Trigonometriska ekvationer - Lär dig lösa dem

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 C

Trigonometriska ekvationer

Ekvationer Trigonometri

Video

I den här genomgången tittar på vi trigonometriska ekvationer och hur dessa fungerar. Vi lär oss vilka olika typer av lösningar vi får och tränar på lösningsmetoden.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 500+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 3500+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 KR
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.

Vad tycker du om videon?

10 votes, average: 4,30 out of 510 votes, average: 4,30 out of 510 votes, average: 4,30 out of 510 votes, average: 4,30 out of 510 votes, average: 4,30 out of 5
10
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
3

Text

Exempel i videon

  • Lös ekvationen $ sinv=0,5 $.
  • Lös ekvationen $ cos v=0,5 $.
  • Lös ekvationen $2sinx=1,2$.
  • Lös ekvationen $-cosx=0,5$.

Vad är en trigonometrisk ekvation?

En trigonometrisk ekvation är en ekvation som innehåller ett av de trigonometriska begreppen sinus, cosinus eller tangens. I den här genomgången går vi framförallt igenom hur du löser de trigonometriska ekvationerna som innehåller cosinus och sinus. Exempel på dessa typer av ekvationer kan vara
$ sin x = 0,5 $
$ cos 2x = 0,9 $
(se lösningar nedan)

Metoden för att lösa trigonometriska ekvationer

Själva metoden för att lösa dessa ekvationer kan kortfattas beskrivas enligt följande:

  1. Se till att cos/sin står ensamt på ena sidan av likhetstecknet genom att addera, subtrahera, dividera eller multiplicera med samma sak på bägge sidor av likhetstecknet. När väl detta är klart kan du gå vidare till nästa steg.
  2. Ta arccos (kallas också cosinusinvers) eller arcsin (kallas också sinusinvers) på bägge sidor av likhetstecknet. Det som händer då är att du får två olika lösningar med oändligt antal variationer på. Eftersom den så kallade periodiciteten för både sinus och cosinus är 360° får du alltid variationerna n⋅360°.

De två lösningarna för sinus och cosinus blir inte lika utan följande gäller:

$sin x = a$ ger lösningarna:
$x = arcsin( a) + n⋅360°$ eller $x = (180° – arcsin( a)) + n⋅360°$

$cos x = a$ ger lösningarna
$x = ± arccos( a) + n⋅360°$

Anledningen till att man får oändligt antal lösningar förklaras noggrannare i videon men i grunden handlar det om att vinklarna som ger lösningen återkommer om och om igenom på enhetscirkeln. Vi tar helt enkelt bara ett varv till och återkommer till samma vinkel igen på enhetscirkeln.

Några exempel på lösningar av trigonometriska ekvationer

$ sin x = 0,5 $
$ x = arcsin 0,5 + n⋅360 $
$ x = 30 + n⋅360 $
eller
$ x = (180-30) + n⋅360 = 150 + n⋅360 $

 

$ cos 2x = 0,9 $
$ 2x = arccos 0,9 + n⋅360 $
$ 2x = ± 25,8 + n⋅360 $
$ x = ± 12,9 + n⋅180 $

Kommentarer

  1. Väldigt, väldigt bra förklarat. Tack.

    Tycker att den här videon, på ett sätt mer än alla andra, visar på kopplingar från början till slutet på ett väldigt pedagogiskt vis.

    Men det kanske är fördelen med enhetscirkeln.

    Niklas81
    1. Hej Niklas och tack för din kommentar. Det var bra att detta hjälpte dig att se helheten kring trigonometriska ekvation. Det som är fördelen med att verkligen förstå enhetscirkeln är att du då har ett verktyg för att förstå många delar inom trigonometrin som ekvationer, trigonometriska formler eller trigonometriska funktioner.

      Simon Rybrand
  2. Är det korrekt att SinX= – 1 endast ger en lösning?

    soulpat
    1. Hej, ja delvis ger den ekvationen endast en lösning om vi räknar bort att lösningen återkommer enligt periodiciteten. Det här beror på följande:
      $ sin x = -1 $ (arcsin)
      $ x = -90° + n \cdot 360° $
      eller
      $ x = (180 – (-90°)) + n \cdot 360° $
      $ x = 270 + n \cdot 360° $

      Men här är det viktigt att förstå att $ x = -90° + n \cdot 360° = 270 + n \cdot 360° $ då -90° = 270°.

      Simon Rybrand
  3. Räcker det inte med endast ett svar? Jag menar, -90 och 270 är väl samma sak, eller?

    soulpat
    1. Visserligen är -90 och 270 ”samma sak” på enhetscirkeln men det är fortfarande olika gradtal. Enhetscirkeln är i detta fall mer ett sätt att förklara att samma lösningar (värden) återkommer oändligt antal gånger med samma periodicitet.

      Simon Rybrand
  4. Nr 3 i testfrågorna:
    Hur blir det -16,7?

    nti_ma4
    1. Hej, den härrör från
      x – 42° = -58,7 + n⋅360
      alltså från fallet där vi har -58,7. Sedan tar vi +42 för att få x ensamt, dvs
      x = -58,7+42 + n⋅360
      x = -16,7 + n⋅360

      Simon Rybrand
  5. x= (180-30)+n.360
    vad är ”n” här?
    kan nån förklara det?

    nti_ma4
    1. Hej, det hänger ihop med det som kallas för periodicitet och att samma vinklar återkommer med (i ditt fall) 360° graders intervallet. Kika gärna mera på enhetscirkeln och trigonometriska funktioner och deras periodicitet.

      n:et står för heltal som du multiplicerar 360 med för att få nästa vinkel i periodiciteten.

      Simon Rybrand
  6. det är första gången jag ser att du förklarar väldigt bra ^^

    nti_ma4
  7. va slår man på för att få värdet sinx=0.6 ?

    samah
    1. jag slog på miniräknaren som står på hemsidan asin(0.6) men jag fick 0 stämmer det ??

      samah
      1. Hej,
        $ arcsin(0,6) ≈ 36,87° $

        Slår du på rätt knapp på räknaren, viktigt är också att du har den inställd på grader om det är så du skall svara på uppgiften.

        Simon Rybrand
  8. Min miniräknare ger mig 60 grader för arccos -0.5!!
    Men dit svar är 120 grader. Slår jag fel eller?!

    Leila
  9. Arccos 0.5 är 60,
    Hur man ska slå arccos -0.5?
    Förmodligen jag slog fel.

    Leila
    1. Hej, ja det stämmer att
      arccos(-0,5) = 120°.

      Tänk på att många räknare har olika knappar för operationen minus – och beteckning av negativa tal (-). Här skall du använda beteckningen av negativa tal för att få ett negativt (-0,5). Viktigt är också att du har räknaren inställd på grader (degrees) och inte radianer (radians).

      Simon Rybrand
  10. Tjena, skulle du kunna förklara för mig hur jag löser cos2x = sin3x?, har verkligen problem med den!

    NISSE-MA
    1. Hej,
      Den tror jag kan blir ganska klurig att lösa då du har 2x och 3x (dvs omskrivning till tan blir svårt).
      Man kan skriva om ekvationen med hjälp av formler för dubbla vinkeln och eventuellt också additionssatserna. Om du vill så kan du posta detta problem i vårt forum här så har vi lite mer plats att resonera kring uppgiften.

      Simon Rybrand
  11. Hej! Jag kollade på cos(x-42°)=-0,33 i min mattebok, och får att en av lösningarna är x ungefär lika med 151 grader + n*360 (lika som i facit). Men det står att den andra lösningen är x ungefär lika med 293 grader + n*360. Stämmer det, och i så fall – hur kommer man fram till det?

    AntonWallin
    1. Hej
      Ja det stämmer, när du tar $cos^{-1}$ så får du $\pm$ så att du har
      $x-42°=\pm109,26 + n360°$

      Du räknar ut då du har + men inte -, då får du:
      $x=(-109,26 + 42) + n360° ≈ -67,2687 + n360°$ $ = 293 + n360° $
      (tänk på att -67,2687 +360 = 293°)

      Simon Rybrand
  12. Hej jag har fastnat på ett tal som lyder följande:

    sin^2(x) = cos(x) – 1
    som jag efter kvadrering och annat blir cos(x) = 1 och svaret står är 0 + 2*pi*n jag förstår inte var detta kommer ifrån.

    Borde jag inte kunna göra om cos(x) = 1 till x = arccos (1) och få svaret 0?

    Var kommer 2*pi*n ifrån?

    mvh Emil Carlsson

    darrrrUC
    1. Hej
      Det är periodiciteten som du behöver ta med när du löser trigonometriska ekvationer. Dvs att lösningen återkommer med ett bestämt intervall, i det här fallet $ 2\pi n $. I ditt fall så används vinkelmåttet radianer så titta gärna igenom videon på detta.

      Simon Rybrand
  13. Hej
    Jag sitter och försöker förstå tredje exemplet.
    cos(x – 42°) = 0,52
    Ni skriver Först tar vi arccosinus – Varför gör man det?? Förstår ej vad sinus kommer in i det hela.
    Finns det någonstans med formler /regler hur man ska göra vid dessa typer av ekvationer. Vart finner jag dem.

    Tack för svar

    Sandra
    1. Hej
      Att ta arccos är samma sak som att beräkna cosinusinvers ($ cos^{-1} $) och på det viset blir vi ”av med” cosinus. Jag rekommenderar att du kikar igenom innebörden av cos, sin och tan i följande video:
      Introduktion av trigonometri. Där får du en grundläggande förståelse för dessa begrepp.

      Simon Rybrand
  14. Hej!

    Varför är svaren i grader i videon men inte i testfrågorna?

    Och varför blir svaret i sista testfrågan inte +- 100,7?
    Jag förstår lite varför ett av svaren är -16,7, eftersom -58,7 + 42 = -16,7, jag förstår bara inte varför de andra cosxekvationerna bara hade +- som svar. Hur vet man skillnaden? Kan man se i början på en ekvation om det blir två olika svar eller ett +- svar? (Självklart är det olika svar i alla ekvationer…men jag vet inte hur jag ska förklara det annars.)

    A.
    1. Hej
      Har uppdaterat och förtydligat övningsfrågorna så att vi gör det tydligare att det är grader som används även i frågorna.
      Det blir lite annorlunda när du har en ekvation som ser ut så här:
      $x – 42° = ±58,7° + n⋅360°$
      Då måste du ta hänsyn till att +58,7°+42° inte blir lika med +58,7°-42°. Så där måste du hålla utkik efter liknande typer av ekvationer, tex när det står cos(x-v)=a. Hade du bara haft ett x, tex cosx så behöver du inte tänka på detta exempelvis.
      Hoppas att detta hjälper dig vidare!

      Simon Rybrand
  15. Finns det ingen video som visar hur man ska slå ihop trigonometriska funktioner?

    Jag är på ett tal som lyder såhär:

    Lös ekvationen svara med en decimal.
    2sinx(sinx-0,3)=0
    Så eftersom detta är nollproduktsmetoden får jag i VL att:
    x= 0 + n * 180
    x= 90 + n*180

    i facit står det att man kan slå ihop dem till
    x = n * 180

    Hur gör man det? Känner mig förvirrad då jag inte hittar någon sida i matteboken som förklarar detta grundligt…

    Anika Hossain
    1. Hej
      Nu vet jag inte exakt hur din uppgift är formulerad men jag har svårt att se hur man kan ”slå ihop” dem till x = n·180, däremot till x=n·90. Är det så det står?

      Simon Rybrand
  16. frågan lyder exakt som jag formulerat den ovan ”lös ekvationen svara med en decimal”

    Anika Hossain
    1. Tror jag förstår nu vad du missuppfattar. Det är lösningen till $sinx=0$ som kan skrivas som
      $ x=n·180° $
      Där har vi de två lösningarna $x=0° + n·360°$ och $x=180°-0° + n·360°$
      Dessa två kan tillsammans skrivas som $x=n·180°$

      Simon Rybrand
  17. Väldigt konstigt, står att jag har 3 rätt, när jag i själva verket har 2 fel enligt facit.

    Andreas Ährlund-Richter
  18. Verkar vara fel på fråga 6 och 7, det står att jag har fel när jag har svarat rätt.

    Tova Bergman
    1. Vi fixar det, tack för att du sade till!

      Simon Rybrand
  19. Hej!
    Jag undrar över fråga 6. Varför är svaret ±60° om -60° ligger inte i intervallet 0≤v≤360°?
    Jag förstår inte riktigt.

    Mateusz Romanowski
    1. Hej
      Fel i frågan där, det är fixat!

      Simon Rybrand
  20. Hej!
    Uppgifterna visar bara (1/0/0)
    Kan man ändra till högre nivå?
    Tack.

    E S
    1. Hej
      I detta test finns fler på högre nivå? Vart kikar du någonstans i denna lektion?

      Simon Rybrand
  21. Om man svarar utan gradtecken på uppgift 4 får man fel svar. Ifall det krävs att man ska svara med gradtecken kanske det borde klargöras i frågan?

    Clockwork Cadaver
    1. Det skall gå bra utan där, vi korrigerar det.

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: