...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Trigonometriska ekvationer

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Vad är en trigonometrisk ekvation?

En trigonometrisk ekvation är en ekvation som innehåller ett av de trigonometriska begreppen sinus, cosinus eller tangens. I den här genomgången går vi framförallt igenom hur du löser de trigonometriska ekvationerna som innehåller cosinus och sinus. Exempel på dessa typer av ekvationer kan vara
$ sin x = 0,5 $
$ cos 2x = 0,9 $
(se lösningar nedan)

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Metoden för att lösa trigonometriska ekvationer

Själva metoden för att lösa dessa ekvationer kan kortfattas beskrivas enligt följande:

  1. Se till att cos/sin står ensamt på ena sidan av likhetstecknet genom att addera, subtrahera, dividera eller multiplicera med samma sak på bägge sidor av likhetstecknet. När väl detta är klart kan du gå vidare till nästa steg.
  2. Ta arccos (kallas också cosinusinvers) eller arcsin (kallas också sinusinvers) på bägge sidor av likhetstecknet. Det som händer då är att du får två olika lösningar med oändligt antal variationer på. Eftersom den så kallade periodiciteten för både sinus och cosinus är 360° får du alltid variationerna n⋅360°.

De två lösningarna för sinus och cosinus blir inte lika utan följande gäller:

$sin x = a$ ger lösningarna:
$x = arcsin( a) + n⋅360°$ eller $x = (180° – arcsin( a)) + n⋅360°$

$cos x = a$ ger lösningarna
$x = ± arccos( a) + n⋅360°$

Anledningen till att man får oändligt antal lösningar förklaras noggrannare i videon men i grunden handlar det om att vinklarna som ger lösningen återkommer om och om igenom på enhetscirkeln. Vi tar helt enkelt bara ett varv till och återkommer till samma vinkel igen på enhetscirkeln.

Några exempel på lösningar av trigonometriska ekvationer

$ sin x = 0,5 $
$ x = arcsin 0,5 + n⋅360 $
$ x = 30 + n⋅360 $
eller
$ x = (180-30) + n⋅360 = 150 + n⋅360 $

 

$ cos 2x = 0,9 $
$ 2x = arccos 0,9 + n⋅360 $
$ 2x = ± 25,8 + n⋅360 $
$ x = ± 12,9 + n⋅180 $

Exempel i videon

  • Lös ekvationen $ sinv=0,5 $.
  • Lös ekvationen $ cos v=0,5 $.
  • Lös ekvationen $2sinx=1,2$.
  • Lös ekvationen $-cosx=0,5$.

Kommentarer

Clockwork Cadaver

Om man svarar utan gradtecken på uppgift 4 får man fel svar. Ifall det krävs att man ska svara med gradtecken kanske det borde klargöras i frågan?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det skall gå bra utan där, vi korrigerar det.

E S

Hej!
Uppgifterna visar bara (1/0/0)
Kan man ändra till högre nivå?
Tack.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    I detta test finns fler på högre nivå? Vart kikar du någonstans i denna lektion?

Mateusz Romanowski

Hej!
Jag undrar över fråga 6. Varför är svaret ±60° om -60° ligger inte i intervallet 0≤v≤360°?
Jag förstår inte riktigt.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Fel i frågan där, det är fixat!

Tova Bergman

Verkar vara fel på fråga 6 och 7, det står att jag har fel när jag har svarat rätt.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi fixar det, tack för att du sade till!

Andreas Ährlund-Richter

Väldigt konstigt, står att jag har 3 rätt, när jag i själva verket har 2 fel enligt facit.

Anika Hossain

frågan lyder exakt som jag formulerat den ovan ”lös ekvationen svara med en decimal”

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tror jag förstår nu vad du missuppfattar. Det är lösningen till $sinx=0$ som kan skrivas som
    $ x=n·180° $
    Där har vi de två lösningarna $x=0° + n·360°$ och $x=180°-0° + n·360°$
    Dessa två kan tillsammans skrivas som $x=n·180°$

Anika Hossain

Finns det ingen video som visar hur man ska slå ihop trigonometriska funktioner?

Jag är på ett tal som lyder såhär:

Lös ekvationen svara med en decimal.
2sinx(sinx-0,3)=0
Så eftersom detta är nollproduktsmetoden får jag i VL att:
x= 0 + n * 180
x= 90 + n*180

i facit står det att man kan slå ihop dem till
x = n * 180

Hur gör man det? Känner mig förvirrad då jag inte hittar någon sida i matteboken som förklarar detta grundligt…

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Nu vet jag inte exakt hur din uppgift är formulerad men jag har svårt att se hur man kan ”slå ihop” dem till x = n·180, däremot till x=n·90. Är det så det står?

A.

Hej!

Varför är svaren i grader i videon men inte i testfrågorna?

Och varför blir svaret i sista testfrågan inte +- 100,7?
Jag förstår lite varför ett av svaren är -16,7, eftersom -58,7 + 42 = -16,7, jag förstår bara inte varför de andra cosxekvationerna bara hade +- som svar. Hur vet man skillnaden? Kan man se i början på en ekvation om det blir två olika svar eller ett +- svar? (Självklart är det olika svar i alla ekvationer…men jag vet inte hur jag ska förklara det annars.)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Har uppdaterat och förtydligat övningsfrågorna så att vi gör det tydligare att det är grader som används även i frågorna.
    Det blir lite annorlunda när du har en ekvation som ser ut så här:
    $x – 42° = ±58,7° + n⋅360°$
    Då måste du ta hänsyn till att +58,7°+42° inte blir lika med +58,7°-42°. Så där måste du hålla utkik efter liknande typer av ekvationer, tex när det står cos(x-v)=a. Hade du bara haft ett x, tex cosx så behöver du inte tänka på detta exempelvis.
    Hoppas att detta hjälper dig vidare!

Sandra

Hej
Jag sitter och försöker förstå tredje exemplet.
cos(x – 42°) = 0,52
Ni skriver Först tar vi arccosinus – Varför gör man det?? Förstår ej vad sinus kommer in i det hela.
Finns det någonstans med formler /regler hur man ska göra vid dessa typer av ekvationer. Vart finner jag dem.

Tack för svar

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Att ta arccos är samma sak som att beräkna cosinusinvers ($ cos^{-1} $) och på det viset blir vi ”av med” cosinus. Jag rekommenderar att du kikar igenom innebörden av cos, sin och tan i följande video:
    Introduktion av trigonometri. Där får du en grundläggande förståelse för dessa begrepp.

darrrrUC

Hej jag har fastnat på ett tal som lyder följande:

sin^2(x) = cos(x) – 1
som jag efter kvadrering och annat blir cos(x) = 1 och svaret står är 0 + 2*pi*n jag förstår inte var detta kommer ifrån.

Borde jag inte kunna göra om cos(x) = 1 till x = arccos (1) och få svaret 0?

Var kommer 2*pi*n ifrån?

mvh Emil Carlsson

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det är periodiciteten som du behöver ta med när du löser trigonometriska ekvationer. Dvs att lösningen återkommer med ett bestämt intervall, i det här fallet $ 2\pi n $. I ditt fall så används vinkelmåttet radianer så titta gärna igenom videon på detta.

AntonWallin

Hej! Jag kollade på cos(x-42°)=-0,33 i min mattebok, och får att en av lösningarna är x ungefär lika med 151 grader + n*360 (lika som i facit). Men det står att den andra lösningen är x ungefär lika med 293 grader + n*360. Stämmer det, och i så fall – hur kommer man fram till det?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Ja det stämmer, när du tar $cos^{-1}$ så får du $\pm$ så att du har
    $x-42°=\pm109,26 + n360°$

    Du räknar ut då du har + men inte -, då får du:
    $x=(-109,26 + 42) + n360° ≈ -67,2687 + n360°$ $ = 293 + n360° $
    (tänk på att -67,2687 +360 = 293°)

Simon Rybrand (Moderator)

Hej,
Den tror jag kan blir ganska klurig att lösa då du har 2x och 3x (dvs omskrivning till tan blir svårt).
Man kan skriva om ekvationen med hjälp av formler för dubbla vinkeln och eventuellt också additionssatserna.

Leila

Arccos 0.5 är 60,
Hur man ska slå arccos -0.5?
Förmodligen jag slog fel.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, ja det stämmer att
    arccos(-0,5) = 120°.

    Tänk på att många räknare har olika knappar för operationen minus – och beteckning av negativa tal (-). Här skall du använda beteckningen av negativa tal för att få ett negativt (-0,5). Viktigt är också att du har räknaren inställd på grader (degrees) och inte radianer (radians).

Leila

Min miniräknare ger mig 60 grader för arccos -0.5!!
Men dit svar är 120 grader. Slår jag fel eller?!

samah

va slår man på för att få värdet sinx=0.6 ?

    samah

    jag slog på miniräknaren som står på hemsidan asin(0.6) men jag fick 0 stämmer det ??

      Simon Rybrand (Moderator)

      Hej,
      $ arcsin(0,6) ≈ 36,87° $

      Slår du på rätt knapp på räknaren, viktigt är också att du har den inställd på grader om det är så du skall svara på uppgiften.

nti_ma4

det är första gången jag ser att du förklarar väldigt bra ^^

nti_ma4

x= (180-30)+n.360
vad är ”n” här?
kan nån förklara det?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det hänger ihop med det som kallas för periodicitet och att samma vinklar återkommer med (i ditt fall) 360° graders intervallet. Kika gärna mera på enhetscirkeln och trigonometriska funktioner och deras periodicitet.

    n:et står för heltal som du multiplicerar 360 med för att få nästa vinkel i periodiciteten.

nti_ma4

Nr 3 i testfrågorna:
Hur blir det -16,7?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, den härrör från
    x – 42° = -58,7 + n⋅360
    alltså från fallet där vi har -58,7. Sedan tar vi +42 för att få x ensamt, dvs
    x = -58,7+42 + n⋅360
    x = -16,7 + n⋅360

soulpat

Räcker det inte med endast ett svar? Jag menar, -90 och 270 är väl samma sak, eller?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Visserligen är -90 och 270 ”samma sak” på enhetscirkeln men det är fortfarande olika gradtal. Enhetscirkeln är i detta fall mer ett sätt att förklara att samma lösningar (värden) återkommer oändligt antal gånger med samma periodicitet.

soulpat

Är det korrekt att SinX= – 1 endast ger en lösning?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, ja delvis ger den ekvationen endast en lösning om vi räknar bort att lösningen återkommer enligt periodiciteten. Det här beror på följande:
    $ sin x = -1 $ (arcsin)
    $ x = -90° + n \cdot 360° $
    eller
    $ x = (180 – (-90°)) + n \cdot 360° $
    $ x = 270 + n \cdot 360° $

    Men här är det viktigt att förstå att $ x = -90° + n \cdot 360° = 270 + n \cdot 360° $ då -90° = 270°.

Niklas81

Väldigt, väldigt bra förklarat. Tack.

Tycker att den här videon, på ett sätt mer än alla andra, visar på kopplingar från början till slutet på ett väldigt pedagogiskt vis.

Men det kanske är fördelen med enhetscirkeln.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Niklas och tack för din kommentar. Det var bra att detta hjälpte dig att se helheten kring trigonometriska ekvation. Det som är fördelen med att verkligen förstå enhetscirkeln är att du då har ett verktyg för att förstå många delar inom trigonometrin som ekvationer, trigonometriska formler eller trigonometriska funktioner.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (3)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken vinkel i intervallet $0≤v≤360° $ har samma $y$-värde som punkten $P$.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen  $\cos v=0,5$cosv=0,5 i intervallet  $0\le v\le180°$0v180° 

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $4\cdot sin\,v = 2$   i intervallet $0≤v≤360° $

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.

c-uppgifter (4)

  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $sin\, x = 0,6$ och ange alla värden på $x$ som uppfyller likheten.

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $1 + 2cos\,2x = 0$ fullständigt.

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Din vän har försökt bevisa att $tan\,v=-tan(180°-v)$ men får inte riktigt till det. I vilket steg anser du din vän gör fel?

    Steg 1
     

    Steg 2

    Steg 3

    Steg 4

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/2)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M1
    R1
    K

    Din vän påstår att $v=45°$ och $u=225°$ har samma värde för tangens och att det kan bevisas utan räknare. 

    Försök att fundera ut hur din väns bevis skulle kunna se ut och skriv ner det på ett papper. Försök att göra beviset utan räknare. Välj sedan det alternativ du anser stämmer bäst med ditt resultat.

    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/1)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $cos(x – 42°) = 0,52$ fullständigt.

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar