommer du säkert börja att känna att du behärskar det.

      Simon Rybrand
  10. Hej

    Jag har en fråga som jag inte förstår mig på riktigt. Jag har ett polynom p(x) av tredje graden, som har tre nollställen x =-1, x=2, x=3. Dessutom gäller att p(0) = -12, skriv polynomet i faktoriserad form.

    Jag tappar bort mig på p(0) = -12 speciellt. Tacksam för hjälp! Du är grym!

    Stefan
    1. Hej, med hjälp av dina tre nollställen så kan du skriva polynomet som
      $ p(x) = k(x+1)(x-2)(x-3) $
      där k är någon konstant som du vill ta reda på.

      Denna kan du ta reda på genom att du vet att p(0) = 12, dvs att då x=0 är y = 12.

      Så om vi sätter in detta i p(x) så får vi ekvationen
      $ 12 = k(0+1)(0-2)(0-3) $
      $ 12 = k(1)(-2)(-3) $
      $ 12 = 6k $
      $ k = 2 $

      Dvs p(x) = 2(x+1)(x-2)(x-3)

      Simon Rybrand
  11. Hej
    Jag undrar om det finns det någon enkel förklaring till att förstå funktionen av växande och avtagande?

    Tex för vilka värden på x är polynomet växande.
    a) f(x) = x^2+4x-4
    b) g(x) = -x^2+6x+4
    c) h(x) = 2x^2-8x-2

    Daniel Kjernström
    1. Det bästa sättet för att undersöka om funktionen är växande eller avtagande är oftast att undersöka derivatan. Om derivatan är negativ i ett intervall så är funktionen avtagande, om derivatan är positiv så är den växande.

      Om du exempelvis har $ f(x) = x^2+4x-4 $.
      $ f´(x)=2x+4 $
      Vi söker nollstället (dvs där f´(x) = 0)
      $ 2x + 4 = 0 ⇔ $
      $ x = -2 $

      Derivatan innan nollstället kan testas genom att sätta in ett värde från intervallet x < -2: $ f´(-3) = 2(-3) + 4 = -2 $ Derivatan är negativ, funktionen avtar.Efter nollstället: $ f´(1) = 2(1) + 4 = 6 $ Derivatan är positiv, funktionen växer.Så här gäller att x < -2 Funktionen avtar x = 0 Vi har en max/min punkt x > -2 Funktionen växer.

      Simon Rybrand
  12. Hur ska man tänka kring ett sånt här tal?

    Vilken/vilka av följande funktioner är avtagande?
    a, f(x)=3e^x
    b, f(x)=0,5e^2x
    c, f(x)=0,9*10^x
    d, f(x)=7,2*0,35^x

    Luem
    1. Hejsan,
      Av dessa exempel så är det d) f(x)=7,2*0,35^x som avtar och alla andra växer. Detta kan du se om du exempelvis ritar ut dem i ett grafprogram/räknare eller om du kikar på termen 0,35^x. Denna term kommer nämligen att gå mot noll ju större x blir.

      Simon Rybrand
  13. Hej.
    Behöver lite hjälp med att förstå den här uppgiften.
    ”Bestäm ekvationen för vågräta tangenter till funktionen
    f(x)=4x^2+4x-5”

    Vet inte riktigt hur jag ska gå till väga för att lösa uppgiften.
    Använder mig av denna formeln ”f(x)=ax^n f'(x)anx^n-1”

    nti_ma3
    1. Hej, här behöver du hitta det x – värde där derivatan är noll, dvs där lutningen (eller k – värdet i räta linjens ekvation) är noll. Detta gör du genom att söka där
      $ f´(x) = 0⇔ $
      $ 8x + 4 = 0 ⇔ $
      $ 8x = -4 ⇔ $
      $ x = -0,5 $
      För att ta reda på tangentens ekvation kan vi sätta in x = -0,5 i funktionsformeln och får att f(-0,5)=-6.
      Dvs ekvationen är y = -6

      Simon Rybrand
  14. Tjenare!
    Jag är kanske lite trög så här på morgonen men förstår inte riktigt hur 200x−(5000+x2−1000x)=1200x−5000−x2
    med syfte på 200x – 1000x kan bli 1200?
    Tar man inte i princip bara bort parentesen?
    MVH

    lumba100
    1. Hej, när man tar bort parantesen där ändras tecknet framför -1000x så att vi får + 1000x. Om vi skriver ut uträkningen med ett extra steg blir det:
      $ V(x) = 200x – (5000 + x^2 -1000x) = $
      $ = 200x – 5000 – x^2 + 1000x = $
      $ = 1200x – 5000 -x^2 $

      Simon Rybrand
      1. Eftersom det står: Kostnaden för att tillverka ”produkten” borde man väl kunna räkna ut svaret utan att inkludera antal sålda per månad ? & är inte det lättare ?

        ksmiles
        1. Om jag förstår frågan rätt så vill du då istället minimera kostnaden? Dvs beräkna minimivärde för funktionen K(x). Detta kommer tyvärr inte att fungera då vi använder oss av antalet tillverkade produkter x i både vinstfunktionen och i kostnadsfunktionen. De kommer därför att vara kopplade till varandra och vi måste maximera dem med en funktion.

          Jag kanske missförstår hur du tänker här, säg till bara i så fall!

          Simon Rybrand

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: