Trigonometriska Formler - Träna mera - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3

Trigonometriska Formler – Träna mera

Trigonometri

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här genomgången går vi igenom ett antal visa att exempel där du kan lära dig mer om trigonometriska formler. Framförallt är det sambanden/formlerna trigonometriska ettan, tan x, dubbla vinkeln och additions- och subtraktionssatserna som används. Det här är en genomgång som är bra att kolla igenom när du tränar på att jobba med trigonometriska formler.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 500+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 3500+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 KR
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
10 votes, average: 4,90 out of 510 votes, average: 4,90 out of 510 votes, average: 4,90 out of 510 votes, average: 4,90 out of 510 votes, average: 4,90 out of 5
10
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

2
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
MEDELPOÄNG
ALLA
1

Text

Exempel i videon

  • Visa att $\frac{sin^2x-1+cos^2x-sinx}{cosx}=-tanx$.
  • Visa att $ -sin(10v)=cos(90°+10v) $.
  • Visa att $ \frac{sin2v+sinv}{2cosv+1}=sinv $.
  • Visa att $1+cos4x=2cos^22x$.
  • Visa att $1-2(sinx-cosx)^2=2sin2x-1$.

Formler som används i video och övningar

Trigonometriska ettan

$sin^2x + cos^2x = 1$

Du kan också skriva om denna formel på följande vis:

$ sin^2x + cos^2x=1 \Leftrightarrow $
$ sin^2x = 1 – cos^2x \Leftrightarrow $
$ cos^2x= 1 – sin^2x $

Vi kan också (precis som med pythagoras sats) skriva om trig. ettan på följande vis:

$ sin^2x + cos^2x = 1 \Leftrightarrow $
$ sinx = \sqrt{1 – cos^2x} \Leftrightarrow $
$ cos x = \sqrt{1 – sin^2x} $

Sambandet mellan tanx, sinx och cosx

$ tanx = \frac{sinx}{cosx} $

Formler för dubbla vinkeln

$ sin2u = 2sinu \cdot cosu $
$ cos2u = cos^2u – sin^2u = 2cos^2u – 1 = 1 – 2sin^2u $

Additions- och subtraktionssatserna

$ sin(u + v) = sinu \cdot cosv + cosu \cdot sinv $
$sin(u – v) = sinu \cdot cosv – cosu \cdot sinv$
$cos(u + v) = cosu \cdot cosv – sinu \cdot sinv$
$cos(u – v) = cosu \cdot cosv + sinu \cdot sinv$

Kommentarer

  1. (cos2u = cos^2u- sin^2u) hur kommer det sig att det blir 1-2sin^2u?
    MVH
    Kanyau

    nti_mad
    1. Hej, detta är en av de formler som brukar kallas för dubbla vinkeln i trigonometrin. Man härleder dessa utifrån additions- och subtraktionssatserna men utgår då ifrån samma vinkel istället för två olika, dvs cos(u + u). Vid förenkling av detta uttryck så ges formeln för dubbla vinkeln:
      $ cos2u = cos^2u-sin^2u$

      Nu vet vi från trigonometriska ettan att
      $ sin^2u + cos^2u = 1 $ dvs att
      $ cos^2u = 1 – sin^2u $

      Detta samband använder vi oss av för att skriva om
      $ cos^2u – sin^2u = (1 – sin^2u) – sin^2 = $
      $ = 1 – 2sin^2u $

      Hoppas att detta lilla formeltrixande hjälper dig på vägen att förstå trigonometriska formler.

      Simon Rybrand
      1. tack ska du ha för förklaringen.

        nti_mad
  2. Hej!
    sin(u+v)=sinu⋅cosv+cosu⋅sinv
    sin(u–v)=sinu⋅cosv–cosu⋅sinv
    cos(u+v)=cosu⋅cosv–sinu⋅sinv
    cos(u–v)=cosu⋅cosv+sinu⋅sinv

    varför blir det ett minus tecken för sin(u–v) medans det för cos(u–v) blir ett positivt tecken ?
    oh vart kommer minuset ifrån i cos(u+v)=cosu⋅cosv–sinu⋅sinv?

    Tacksam för svar för det verkar inte logiskt för mig att det blir tvärtom mot det som står i VL.

    Mvh!

    nti_ma4
    1. Hejsan, det går att härleda alla dessa formler med hjälp av avståndsformeln och trigonometriska ettan samt en del tricks på vägen, om du vill att jag skall visa ett bevis så skriv en post om det i vårt forum här så tar vi det därifrån.

      Simon Rybrand
  3. Hej!
    hur ska denna uppg. lösas?

    Bestäm exakta värdet av sin(A+B) om
    sinA=3/5, 90grader < A < 180 grader
    sinB= -(5/13), 180 grader < B < 270 grader

    TACK!

    pmartyn
    1. Här behöver du först hitta ett sätt att ta reda på cosA och cosB, du kan använda trig. ettan till detta då $ cos^2x=1-sin^x $

      $cos^2A=1-(\frac{3}{5})^2 $
      $cos^2A=\frac{16}{25} $
      $cosA=±\frac{4}{5} $
      Då 90 < A < 180 gäller att $cosA=-\frac{4}{5} $ $cos^2B=1-(-\frac{5}{13})^2 $ $cos^2A=\frac{144}{169} $ $cosA=±\frac{12}{13} $ Då 180 < A < 270 gäller att $cosB=-\frac{12}{13} $ Nu använder du du additionsformeln för sin och utvecklar $ sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA $ och sätter in de värden du har.

      Simon Rybrand
  4. hej!
    sin60grader.sin60grader (+) cos 60grader.cos60grader
    bestäm den exakt värde
    hur ska den lösas ?

    randsara
    1. Hej, lite svårt att tolka ditt uttryck här men jag tror att en bra sak att använd dig av här kan vara att
      $ sin60 = \frac{\sqrt{3}}{2} $
      $ cos60 = \frac{1}{2} $

      På det viset kan du få fram ett exakt värde.

      Simon Rybrand
      1. tack ska du ha !

        randsara
  5. bestäm utan räknare de vinklar i intervallet 0<v<180 som är lössningar till ekvationen?

    a) sinv=sin 56grader
    b) cos v =-cos40grader

    på vilket sätt kan man lösa denna uppgiften jag har försökt på den vanliga sättet att man använder av sig metoden sin(180-v)
    men jag fick fel svar!

    randsara
    1. Hej, Här är det bra att rita upp enhetscirkeln och resonera utifrån den. Jag kan hjälpa dig med b) så kanske a) uppgiften löser sig.
      cos v = -cos40°
      Cos40° är detsamma som x-värdet för den punkt på enhetscirkeln där vi har vinkeln 40°. Detta kommer att vara ett positivt värde som vi kan kalla för a. Här söks -cos40° = -a, detta x – värde hittas då vi har vinkeln 180-40 = 120°. Alltså gäller att v = 120°.

      Simon Rybrand
      1. tack för din hjälp !

        randsara
  6. Hejsan!
    Jag sitter och räknar på dubbla vinkeln för tillfället, men har kört fast. Förstår inte riktigt det där med exakta värden, ska man kunna räkna ut tex cos 22,5 grader och få det i bråkform (och inte använda miniräknare), eller måste man använda sig av en lathud för det?

    Elin Arvidsson
    1. Hej,
      Vissa exakta trigonometriska värden är bra att kunna och även att förstå hur du med hjälp av enhetscirkeln kan få fram dessa.
      Just cos(22,5) är inte vanligt att behöva kunna det exakta värdet för.
      Det skall dock vara $ \frac12 \sqrt{2+\sqrt{2}} $

      Simon Rybrand
  7. hej,
    I en av övningsuppgifterna jag gjorde på hemsidan så fick jag fel svar men i svaret stod det att cos(π) blev minus ett. Jag får inte ihop det. Om Pi står för vinkeln och vinkeln blir ca 3.14, borde inte cos(Pi) bli ca 1 då eller är det något jag missat? Hur de förklarade uppgiften:

    Förklaring
    Använd additionsreglerna för cosinus:

    cos(x+π)=cos(x)cos(π)−sin(x)sin(π)

    Eftersom cos(π)=−1 och sin(π)=0 så försvinner några uttryck och kvar har vi:

    cos(x)cos(π)−sin(x)sin(π)=cos(x)⋅(−1)−sin(x)⋅0=−cos(x)

    Filippa Örnberg
    1. Hej
      Det stämmer att $cos(\pi)=-1$. Där kan det vara bra att känna till enhetscirkeln och hur du kan bestämma exakta trigonometriska värden med hjälp av den.
      Tänk också på att $\pi\,rad=180°$.
      Fråga gärna vidare om något är otydligt kring detta.

      Simon Rybrand
  8. Jag håller på att kolla på din genomgång, där du använder dig av sin2v=2sinvxcosv. Jag förstår att du använder dig av dubbla vinkeln formeln. Men jag förstår inte hur du bryter ut 2cosv+1 ur täljaren. har du förlängt??

    Eleonora Ahlbäck
    1. Hej
      Nej där har jag inte förlängt utan jag bryter ut sinv i täljaren. Eftersom att sinv finns i bägge termerna så kan man bryta ut det för att sedan kunna förkorta med 2cosv + 1

      Simon Rybrand
      1. Jag kom på det 😉 tack för svar!

        Eleonora Ahlbäck
  9. hej
    på det sissta exemplet, efter kvadreringsregeln och trigonometriska ettan har vi kvar
    1-2(1-sin2x), hur kommer det sig att nästa steg blir 1-2+2sin2x? vart kommer + tecknet (+2sin2x) ifrån???

    diana guney
    1. Det kommer ifrån att det står -2 framför parentesen. När du multiplicerar in detta så byts tecken framför 2sin2x (lika tecken ger plus).

      Simon Rybrand
  10. Behöver hjälp med dessa uppgifter.

    Skriv om uttrycket så det bara innehåller cos x.

    a) $cos^2x + sin^2x $

    b)$ cos x + sin x * tan x$

    Anika Hossain
    1. Du kan med hjälp av trigonometriska ettan skriva om
      $sin^2x = 1 – cos^2x$
      så att du i a) får
      $cos^2x+(1-cos^2x) $ (detta är ju också lika med 1)
      I b) kan du använda att $tanx=\frac{sinx}{cosx}$ och skriva om uttrycket (återigen kommer du att kunna använda dig av trigonometriska ettan).
      Kanske du löser resten själv?

      Simon Rybrand
  11. Jag har fastnat helt och håller på två tal. Ekvationerna ska lösas algebraisk.

    a) Sin^2x=2Sinx

    b) Cosx(2cosx-4)=0

    Jag får inte riktigt till det..

    Smiiith
    1. Hej,
      Jag kan visa lite tips på den första så tror jag även att den andra ekvationen löser sig:
      ${\sin^{2}} \, {x}=2sinx ⇔$ (-2sinx)
      ${{\sin^{2}} \, {x}}-{{2} \, {sinx}}=0 ⇔$ (bryt ut sinx)
      $sinx\left(sinx-2\right)=0$
      Nollproduktmetoden ger här de två ekvationerna
      $1) \quad sinx=0$
      $2) \quad sinx-2=0$
      Dessa kan du lösa var för sig och få ut dina lösningar.
      Hjälper detta dig vidare?

      Simon Rybrand
  12. Hej!
    När man skulle räkna ut cos(pi) i andra testfrågan så behövde man ställa om räknaren till radianer… Det förstod jag först efter en massa googlande. Hur vet man när grafräknaren ska vara inställd på grader eller radianer?

    A.
    1. Radianer är precis som grader ett sätt att mäta vinklar. Anledningen till att man ibland använder sig av radianer som vinkelmått istället för grader är för att det i vissa fall blir mycket enklare att beräkna derivator av trigonometriska funktioner.
      Det du kan hålla utkik efter för att veta att det är radianer som används är exempelvis:
      – Det står att du skall använda radianer som vinkelmått
      – Vinkeln/vinklarna anges med radianer, ofta används då ett $\pi$
      – Uppgiften handlar om att derivera trigonometriska funktioner.

      Simon Rybrand
  13. Hej,
    Kan du förklara lite närmare hur du gör för att bryta ut sin v i täljaren? Vart kommer till exempel + 1 ifrån?

    Amandus Krantz
    1. Hej, vilken uppgift vill du ha mer förklaring på? Är det en i videon eller i övningarna?

      Simon Rybrand
      1. Exempel 3 i videon.

        Amandus Krantz
        1. I den uppgiften utgår vi alltså från vänsterledet och börjar med att använda oss av formeln för dubbla vinkeln, dvs att $ sin(2v)= 2sinv · cosv$ och sätter in detta istället för $sin(2v)$ i täljaren och får
          $ \frac{2·sinv · cosv+sinv}{2cosv+1}$
          I täljaren har vi nu $sinv$ i bägge termerna och kan därför bryta ut detta ur varje term. Här är det viktigt att känna till att om vi bryter ut $sinv$ ur just $ sinv $ så får vi en etta kvar där istället då $ sinv·1=sinv $.
          Vi får då
          $ \frac{sinv(2cosv+1}{2cosv+1}$
          Nu kan vi förkorta med $2cosv+1$ i täljaren och nämnaren och då får vi att
          $ \frac{sinv(2cosv+1}{2cosv+1} = sinv $

          Simon Rybrand
  14. I filmen ”Trigonometriska formler – träna mer” förekommer i diagnosen fråga 2 vinkeln pi.
    I det läget har de kanske inte hunnit jobba med det vinkelmåttet så det var lite förvirrande för mina elever. Jag ser att den filmen kommer längre ner i menyn så det är så du kanske också har tänkt. Ett litet tips bara 🙂

    Luleå Gymnasieskola
    1. Vi kikar på detta för att ordna det! Tack för tipset!

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: