...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Trigonometriska ettan

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Om Pythagoras sats och trigonometriska ettan

För att härleda det här sambandet använder vi pythagoras sats och enhetscirkeln så det kan vara bra att du känner till dessa två matematiska begrepp innan.

Pythagoras sats säger att i en rätvinklig triangel med hypotenusan c och kateterna a och b gäller följande samband:

$ c^2 = a^2 + b^2 $

Pythagoras sats kan också skrivas om på följande vis:
$ c^2 = a^2 + b^2 \Leftrightarrow $
$ c = \sqrt{a^2 + b^2} \Leftrightarrow $
$ a = \sqrt{c^2 – b^2} \Leftrightarrow $
$ b = \sqrt{c^2 – a^2} $

Det är det här sambandet vi använder i enhetscirkeln för att härleda detta trigonometriska samband.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Formeln för Trigonometriska ettan

I genomgången visar vi hur du med hjälp av enhetscirkeln och pythagoras härleder det som kallas trigonometriska ettan (förkortas ofta trig. ettan). Själva formeln är följande:

Trigonometriska ettan

$sin^2x + cos^2x = 1$

Du kan också skriva om denna formel på följande vis:
$ sin^2x + cos^2x=1 \Leftrightarrow $
$ sin^2x = 1 – cos^2x \Leftrightarrow $
$ cos^2x= 1 – sin^2x $

Vi kan också (precis som med pythagoras sats) skriva om trig. ettan på följande vis:
$ sin^2x + cos^2x = 1 \Leftrightarrow $
$ sinx = \sqrt{1 – cos^2x} \Leftrightarrow $
$ cos x = \sqrt{1 – sin^2x} $

 

Dessa omskrivningar kan vara till hjälp när du jobbar med att förenkla och utveckla trigonometriska formler och kan vara bra att ha med sig när du fortsätter i kursen.

Kommentarer

David Höglund

Hej! På sista uppgiften 1/(1−cos(v))+1(/1+cos(v)) har jag slagit knut på mig själv vid sista steget. Så vi har fått fram att det går att förenkla till 2/(1-cos^2v) –> 2/(sin^2(v)+cos^2(v)-cos^2(v)).
Är det tillåtet att subtrahera i nämnaren och varför? Testade även med 2/(4-2) men blir konstigt. Vilken räkneregel säger att en får göra så?
Tacksam för svar
//David

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Jag skrev om förklaringen på den uppgiften för att dela upp stegen ännu tydligare. Kolla i förklaringen till uppgiften!

Andreas Ährlund-Richter

Ville bara säga att här fungerar svaren bra, man får korrekt feedback för rätt/fel ( I övriga sektioner står ofta rätt svar som samma input jag gett, även när poängen inte gavs).

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Andreas
    Vi får kika på detta!

Agnes-Cecilia

Hej,
jag förstår inte tredje uppgiften där roten ur 1-(4/25) är samma som roten ur 21/25 …?

Tack för svar!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Där gör om det på följande vis:
    $1-\frac{4}{25} = \frac{25}{25}-\frac{4}{25} =$
    $\frac{25-4}{25} = \frac{21}{25} $
    Dvs vi använder av att vi kan skriva 1 som 25/25 och subtraherar bråken.

Karl Tellander

Sitter och går igenom uppgifterna inför provet.
Uppgift 3. Stämmer den verkligen?

Roten ur 0.84 är väl inte större än 1?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Jag har gjort om förklaringen på den uppgiften för att förtydliga vissa delar.
    Tänk exempelvis på att vi söker additionen av $ cosv + sinv $

Sunshineklein

Hej,

Jag förstår inte hur du ”utnyttjar” trigonometriska ettan i nämnaren. Kan du förklara det närmare även det?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Trigonometriska ettan kan skrivas om som
    $ sin^2v+cos^2v=1 \Leftrightarrow $
    $ sin^2v=1-cos^2v$

randsara

hur ska man beräkna exakta värde för tan 400grader ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Du kan börja att skriva om det hela till
    $ tan400° = \frac{sin(400°)}{cos(400°)} $

    Du kan också tänka dig att du går ett varv på enhetscirkeln 360° och 40° till. Det är alltså samma sak som att beräkna
    $\frac{sin(40°)}{cos(40°)} $

    Det finns dock inget exakt värde för sin/cos 40° i de flesta formelsamlingar. Får du någon annan information om någon vinkel eller något liknande i uppgiftsbeskrivningen?

      randsara

      jag hade skrivit fel siffran till dig det var tan 600 grader men jag jag ska försöka och göra det på det sättet som du har skrivit här

      tack för hjälpen!

nti_ma4

Hej!

Hur gör man med kvadranter?

Uppgift 1006 i Exponent 4:

1006. I vilken kvadrant ligger:
a. (cos 92, sin 92)
b. (cos (-43), sin (-43))
c. (cos 560, sin 560)

Tacksam för svar.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Kvadranter är alltså de olika delarna i ett koordinatssystem. Den första kvadranten ligger längst upp till höger (både x och y är positiva), den andra uppe till vänster (x negativt och y positivt) och så fortsätter du runt koordinatssystemet för tredje och fjärde kvadranterna.
    (cos 92, sin 92) ligger exempelvis i andra kvadranten då x (cos92) är negativt och y (sin92) är positivt.

      nti_ma4

      Tack så mycket

nti_ma4

Hej!

Jag har en uppgift som jag inte förstår. Uppgift 1002. c. i Exponent 4.

”Bestäm med hjälp av figuren tan (90 – v).” Alltså 90 grader. Figuren är en cirkel med P = (0,309, 0,951).

Sin v är därför 0,951 och cos v är 0,309. För att ta reda på tan v = sin v /cos v. Men det stämmer inte med facit. Får det till ca 3,077 och det ska vara 0,325.

Fattar inte 🙁 tacksam för hjälp!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, vinkeln (90-v) motsvarar den punkt på enhetscirkeln som har koordinaterna (0,951; 0,309) så då tar du reda på tangens för denna vinkel genom
    $ \frac{0,309}{0,951} = 0,325 $.

    Rita gärna ut vinkeln 90-v så tror jag du kommer att se detta samband.

      nti_ma4

      Tack!

      nti_ma4

      Hej!
      Skulle du kunna förklara varför det blir omvänt i divisionen? Alltså, varför det blir 0,951/ 0,309 och inte tvärtom?

        Simon Rybrand (Moderator)

        Hej, det beror på att vi skall bestämma tan(90-v) och sin(90-v) = 0,309 och cos(90-v) = 0,951. Det absolut bästa sättet för att förstå detta är att noggrant rita ut en enhetscirkel och markera dessa saker.

          Viktor Johnsson

          Hej!
          Är tan(90-v)=sin(90-v)/cos(90-v) rätt i alla tillfällen?
          Alltså tan(90-v)=cos v/sin v ?

            Simon Rybrand (Moderator)

            Hur tänker du kring ”rätt för alla tillfällen”?
            Menar du exempelvis för alla v? Tex gäller ju sambandet att $ tanv=\frac{sinv}{cosv} $

nti_ma4

Hej. Jag förstår inte 4 ovan. Skulle man kunna få se en mer utförlig förlängning av deras konjugat. Steg för steg s a s. Jag förstår inte hur nämnare 1+cos(v) i första ledet blir 1-cos^2(v) i andra ledet.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi har fyllt på med mer förklaring i den uppgiften, säg gärna till om det ändå känns otydligt på något vis.

      nti_ma4

      storartat! Nu fattar t o m jag 🙂

itgmatte

När man har förlängt ”bråken med sina konjugat” i uppgift 4 så borde väll den högra nämnaren vara:
’1 – cos^2’
och inte
’1 + cos^2’
eftersom de borde bli gemensamma nämnare.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Japp, det stämmer! Det har blivit ett skrivfel i uppgiften som nu är korrigerat!

nti_ma4

hur räknar jag ut detta: För en vinkel i kvadraten gäller att sin v=4/5. bestäm cos v! Blir så rörigt när det innehåller bråktal!

Behöver även hjälp med: bestäm tan(90-v) om sin v=0.95 cosv=0.30

Vad står v för och kan man byta ut det ?
Tacksam för svar!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    v står för en vinkel som du kan använda de trigonometriska sambanden för sin, cos, tan för att ta fram.

    Du kan först bestämma vinkeln v genom
    sin⁻¹(4/5) ≈ 53°
    Nu bestämmer vi
    cos(53) ≈ 0,6

linnearonsten

Hej, har försökt starta den här videon i några dagar men fungerar inte. De andra fungerar så kanske är det ngt fel? Mvh Linnéa

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Linnéa, jag testade att köra igång denna genomgång i webbläsarna Firefox och Chrome och det fungerade, om du har mer problem att se genomgångarna så kontakta gärna vår support så tar vi det därifrån.

oscar.bergman

Om jag bara visste om att ni fanns under alla mina mattekurser, kanske hade jag fått högre än G då….


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel

    Beräkna längden på sidan $x$ i den rätvinkliga triangeln i figuren.

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel

    Beräkna exakt $ 2cos^2x + 2sin^2x $

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel

    Bestäm det exakta värdet av $sin(v) + cos(v)$ om $sin(v) = \frac{2}{5}$.

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel

    Förenkla $\frac{1}{1-cos(v)}+\frac{1}{1+cos(v)}$

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar