Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 3
/ Trigonometri
Trigonometriska ekvationer
Innehåll
En trigonometrisk ekvation är en ekvation som innehåller ett av de trigonometriska sambanden sinus, cosinus eller tangens. I den här lektionen lär du dig att lösa ekvationer med sinus och cosinus fullständigt.
Allmän lösning till sinus
$\sin v=a$sinv=a där $-1\le a\le1$−1≤a≤1
Alla lösningar ges av
$v=\sin^{-1}a+n\cdot360°$v=sin−1a+n·360° , $n$n är ett heltal
eller
$v=180°-\sin^{-1}a+n\cdot360°$v=180°−sin−1a+n·360° , $n$n är ett heltal
Allmän lösning till cosinus
$\cos v=a$cosv=a där $-1\le a\le1$−1≤a≤1
Alla lösningar ges av
$v=\pm\cos^{-1}a+n\cdot360°$v=±cos−1a+n·360° , $n$n är ett heltal
Metoden för att lösa trigonometriska ekvationer
Själva metoden för att lösa dessa ekvationer kan kortfattat beskrivas enligt följande:
- Se till att $\cos$cos eller $\sin$sinstår ensamt på ena sidan av likhetstecknet först.
- Ta inversen (sinusinvers eller cosinusinvers) på bägge sidor av likhetstecknet. Det som händer då är att du får två olika lösningar med oändligt antal variationer på. Eftersom den så kallade periodiciteten för både sinus och cosinus är $360^{\circ}$360∘ får du alltid variationerna $n\cdot360^{\circ}$n·360∘ där $n$n är ett heltal.
Några exempel på lösningar av trigonometriska ekvationer
Exempel 1
Lös ekvationen $\sin x=0,5$sinx=0,5 fullständigt
Lösning
$x=\arcsin0,5+n\cdot360°$x=arcsin0,5+n·360°
$x=30°+n\cdot360°$x=30°+n·360°
eller
$x=(180°-30°)+n\cdot360°=150°+n\cdot360°$x=(180°−30°)+n·360°=150°+n·360°
där $n$n är ett heltal.
Exempel 2
Lös ekvationen $\cos x=0,9$cosx=0,9 fullständigt
Lösning
$\cos x=0,9$cosx=0,9
$x=\pm\arccos0,9+n\cdot360^{\circ}$x=±arccos0,9+n·360∘
$x\approx\pm25,8+n\cdot360^{\circ}$x≈±25,8+n·360∘ där $n$n är ett heltal
Exempel 3
Ange alla lösningar till $2\cos x=0,764$2cosx=0,764 i intervallet $0\le x\le360^{\circ}$0≤x≤360∘.
Lösning
$2\cos x=0,764$2cosx=0,764 Dela med 2
$\cos x=0,382$cosx=0,382
$x=\pm\arccos0,383+n\cdot360$x=±arccos0,383+n·360
$x\approx\pm68^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$x≈±68∘+n·360∘
De lösningar som ligger i intervallet är
$x_1=68^{\circ}$x1=68∘
$x_2=-68^{\circ}+360^{\circ}=292^{\circ}$x2=−68∘+360∘=292∘
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (6)
-
1. Premium
Ange lösningen till $\cos x=-\frac{1}{2}$cosx=−12 i intervallet $0\le x\le180^{\circ}$0≤x≤180∘.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: trigonometri trigonometriska ekvationerRättar...2. Premium
Lös ekvationen $\cos v=0,5$cosv=0,5 i intervallet $0\le v\le180°$0≤v≤180°
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...3. Premium
Ange samtliga lösningar till ekvationen $\sin v=0,366$sinv=0,366.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: trigonometri trigonometriska ekvationerRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Ange samtliga lösningar till ekvationen $2\cos v=0,852$2cosv=0,852
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: trigonometri trigonometriska ekvationerRättar...5. Premium
Ange den vinkel i intervallet $0<v<360° $ som har samma $y$-värde som punkten $P$.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...6. Premium
Lös ekvationen $4\cdot\sin v=2$4·sinv=2 i intervallet $0\le v\le360°$0≤v≤360°
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (4)
-
7. Premium
För vilken eller vilka av vinklarna här nedanför gäller att $\cos v=\cos60°$cosv=cos60° ?
A. $v=-300°$v=−300°
B. $v=-60°$v=−60°
C. $v=120°$v=120°
D. $v=300°$v=300°
E. $v=410°$v=410°Ange ditt svar med aktuella bokstäver.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Enhetscirkeln geometi sinus trigonometri trigonometriska sambandRättar...8. Premium
Lös ekvationen $\sin x=0,6$sinx=0,6 och ange alla värden på $x$x som uppfyller likheten.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...9. Premium
Lös ekvationen $1+2\cos2x=0$1+2cos2x=0 fullständigt.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...10. Premium
Din vän har försökt bevisa att $\tan v=-\tan(180°-v)$tanv=−tan(180°−v) men får inte riktigt till det.
I vilket steg anser du din vän gör fel?
Steg 1
Steg 2
Steg 3
Steg 4
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...a-uppgifter (2)
-
11. Premium
Din vän påstår att $v=45°$ och $u=225°$ har samma värde för tangens och att det kan bevisas utan räknare.
Försök att fundera ut hur din väns bevis skulle kunna se ut och skriv ner det på ett papper. Försök att göra beviset utan räknare. Välj sedan det alternativ du anser stämmer bäst med ditt resultat.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
12. Premium
Lös ekvationen $\cos(x-42°)=0,52$cos(x−42°)=0,52 fullständigt.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
-
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Louise Widebrant
För att jag läste intervallet fel….. 😛
Louise Widebrant
Hej!
Hur kommer det sig att svaret på första övningsuppgifter är endast x = 120 grader när också x = -120 grader + 360 grader = 240 grader också ligger i intervallet? 🙂
Maja Almlöf
Hej, fråga 7 verkar ge fel svar. Jag svarade abd men fick fel. I förklaringen till uppgiften verkar jag ha rätt.
Simon Rybrand (Moderator)
Det är A och D som är de korrekta alternativen.
Du kan svara t ex AD, A,D eller A och D
Johan Ahlberg
Det finns frågor här angående tangens men ingenstans i genomgången förklara det hur tangens fungerar utan den får man först efter att man svarat på frågorna och klickar på förklaring.
Simon Rybrand (Moderator)
Kan rekommendera att kika på genomgången om sin, cos och tan. Kanske det kan hjälpa en bit på vägen:
https://eddler.se/lektioner/sin-cos-och-tan/
Clockwork Cadaver
Om man svarar utan gradtecken på uppgift 4 får man fel svar. Ifall det krävs att man ska svara med gradtecken kanske det borde klargöras i frågan?
Simon Rybrand (Moderator)
Det skall gå bra utan där, vi korrigerar det.
E S
Hej!
Uppgifterna visar bara (1/0/0)
Kan man ändra till högre nivå?
Tack.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
I detta test finns fler på högre nivå? Vart kikar du någonstans i denna lektion?
Mateusz Romanowski
Hej!
Jag undrar över fråga 6. Varför är svaret ±60° om -60° ligger inte i intervallet 0≤v≤360°?
Jag förstår inte riktigt.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Fel i frågan där, det är fixat!
Tova Bergman
Verkar vara fel på fråga 6 och 7, det står att jag har fel när jag har svarat rätt.
Simon Rybrand (Moderator)
Vi fixar det, tack för att du sade till!
Andreas Ährlund-Richter
Väldigt konstigt, står att jag har 3 rätt, när jag i själva verket har 2 fel enligt facit.
Anika Hossain
frågan lyder exakt som jag formulerat den ovan ”lös ekvationen svara med en decimal”
Simon Rybrand (Moderator)
Tror jag förstår nu vad du missuppfattar. Det är lösningen till $sinx=0$ som kan skrivas som
$ x=n·180° $
Där har vi de två lösningarna $x=0° + n·360°$ och $x=180°-0° + n·360°$
Dessa två kan tillsammans skrivas som $x=n·180°$
Anika Hossain
Finns det ingen video som visar hur man ska slå ihop trigonometriska funktioner?
Jag är på ett tal som lyder såhär:
Lös ekvationen svara med en decimal.
2sinx(sinx-0,3)=0
Så eftersom detta är nollproduktsmetoden får jag i VL att:
x= 0 + n * 180
x= 90 + n*180
i facit står det att man kan slå ihop dem till
x = n * 180
Hur gör man det? Känner mig förvirrad då jag inte hittar någon sida i matteboken som förklarar detta grundligt…
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Nu vet jag inte exakt hur din uppgift är formulerad men jag har svårt att se hur man kan ”slå ihop” dem till x = n·180, däremot till x=n·90. Är det så det står?
A.
Hej!
Varför är svaren i grader i videon men inte i testfrågorna?
Och varför blir svaret i sista testfrågan inte +- 100,7?
Jag förstår lite varför ett av svaren är -16,7, eftersom -58,7 + 42 = -16,7, jag förstår bara inte varför de andra cosxekvationerna bara hade +- som svar. Hur vet man skillnaden? Kan man se i början på en ekvation om det blir två olika svar eller ett +- svar? (Självklart är det olika svar i alla ekvationer…men jag vet inte hur jag ska förklara det annars.)
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Har uppdaterat och förtydligat övningsfrågorna så att vi gör det tydligare att det är grader som används även i frågorna.
Det blir lite annorlunda när du har en ekvation som ser ut så här:
$x – 42° = ±58,7° + n⋅360°$
Då måste du ta hänsyn till att +58,7°+42° inte blir lika med +58,7°-42°. Så där måste du hålla utkik efter liknande typer av ekvationer, tex när det står cos(x-v)=a. Hade du bara haft ett x, tex cosx så behöver du inte tänka på detta exempelvis.
Hoppas att detta hjälper dig vidare!
Sandra
Hej
Jag sitter och försöker förstå tredje exemplet.
cos(x – 42°) = 0,52
Ni skriver Först tar vi arccosinus – Varför gör man det?? Förstår ej vad sinus kommer in i det hela.
Finns det någonstans med formler /regler hur man ska göra vid dessa typer av ekvationer. Vart finner jag dem.
Tack för svar
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Att ta arccos är samma sak som att beräkna cosinusinvers ($ cos^{-1} $) och på det viset blir vi ”av med” cosinus. Jag rekommenderar att du kikar igenom innebörden av cos, sin och tan i följande video:
Introduktion av trigonometri. Där får du en grundläggande förståelse för dessa begrepp.
darrrrUC
Hej jag har fastnat på ett tal som lyder följande:
sin^2(x) = cos(x) – 1
som jag efter kvadrering och annat blir cos(x) = 1 och svaret står är 0 + 2*pi*n jag förstår inte var detta kommer ifrån.
Borde jag inte kunna göra om cos(x) = 1 till x = arccos (1) och få svaret 0?
Var kommer 2*pi*n ifrån?
mvh Emil Carlsson
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det är periodiciteten som du behöver ta med när du löser trigonometriska ekvationer. Dvs att lösningen återkommer med ett bestämt intervall, i det här fallet $ 2\pi n $. I ditt fall så används vinkelmåttet radianer så titta gärna igenom videon på detta.
AntonWallin
Hej! Jag kollade på cos(x-42°)=-0,33 i min mattebok, och får att en av lösningarna är x ungefär lika med 151 grader + n*360 (lika som i facit). Men det står att den andra lösningen är x ungefär lika med 293 grader + n*360. Stämmer det, och i så fall – hur kommer man fram till det?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Ja det stämmer, när du tar $cos^{-1}$ så får du $\pm$ så att du har
$x-42°=\pm109,26 + n360°$
Du räknar ut då du har + men inte -, då får du:
$x=(-109,26 + 42) + n360° ≈ -67,2687 + n360°$ $ = 293 + n360° $
(tänk på att -67,2687 +360 = 293°)
Simon Rybrand (Moderator)
Hej,
Den tror jag kan blir ganska klurig att lösa då du har 2x och 3x (dvs omskrivning till tan blir svårt).
Man kan skriva om ekvationen med hjälp av formler för dubbla vinkeln och eventuellt också additionssatserna.
Leila
Arccos 0.5 är 60,
Hur man ska slå arccos -0.5?
Förmodligen jag slog fel.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, ja det stämmer att
arccos(-0,5) = 120°.
Tänk på att många räknare har olika knappar för operationen minus – och beteckning av negativa tal (-). Här skall du använda beteckningen av negativa tal för att få ett negativt (-0,5). Viktigt är också att du har räknaren inställd på grader (degrees) och inte radianer (radians).
Leila
Min miniräknare ger mig 60 grader för arccos -0.5!!
Men dit svar är 120 grader. Slår jag fel eller?!
samah
va slår man på för att få värdet sinx=0.6 ?
samah
jag slog på miniräknaren som står på hemsidan asin(0.6) men jag fick 0 stämmer det ??
Simon Rybrand (Moderator)
Hej,
$ arcsin(0,6) ≈ 36,87° $
Slår du på rätt knapp på räknaren, viktigt är också att du har den inställd på grader om det är så du skall svara på uppgiften.
nti_ma4
det är första gången jag ser att du förklarar väldigt bra ^^
nti_ma4
x= (180-30)+n.360
vad är ”n” här?
kan nån förklara det?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, det hänger ihop med det som kallas för periodicitet och att samma vinklar återkommer med (i ditt fall) 360° graders intervallet. Kika gärna mera på enhetscirkeln och trigonometriska funktioner och deras periodicitet.
n:et står för heltal som du multiplicerar 360 med för att få nästa vinkel i periodiciteten.
nti_ma4
Nr 3 i testfrågorna:
Hur blir det -16,7?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, den härrör från
x – 42° = -58,7 + n⋅360
alltså från fallet där vi har -58,7. Sedan tar vi +42 för att få x ensamt, dvs
x = -58,7+42 + n⋅360
x = -16,7 + n⋅360
soulpat
Räcker det inte med endast ett svar? Jag menar, -90 och 270 är väl samma sak, eller?
Simon Rybrand (Moderator)
Visserligen är -90 och 270 ”samma sak” på enhetscirkeln men det är fortfarande olika gradtal. Enhetscirkeln är i detta fall mer ett sätt att förklara att samma lösningar (värden) återkommer oändligt antal gånger med samma periodicitet.
soulpat
Är det korrekt att SinX= – 1 endast ger en lösning?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, ja delvis ger den ekvationen endast en lösning om vi räknar bort att lösningen återkommer enligt periodiciteten. Det här beror på följande:
$ sin x = -1 $ (arcsin)
$ x = -90° + n \cdot 360° $
eller
$ x = (180 – (-90°)) + n \cdot 360° $
$ x = 270 + n \cdot 360° $
Men här är det viktigt att förstå att $ x = -90° + n \cdot 360° = 270 + n \cdot 360° $ då -90° = 270°.
Niklas81
Väldigt, väldigt bra förklarat. Tack.
Tycker att den här videon, på ett sätt mer än alla andra, visar på kopplingar från början till slutet på ett väldigt pedagogiskt vis.
Men det kanske är fördelen med enhetscirkeln.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Niklas och tack för din kommentar. Det var bra att detta hjälpte dig att se helheten kring trigonometriska ekvation. Det som är fördelen med att verkligen förstå enhetscirkeln är att du då har ett verktyg för att förstå många delar inom trigonometrin som ekvationer, trigonometriska formler eller trigonometriska funktioner.
Endast Premium-användare kan kommentera.