Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 3
/ Derivatan och grafen
Växande och avtagande funktioner
Innehåll
- Växande och avtagande funktioner
- Samband mellan derivatan och tangentens lutning
- Samband mellan derivatan och funktionens utseende
- Strängt växande och strängt avtagande
- Konvexitet och konkavitet
- Derivatan och funktionens extrempunkter
- Alternativt skrivsätt för intervall
- Kontinuitet och deriverbarhet
- Exempel i videon
- Kommentarer
Derivatan är mycket användbar när vi ska studera funktioner och de tillhörande grafernas utseende.
Grafen till funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) är växande i de intervall där derivatan är positiv eller lika med noll.
Grafen till funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) är avtagande i de intervall där derivatan är negativ eller lika med noll.
Punkter där derivatan är lika med noll, så kallade stationära punkter, sägs både vara växande och avtagande.
Växande och avtagande funktioner
Genom att studera hur grafens $y$y-värden förändras när $x$x -värdena ökar, kan vi avgöra om grafen är växande eller avtagande i ett intervall.
Lite förenklat kan man sammanfatta växande och avtagande så här.
En funktion är växande då större $x$x -värden även ger att funktionens $y$y-värde ökar. Grafiskt ”stiger” grafen.
En funktion är avtagande då större $x$x -värde istället ger att funktionens $y$y-värde minskar. Grafiskt ”sjunker” grafen.
Mer exakt definierar vi detta som att
Funktionen $f$ƒ är växande på intervall där $f\left(x_1\right)\le$ƒ (x1)≤ $f\left(x_2\right)$ƒ (x2) för alla $x_1$x1 och $x_2$x2 i funktionens definitionsmängd, så länge $x_1<$x1< $x_2$x2.
Funktionen $f$ƒ är avtagande på intervall där $f\left(x_1\right)\ge$ƒ (x1)≥ $f\left(x_2\right)$ƒ (x2) för alla $x_1$x1 och $x_2$x2 i funktionens definitionsmängd, så länge $x_1<$x1< $x_2$x2.
En funktion som är växande eller avtagande i hela sin definitionsmängd kallas monoton. Exempelvis är alla exponentialfunktioner monotona.
Exempel 1
Ange det intervall där funktionen är avtagande.
Lösning
Funktionen är avtagande i det slutna intervallen där derivatan är negativ. Derivatan är negativ i de punkter där tangentens lutning är negativ. Vi markera dessa områden i grafen med rött.
Vi kan nu läsa av, att de intervall där funktionen är avtagande är för $x\le$x≤$a$a.
Exempel 2
Ange det intervall där funktionen är växande.
Lösning
Funktionen är växande i de intervallen där derivatan är positiv. Derivatan är positiv i de punkter där tangentens lutning är positiv. Vi markera dessa områden i grafen med blått.
Vi kan nu läsa av, att de intervall där funktionen är växande är för
$x\le a$x≤a $a$och $b\le$b≤ $x\le$x≤ $c$c.
När vi talar och växande och avtagande funktioner göra vi det alltid, per definition, över ett intervall. Vi kan bestämma derivatans tecken i en viss punkt, men säger inte att funktionen är växande i punkten, utan i omgivningen av eller intervallet kring punkten $x=a$x=a.
Samband mellan derivatan och tangentens lutning
Då derivatan även definieras som tangentens lutning i en punkt, kan vi med hjälp av tangenters lutning avgöra om derivatan är positiv eller negativ.
Samband mellan derivatan och tangentens lutning
Om tangentens lutning är positiv i en punkt $\left(a,\text{ }f\left(a\right)\right)$(a, ƒ (a)), är även derivatans värde positivt i punkten $x=a$x=a.
Om tangentens lutning är negativ i en punkt $\left(a,\text{ }f\left(a\right)\right)$(a, ƒ (a)), är även derivatans värde negativt i punkten $x=a$x=a.
Om tangentens lutning är lika med noll i en punkt $\left(a,\text{ }f\left(a\right)\right)$(a, ƒ (a)), är även derivatan lika med noll i punkten $x=a$x=a.
Nu ett exempel för att förtydliga vad som menas.
Exempel 3
Figuren visar grafen till funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x).
Avgör om derivatan är positiv, negativ eller lika med noll genom att dra tangenter till punkterna på grafen där $x$x är lika med $a,\text{ }b,\text{ }c$a, b, c och $d$d .
Lösning
Vi drar en tangent i punkterna på grafen med $x$x-värdena $a,\text{ }b,\text{ }c$a, b, c och $d$d .
Vi får följande.
$f'(a)>0$ƒ ’(a)>0 och $f'(e)>0$ƒ ’(e)>0 eftersom att tangenterna för $f$ƒ i $x=a$x=a och $x=e$x=e har en positiv lutning
$f'(b)=0$ƒ ’(b)=0 och $f'(d)=0$ƒ ’(d)=0 eftersom att tangenterna för $f$ƒ i $x=b$x=b och $x=d$x=d har lutningen noll
$f'(c)<0$ƒ ’(c)<0 eftersom att tangenten för $f$ƒ i $x=c$x=c har en negativ lutning
Samband mellan derivatan och funktionens utseende
Med derivatans hjälp kan vi bestämma hur funktionen förändras i olika punkter. Vi får följande samband mellan derivatan och funktionens förändring.
Om funktionen $f$ƒ är deriverabar i $x=a$x=a gäller att den räta linje som går genom punkten $\left(a,\text{ }f\left(a\right)\right)$(a, ƒ (a)) och har lutningen $f´\left(a\right)$ƒ ´(a) kallas för tangenten för $f$ƒ i punkten $x=a$x=a.
Det medför att tangentens lutning, eller $k$k-värde, har samma värde som förändringshastigheten i punkten, eller man andra ord, derivatans värde.
Växande och avtagande
Om funktionen $f$ƒ är deriverabar på intervallet $a<$a< $x<$x< $b$b gäller att
$f$ är växande i intervallet om och endast om $f´(x)\ge0$ƒ ´(x)≥0 för alla $x$x i intervallet.
$f$ är avtagande i intervallet om och endast om $f´(x)\le0$ƒ ´(x)≤0 för alla $x$x i intervallet.
Funktionen ovan är växande i de delar av grafen som är markerade med blått. I de delar som är markerade med rött i grafen är funktionen avtagande. I punkterna där derivatan är lika med noll, $f´(x)=0$ƒ ´(x)=0, är funktionen både växande och avtagande.
Följden av definitionerna ovan är att en konstant funktion, $f\left(x\right)=C$ƒ (x)=C, både är växande och avtagande i hela sin definitionsmängd.
Strängt växande och strängt avtagande
I kurser på universitetet skiljer man mellan att en funktion är växande/avtagande eller sträng växande/avtagande. Om en funktion är stängt växande/avtagande måste funktionsvärdet öka/minska mellan två intill liggande funktionsvärden. Funktionsvärdet får alltså inte varar densamma för två intilliggande $x$x-värden. Vi tittar på ett exempel.
Funktionen har ökande funktionsvärden för $x<$x< $a$a och $x>b$x>b men i intervallet $a<$a< $x<$x< $b$b är funktionen konstant. Så en funktion kan sägas vara växande, även om den är konstant i något intervall, men inte strängt växande.
Konvexitet och konkavitet
Man kan beskriva hur en graf ser ut på ett visst intervall men begreppen konvex och konkav. Man menar då följande.
Konvex
En funktion $f$ƒ är konvex på intervallet $a<$a< $x<$x< $b$b om det för varje par av punkter $x_1$x1 och $x_2$x2 där $x_1<$x1< $x_2$x2 och tillhör intervallet, gäller att en sekant igenom punkter $\left(x_1,\text{ }f\left(x_1\right)\right)$(x1, ƒ (x1)) och $\left(x_2,\text{ }f\left(x_2\right)\right)$(x2, ƒ (x2)) ligger över eller på grafen för $f$ƒ på intervallet $x_1<$x1< $x<$x< $x_2$x2 .
Konkav
En funktion $f$ƒ är konkav på intervallet $a<$a< $x<$x< $b$b om det för varje par av punkter $x_1$x1 och $x_2$x2 där $x_1<$x1< $x_2$x2 och tillhör intervallet, gäller att en sekant igenom punkter $\left(x_1,\text{ }f\left(x_1\right)\right)$(x1, ƒ (x1)) och $\left(x_2,\text{ }f\left(x_2\right)\right)$(x2, ƒ (x2)) ligger under eller på grafen för $f$ƒ på intervallet $x_1<$x1< $x<$x< $x_2$x2 .
Inflexionspunkt
Den punkt $x=a$x=a där funktionen byter från att vara konvex till konkav eller tvärtom kallas för en inflexionspunkt.
I denna kursen kommer vi titta lite extra på den inflexionspunkt som kallas för terrasspunkt. Inflexionspunkten i figuren ovan är ingen terrasspunkt.
En terrasspunkt är en punkt som är både en inflexionspunkt och en stationär punkt. Alltså en punkt med egenskapen att både första och andraderivatan är lika med noll i punkten.
Det leder till att för inflexionspunkter $x=a$x=a , och därmed även i terrasspunkter, har förstaderivatan en extrempunkt.
Derivatan och funktionens extrempunkter
I punkten där funktionen går från att ha varit växande till att bli avtagande eller tvärt om, så har funktionen en så kallad extrempunkt. Det är den punkt där funktionsvärdet varken ökar eller minskar. Förändringen i punkten är noll.
Maximipunkt
En punkt $a$a i en definitionsmängd kallas för en maximipunkt om det finns ett intervall kring punkten där $f\left(a\right)\ge f\left(x\right)$ƒ (a)≥ƒ (x) för alla $x$x som tillhör definitionsmängden och intervallet.
Minimipunkt
En punkt $a$a i en definitionsmängd kallas för en minimipunkt om det finns ett intervall kring punkten där $f\left(a\right)\le f\left(x\right)$ƒ (a)≤ƒ (x) för alla $x$x som tillhör definitionsmängden och intervallet.
Extrempunkt är ett samlingsnamn för vetrex, alltså minimi- och maximipunkter. De är som vi tidigare nämnt, så kallade stationära punkter. Det vill säga punkter $x=a$x=a där derivatan antar värdet noll.
Utöver extrempunkterna har vi ännu en sorts stationära punkter att hålla koll på i denna kurs. Nämligen de så kallade terrasspunkterna. Det är punkter där derivatan har teckenväxlingen $+0+$+0+ alternativ $-0-$−0−. Vi kommer att gå igenom detta mer ingående i lektionen om Nollställen och teckentabeller.
Alternativt skrivsätt för intervall
För att ange ett intervall kan man även använda följande skrivsätt.
$\left(a,\text{ }b\right)$(a, b) betecknar alla punkter $x$x i intervallet $a<$a< $x<$x< $b$b och motsvarar ett öppen intervall.
$\left[a,\text{ }b\right]$[a, b] betecknar alla punkter $x$x i intervallet $a\le$a≤ $x\le$x≤ $b$b och motsvarar ett slutet intervall.
I ett öppet intervall ingår inte punkterna $a$a och $b$b i intervallet till skillnad från i ett slutet intervall. Skrivsätten kan kombineras för att beskriva halvöppna intervall, som exempelvis $a<$a< $x\le b$x≤b som då skriv som ( $a,\text{ }b$a, b ].
Kontinuitet och deriverbarhet
Vi nämnde i en tidigare lektion att för att kunna ange derivatan i en specifik punkt i funktionen måste den vara kontinuerlig. Och därför gäller följande.
Om en funktion $f$ƒ är deriverbar i $x=a$x=a så är även $f$ƒ kontinuerlig i $x=a$x=a
Grafen till en kontinuerlig funktion är sammanhängande i hela sin definitionsmängd. Grafen till en deriverbar funktion är dessutom ”mjukt” sammanhängande. Det vill säga, grafen gör inga tvära byten i riktning. Exempelvis är funktionen $f\left(x\right)=\left|x\right|$ƒ (x)=|x| konturering men inte deriverbar i $x=0$x=0. Se figuren nedan.
För grafen byter riktning plötsligt kring origo. Det ger att den inte är ”tillräckligt mjuk” för att kunna dra en entydig tangent i origo. Tangenter godtyckligt nära origo från höger kommer inte ha samma lutning som tangenter godtyckligt nära origo från vänster. Där av är funktionen $f\left(x\right)=\left|x\right|$ƒ (x)=|x| inte deriverbar i $x=0$x=0.
Exempel i videon
- Exempel på hur derivatan beter sig utifrån en utritad funktion (tredjegradsfunktion).
- Företaget ”Roligare nu” gör StandUp Comedy föreställningar. Chefen Per har modellerat en funktion för att beskriva intäkterna $ I(x) $ beroende på biljettpriset $x$ kr. Funktionen han har är $ I(x)=1000x-10x^2 $. Vilket biljettpris ger maximal intäkt?
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (11)
-
1. Premium
Grafen nedan tillhör funktionen $f(x)$ƒ (x).
För vilket $x$x -värde gäller att $f'(x)=0$ƒ ’(x)=0 ?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och kurvor derivatan och grafen Matematik 3 Växande och avtagande funktionerRättar...2. Premium
Grafen nedan tillhör funktionen $f(x)$ƒ (x).
Är $f'(3)$ƒ ’(3) positiv, negativ eller noll?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och kurvor derivatan och grafen Matematik 3 Växande och avtagande funktionerRättar...3. Premium
Din vän vill ta reda på efter hur lång tid en boll hon skjutit upp i luften vänder och börjar närma sig marken igen. Hon gör en modell av bollens bana $h(t)$h(t), där $h(t)$h(t) motsvara bollen höjd över marken och $t$t tiden från att hon sparkat i väg den.
Vilken beräkning ska hon göra för att effektivast ta reda på det?
Öva gärna på att motivera ditt svar på ett papper.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och kurvor derivatan och grafen extrempunkt maximipunkt Växande och avtagande funktioner vertexRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
För vilka $x$x-värden är funktionen växande?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och kurvor derivatan och grafen Matematik 3 Växande och avtagande funktionerRättar...5. Premium
För vilka $x$x-värden är funktionen avtagande?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och kurvor derivatan och grafen Matematik 3 Växande och avtagande funktionerRättar...6. Premium
För vilka $x$x-värden är funktionen avtagande?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och kurvor Derivatans graf och Funktionens graf Matematik 3Rättar...7. Premium
För vilka $x$x-värden är funktionen växande?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och kurvor Derivatans graf och Funktionens graf Matematik 3Rättar...8. Premium
I koordinatsystemet är olika punkter benämnda med en bokstav $A-G$A−G.
För vilken punkts $x$x -värde gäller att $f´(x)$ƒ ´(x) är minst?
Öva gärna på att motivera ditt svar på ett papper.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: avtagande derivatan derivatan och grafen extrempunkt växandeRättar...9. Premium
Figuren visar grafen $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x).
I vilken eller vilka av punkterna är grafen konkav?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och kurvor Derivatans graf och Funktionens graf Matematik 3Rättar...10. Premium
Figuren visar grafen $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x).
I vilken eller vilka av punkterna är grafen konvex?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och kurvor Derivatans graf och Funktionens graf Matematik 3Rättar...11. Premium
Figuren visar grafen $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x).
Vilken av punkterna är en inflexionspunkt?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata och kurvor Derivatans graf och Funktionens graf Matematik 3Rättar...c-uppgifter (2)
-
12. Premium
I värdetabellen nedan ser du ett antal punkter som tillhör samma funktion. För en av de punkter vars koordinater värdetabellen motsvarar är derivatan lika med noll. Vilken?
Öva på att motivera ditt svar på ett papper.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan derivatan och grafen Matematik 3 växande och avtagande Växande och avtagande funktionerRättar...13. Premium
Vilket påstående nedan stämmer?
Öva gärna på att motivera ditt svar på ett papper.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan derivatan och grafen Matematik 3 växande och avtagande Växande och avtagande funktionerRättar...a-uppgifter (1)
-
14. Premium
Vilket påstående nedan stämmer INTE?
Öva på att motivera ditt val på ett papper.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan derivatan och grafen extrempunkter växande och avtagande Växande och avtagande funktionerRättar...
-
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Axel Seth
Om X>=B där punkten B är en minimipunkt är väl derivatan 0? X-värdet där funktionen växer borde väl vara X>B?
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Alex,
olika läromedel gör lite olika.
Vissa skiljer på begreppen växande/avtagande och strängt växande/avtagande. Då är skillnaden att $f’\left(x\right)=0$
inte ingår i intervallet om man anger det som strängt. Man använder då en öppen olikhet för intervallet.
Viktor Johansson
Hej! Har stött på lite problem när jag ska hitta avtagande x värden. (tror man säger så)
För vilka värden på x är funktionen f (x) = 3×2 + 3x 5 avtagande?
Blir inte riktigt klok på hur jag ska gå tillväga.
Simon Rybrand (Moderator)
Har svårt att tolka din funktion, är det $f(x)=3·2+3x^5$?
Jesper Westin
Hej! Stämmer det inte att man säger att derivatan är både stigande och fallande i en extrempunkt? Därför säger man större eller lika med istället för bara större än. Man tar alltså med extrempunkten. Det gör personen i videon inte i detta klippet vad jag ser.
Josefine Lund
Hej!
Jag behöver hjälp med denna funktion:
f(x)= x^4/4 + 1/x = 0,25x^4 + x^-1.
Jag förstår inte den delen där x^4/4 blir 0,25x^4. Kan du hjälpa mig? Tusen tack!
Simon Rybrand (Moderator)
Det är för att du kan skriva
$\frac{x^4}{4}=\frac14·x^4=0,25·x^4$
Cissi
hej, jag undrar vad menas med ”ange funktionen till tangenten”? Alltså vad menas med funktionen i detta sammanhang?
Ex. om man har en graf med funktionen f(x)=x^2 och ska ange funktionen för en valfri tangent till f(x).
GabriellaR
Hej! Tack för en bra hemsida! Det jag inte riktigt förstår är att när x0 ?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, kan du förklara frågan lite mer? Är osäker på vad du menar här, är det något i videon eller i en övningsuppgift?
karingyllengahm
Hej, jag har en fundering. Arbetar i boken exponent 3c. Följande uppgift lyder: Ange för varje polynom om det är växande eller avtagande.
a) p(x)=-2x+3
Hur ska jag som enklast lösa detta?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, om en funktion är växande så ökar dess y – värde när du går från vänster till höger i ett koordinatsystem där grafen är utritad. Om den är avtagande så minskar y- värdet om du går från vänster till höger.
Enklast är nog att rita ut polynomet som man gör med en funktion så ser du hur den minskar eller ökar.
I exemplet du nämner så har du en linje med negativ lutning, dvs den minskar i värde så den är avtagande.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej!
Jag tror en bra video att kika på i detta sammanhang är fölijande:
matematikvideo.se/derivatans-graf-och-funktionens-graf
Där förklaras hur man kan tänka i liknande situationer.
SVGoteborg
Hej!
Jag förstår inte riktigt den sista frågan ni hade här nr 3 menar jag. Varför har du lagt 200x? Hur?
Med vänlig hälsning
Ibaa
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, Intäkterna för försäljningen ges av 200x då de säljer 200 produkter för x kronor. Vinsten kommer då att bli 200x – K(x) där K är kostnaderna.
mikaelhagfeldt@gmail.com
Hej! Jag har problem med att tolka denna typ av uppgifter såsom uppg 3. Hur vet jag att intäkter betecknas I(x) där intäkter är en funktion som beror av x, som sedan blir 200x? Uträkningen i sig har jag inga problem med men just hur man tolkar uppgiften rätt. Har alltid haft problem med att översätta siffror till ord på något sätt. Något tips på hur man kan tänka kring detta och öva sig?
Tack på förhand, och tack dessutom för en fantastisk kurs!
MVH Mikael
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, jag förstår ditt problem och det kan ta lite tid innan man blir van att kunna tolka en text för att därefter gå över till matematiskt språk och tillämpa en metod för att lösa en uppgift.
Några tips kan vara att alltid skriva ner stödord vad som står i texten, vilken information finns, vad är det för enhet osv. Så att du först samlar på dig så mycket fakta som möjligt som du sedan kan översätta till matematik. Det är alltid bra, om möjligt, att rita figurer också.
Sedan gäller det att träna och träna, till slut kommer du säkert börja att känna att du behärskar det.
Stefan
Hej
Jag har en fråga som jag inte förstår mig på riktigt. Jag har ett polynom p(x) av tredje graden, som har tre nollställen x =-1, x=2, x=3. Dessutom gäller att p(0) = -12, skriv polynomet i faktoriserad form.
Jag tappar bort mig på p(0) = -12 speciellt. Tacksam för hjälp! Du är grym!
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, med hjälp av dina tre nollställen så kan du skriva polynomet som
$ p(x) = k(x+1)(x-2)(x-3) $
där k är någon konstant som du vill ta reda på.
Denna kan du ta reda på genom att du vet att p(0) = 12, dvs att då x=0 är y = 12.
Så om vi sätter in detta i p(x) så får vi ekvationen
$ 12 = k(0+1)(0-2)(0-3) $
$ 12 = k(1)(-2)(-3) $
$ 12 = 6k $
$ k = 2 $
Dvs p(x) = 2(x+1)(x-2)(x-3)
Daniel Kjernström
Hej
Jag undrar om det finns det någon enkel förklaring till att förstå funktionen av växande och avtagande?
Tex för vilka värden på x är polynomet växande.
a) f(x) = x^2+4x-4
b) g(x) = -x^2+6x+4
c) h(x) = 2x^2-8x-2
Simon Rybrand (Moderator)
Det bästa sättet för att undersöka om funktionen är växande eller avtagande är oftast att undersöka derivatan. Om derivatan är negativ i ett intervall så är funktionen avtagande, om derivatan är positiv så är den växande.
Om du exempelvis har $ f(x) = x^2+4x-4 $.
$ f´(x)=2x+4 $
Vi söker nollstället (dvs där f´(x) = 0)
$ 2x + 4 = 0 ⇔ $
$ x = -2 $
Derivatan innan nollstället kan testas genom att sätta in ett värde från intervallet x < -2: $ f´(-3) = 2(-3) + 4 = -2 $ Derivatan är negativ, funktionen avtar. Efter nollstället: $ f´(1) = 2(1) + 4 = 6 $ Derivatan är positiv, funktionen växer. Så här gäller att x < -2 Funktionen avtar x = 0 Vi har en max/min punkt x > -2 Funktionen växer.
Luem
Hur ska man tänka kring ett sånt här tal?
Vilken/vilka av följande funktioner är avtagande?
a, f(x)=3e^x
b, f(x)=0,5e^2x
c, f(x)=0,9*10^x
d, f(x)=7,2*0,35^x
Simon Rybrand (Moderator)
Hejsan,
Av dessa exempel så är det d) f(x)=7,2*0,35^x som avtar och alla andra växer. Detta kan du se om du exempelvis ritar ut dem i ett grafprogram/räknare eller om du kikar på termen 0,35^x. Denna term kommer nämligen att gå mot noll ju större x blir.
nti_ma3
Hej.
Behöver lite hjälp med att förstå den här uppgiften.
”Bestäm ekvationen för vågräta tangenter till funktionen
f(x)=4x^2+4x-5”
Vet inte riktigt hur jag ska gå till väga för att lösa uppgiften.
Använder mig av denna formeln ”f(x)=ax^n f'(x)anx^n-1”
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, här behöver du hitta det x – värde där derivatan är noll, dvs där lutningen (eller k – värdet i räta linjens ekvation) är noll. Detta gör du genom att söka där
$ f´(x) = 0⇔ $
$ 8x + 4 = 0 ⇔ $
$ 8x = -4 ⇔ $
$ x = -0,5 $
För att ta reda på tangentens ekvation kan vi sätta in x = -0,5 i funktionsformeln och får att f(-0,5)=-6.
Dvs ekvationen är y = -6
lumba100
Tjenare!
Jag är kanske lite trög så här på morgonen men förstår inte riktigt hur 200x−(5000+x2−1000x)=1200x−5000−x2
med syfte på 200x – 1000x kan bli 1200?
Tar man inte i princip bara bort parentesen?
MVH
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, när man tar bort parantesen där ändras tecknet framför -1000x så att vi får + 1000x. Om vi skriver ut uträkningen med ett extra steg blir det:
$ V(x) = 200x – (5000 + x^2 -1000x) = $
$ = 200x – 5000 – x^2 + 1000x = $
$ = 1200x – 5000 -x^2 $
ksmiles
Eftersom det står: Kostnaden för att tillverka ”produkten” borde man väl kunna räkna ut svaret utan att inkludera antal sålda per månad ? & är inte det lättare ?
Simon Rybrand (Moderator)
Om jag förstår frågan rätt så vill du då istället minimera kostnaden? Dvs beräkna minimivärde för funktionen K(x). Detta kommer tyvärr inte att fungera då vi använder oss av antalet tillverkade produkter x i både vinstfunktionen och i kostnadsfunktionen. De kommer därför att vara kopplade till varandra och vi måste maximera dem med en funktion.
Jag kanske missförstår hur du tänker här, säg till bara i så fall!
Endast Premium-användare kan kommentera.