...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Interaktivt material Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Trigonometriska formler

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Hur du använder Trigonometriska Formler

Att jobba med trigonometriska formler handlar i mångt och mycket om att träna på att använda sig av trigonometriska samband och satser. Framförallt är det sambanden trigonometriska ettan och de mellan tan v och sin v, cos v, additionssatserna och formeln för dubbla vinkeln man använder sig av.

I den här videon tittar vi på några exempel där man jobbar med att omforma trigonometriska formler. Det viktigaste för att förstå detta är, som med alla annan algebra, att träna en hel del själv också som man övar upp en känsla och förståelse hur man kan jobba med dessa uttryck.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

De trigonometriska formlerna

Här nedan listar vi de vanligaste trigonometriska sambanden som du kan, om du vill, använda som en referens när du räknar själv på detta.

Trigonometriska ettan

$ sin^2x + cos^2x = 1 $

Sambandet mellan tanx, sinx och cosx

$ tanx = \frac{sinx}{cosx} $

Formler för dubbla vinkeln

$ sin2u = 2sinu \cdot cosu $
$ cos2u = cos^2u – sin^2u = 2cos^2u – 1 = 1 – 2sin^2u $

Additions- och subtraktionssatserna

$ sin(u + v) = sinu \cdot cosv + cosu \cdot sinv $
$sin(u – v) = sinu \cdot cosv – cosu \cdot sinv$
$cos(u + v) = cosu \cdot cosv – sinu \cdot sinv$
$cos(u – v) = cosu \cdot cosv + sinu \cdot sinv$

Exempel i videon

  • Visa att $1=cos^2v+cos^2vtan^2v$.
  • Vilket av följande uttryck kan förenklas till $1$?
    $(sinx+cosx)^2$
    $(sinx-cosx)^2$
    $(sinx+cosx)(sinx-cosx)$
    $cosx(tanx \cdot sinx+cosx)$
    $\frac{sinx}{cosx}+\frac{cosx}{sinx}$
    $2(sinx+cosx)$

Kommentarer

Emil Clemensson

Hej!

Jag har kikat på videon och undrar lite om man kan tänka i form av kvadreringsreglerna. För många av exemplena som visas liknar antingen kvadreringsregeln eller konjugation som vi tidigare lärt oss. Är det ok att relatera dessa eller finns det tillfällen då det blir error?

Med vänliga hälsningar
Emil Clemensson

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det är förstås bättre om man gör det så smidigt som möjligt för sig själv och använder konjugatregeln. Jag rekommenderar att du gör det. Anledningen till att vi visar ett annat sätt i övningarna är för att visa att det går att göra både med konjugatregeln och utvidgade distributiva lagen.

Irma Hedman

Behöver hjälp med en uppgift! Hur ska jag tänka???
Bestäm med hjälp av trigonometriska ettan:
c) tan v om sin v=-0,43 och v är en vinkel i fjärde kvadranten.

tacksam för lösningsförslag och hjälp!!!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Lös först ekvationen genom
    $ v=arcsin(-0,43)+n·360 $
    eller att
    $ v=180-arcsin(-0,43)+n·360 $
    Funderar sedan på vilken/vilka vinklar som är i fjärde kvadranten. Sedan kan du beräkna tanv.

jenny eliasson

hur visar man att tan(-v) = tan(180-v).
har lite svårt att förstå de här med tan i enhetscirkeln.
Jag tänkte att tan(-v)=sin(-v)/cos(-v)
tan(180-v)= sin(180-v)/cos(180-v)
sen tänkte jag vilket värde de skulle få i enhetscirkeln.
–> 1/-1=1=-1
har jag tänkt helt fel?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det ser ut som om du tänker åt rätt håll 🙂
    Låt säga att den punkt som representeras av vinkeln $v$ på enhetscirkeln är $ (a,b) $. Då kommer den punkt som representerar
    $ -v $ att vara $(a,-b)$
    och
    $ 180°-v $ att vara $(-a,b)$
    Vi kan då skriva
    $ tan(-v) = \frac{sin(-v)}{cos(-v)}=\frac{-b}{a} $
    och
    $ tan(180°-v) = \frac{sin(180°-v)}{cos(180°-v)}=\frac{b}{-a} $
    Alltså gäller att $tan(-v)=tan(180°-v)$

Oliver Bonaccorso

Hej! Hur blir sinus/cosinus/sinus-1/cosinus?
förstår inte det, uppgift 3?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, kika på svaret i
    denna kommentar

nti_ma4

Hej Simon

Jag har en uppgift i boken som jag inte vet hur jag ska lösa med trigonometriska formler. uppgiften är att förenkal dessa:
a) cos^2v + sin^2(-v)
b) cos^2 3v+sin^2 3v
c) 2sin^2(180 grader -v) + 2cos^2(180 grader -v)

Jag har försökt lösa det med hjälp av trigonometriska samband men svaret blir fel.

    Simon Rybrand (Moderator)

    På a) och b) så kan du använda trigonometriska ettan, dvs att
    $ sin^2v + cos^2v=1 $
    Det kan vara lite svårt att se att du kan använda denna då du har $ sin^2(-v) $. Du kan dock skriva om $ sin^2(-v)=(sin(-v))^2=(-sinv)^2=sin^2v $

      nti_ma4

      Tack för hjälpen!

folkuniv

Hejsan!
hur kan jag svar på den här uppgiften:
cos x /1-sin x – cos x /1+sin x=2 tan x ?!
jag är tacksam för svar!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, Skall du lösa den ekvationen eller skall du visa att vänsterledet = högerledet?

      folkuniv

      Frågan är: Visa att för alla x där båda ledan är definierade.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Ok, där det nog lättast att börja jobba med VL och visa att det går att skriva om till högerledet.

    $ \frac{cosx}{1-sinx} – \frac{cosx}{1+sinx} $
    skriv på samma nämnare:
    $ \frac{cosx(1+sinx)-cosx(1-sinx)}{(1-sinx)(1-sinx)} $
    Bryt ut cos x i täljaren och förenkla med konjugatregeln i nämnaren:
    $ \frac{cosx((1+sinx)-(1-sinx))}{(1^2-sin^2x)} $
    Förenkla i täljaren:
    $ \frac{cosx(2sinx)}{(1^2-sin^2x)} $
    Förenkla lite till i täljaren:
    $ \frac{2cosxsinx}{(1^2-sin^2x)} $
    Trigonometriska ettan i nämnaren:
    $ \frac{2cosxsinx}{cos^2x} $
    Förkorta med cosx:
    $ \frac{2sinx}{cosx} = 2tanx $

rayo

hur kan (sinx /cosx)/sinx bli 1/cosx
jag förstår inte, skulle bli jätte glad om någon kunde förklara då jag har np imorgon 🙁

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, här har du alltså
    $ \frac{\frac{sinx}{cosx}}{sinx} = \frac{sinx}{cosx} / \frac{sinx}{1} = \frac{sinx}{cosx \cdot sinx} = \frac{1}{cosx} $

nti_ma4

I uppgift 2 står det $ sin^2x-1=cos^2x $. Det stämmer väl inte? $sin^2x-1$ är väl lika med $-cos^2x$ ???

    Simon Rybrand (Moderator)

    Helt rätt, det har blivit fel i förklaringen (och därmed svaret) till den uppgiften. Det är korrigerat, tack för att du tog dig tid och påpekade detta!

Car8oline

Hejsan!

Jag har en fråga på avsnittet trigonometriska formler, del trigonometriska uttryck.

Jag skall beskriva följande uttryck i cos x.
$ cos^3x + cos x * sin^2x $

Jag hittade ingen genomgång som härledde liknande exempel, jag är tacksam för svar!

🙂

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej!
    Om jag förstår din fråga rätt så vill du alltså uttrycka det endast med hjälp av cosinus? Dvs att byta ut $ sin^2x $ mot något bestående av cosinus.
    En möjlighet är då att använda trigonometriska etta, dvs
    $ cos^2x + sin^2x = 1 \Leftrightarrow $
    $ sin^2x = 1 – cos^2x $
    Sätter vi in detta i uttrycket får vi:
    $ cos^3x+cosx∗(1 – cos^2x) = $
    $ cos^3x+ cosx – cos^3x = $
    $ cosx $

    Hoppas att detta hjälper dig på vägen mot att bli bättre på att första trigonometriska formler.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (2)

  • 1. Premium

    Rapportera fel

    Förenkla $ 10(cos^2x + sin^2x) – 6(sin^2x + cos^2x) $ så långt som möjligt.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel

    Vilket alternativ är en korrekt förenkling av $ cosx( \frac{sin^2x}{cosx} – \frac{tan x}{sinx} ) $?

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar