...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Träna mer på Skivmetoden

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Formler och begrepp som används i video och övningar

Integralkalkylens fundamentalsats

$ \int\limits_a^b f(x) dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) – F(a) $ där

a är den undre gränsen och b den övre.
f(x) är integranden, dvs den funktion vi tar fram primitiv funktion F(x) på.
För att få fram värdet på integralen beräknas sedan F(b) – F(a)

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Exempel i Videon

  • Ett område i första kvadranten begränsas av x-axeln, linjen $x=4$ och kurvan $y=\sqrt{x}$. Låt området rotera runt x-axeln.
    a) Ställ upp en integral som ger volymen av den rotationskropp som uppkommer.
    b) Beräkna rotationskroppens volym.
  • Funktionen $ y=x^2 $ roterar runt x-axeln i den första kvadranten i intervallet $ 0 ≤ x ≤ a $. Bestäm $a$ så att volymen blir $ 2 \, a.e $.

Kommentarer

Alexi96

Hej I första exemplet så var integrationsgränserna 4 och 0, men när du flyttade ut konstanten pi så blev det en etta istället för noll, och sen när du räknar primitiv funktion så står nollan där igen. I andra exemplet hade du redan flyttat ut pi innan och då stod det noll där. Varför är det så? Spelar det någon roll vad man skriver där när man ändå ska räkna med integrationsgränserna man hade från början?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Där har det blivit ett skrivfel i videon, det skall förstås vara en nolla där istället. Vi lägger in det i en kommande korrigering av videon.

John Winlund

I exempel 1 står det att y = roten ur x, men i exempel två står det y = x^2, blir förrvirrad?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Tänker du på när vi tar den primitiva funktionen? Dvs att om $ f(x)=x $ så är den primitiva funktionen $ F(x) = \frac{x^2}{2} $.

mikaelhagfeldt@gmail.com

Vet du hur man kan beräkna volymintegraler i programmet GRAPH som du använder dig utav i videon? Har försökt hitta en sådan funktion men till ingen nytta är jag rädd. Skriver jag funktionen på ett visst sätt eller hur gör man?

Tack på förhand!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Tyvärr känner jag inte till en funktion i graph för just volymintegraler. Däremot kan du ju använda dig av den funktion som du har inom integraltecknet och rita ut just denna för att sedan beräkna integralen. Då får du ju volymen som du önskar.

davidlundahl

Hej Simon, jag undrar vart dx tar vägen i den första uppgiften när du intregrerar (pi)x * dx?

MVH David

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej David,
    När du tar primitiv funktion på den funktion du integrerar brukar man ta bort dx. Dvs då handlar det inte längre om ett integraluttryck utan att du skall sätta in integralgränserna i den primitiva funktionen. Fråga gärna mer om detta är otydligt.

      davidlundahl

      Okej, så om jag förstår det rätt så försvinner alltid dx när man intregrerar.
      Exempel om man ska intregrera f(x)=2x^2 + 5x + dx, så blir svaret F(x)=2/3x^3 + 5/2x^2 och så försvinner dx?

        Simon Rybrand (Moderator)

        Ja i det stället där du tar primitiv funktion tar du bort dx. Själv begreppet dx innebär att du beräknar en så kallad riemannsumma (integral) i x led. Så när du tar den primitiva funktionen i integralkalkylens fundamentalsats så behöver denna beteckning inte följa med.

          davidlundahl

          Okej, tack så mycket för hjälpen !

Encore

Hej, jag försökte lösa exempeluppgiften men jag kommer fram till PI/12 genom
Pi*(x^2-x^3)*delta x
Pi integral 1,0 X^3/3-x^4/4
1/3-1/4
4/12-3/12 = 1/12 * PI = 1/12PI
vad gör jag fel?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej!
    Jag gjorde så att jag flyttade in hela den testuppgiften in i vårt nya testa dig själv system här ovan och gav den en något längre förklaring. Hoppas att det hjälper dig att förstå skivmetoden och den uppgiften.

Simon Rybrand (Moderator)

Hej Daniel, då måste du lösa ekvationen då y = 0, dvs då 4 – x² = 0. I det fallet blir integralens undre gräns x = -2 och den övre gränsen x = 2.

daniel.n.johansson@gmail.com

Tjena Simon,

Hur gör man för att ta reda på integralens gränser i volymintegraluppgifter av typen där man får veta:

Kurvan y=4-x^2 roterar kring x axeln, Bestäm volymen av den ändliga kropp som då uppkommer, Svara i exakt form.

Mvh

Daniel


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (3)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Beräkna volymen i intervallet $0 ≤ x ≤ 1$ när funktionen $y = x – x²$ roteras runt $x$-axeln.

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Funktionen $y=x^2+2x$y=x2+2x, $y$-axeln samt linjen $x=1$x=1 begränsar ett område i första kvadranten. Beräkna volymen som bildas då detta område roteras runt $x$-axeln.

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Funktionerna $y_1=\sqrt[3]{x}$y1=3x ,  $y_2=2$y2=2 samt $y$-axeln bildar ett begränsat område i första kvadranten. Beräkna volymen som bildas då detta område roteras kring $y$-axeln.

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.

c-uppgifter (4)

  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B
    P
    PL3
    M
    R
    K

    Funktionerna $y_1=\sqrt[3]{x}$y1=3x ,  $y_2=2$y2=2 samt $y$-axeln bildar ett begränsat område i första kvadranten. Beräkna volymen som bildas då detta område roteras kring $x$-axeln.

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Funktionen $ y = 2x $ roteras runt $y$-axeln i intervallet $ 0≤y≤a $. Bestäm $a$ så att volymen blir $ \frac{2 \pi}{3} \, v.e$.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B
    P1
    PL2
    M
    R
    K

    Derivera och förenkla $f\left(x\right)=\frac{x-sin\left(x\right)\cdot cos\left(x\right)}{2}$ƒ (x)=xsin(x)·cos(x)2 . Beräkna sedan volymen som bildas då $y=sin\left(x\right)$y=sin(x) roteras runt $x$-axeln i intervallet $0\le x\le\pi$0xπ .

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/2)
    ECA
    B
    P
    PL12
    M
    R
    K

    Beräkna volymen som bildas i intervallet $-3\le y\le5$3y5  när funktionen $y=\frac{x^2}{4}$y=x24  roteras runt $y$-axeln.
    Svara utan enhet och använd ”pi” om du vill beskriva talet $\pi$.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Funktionen $y=e^{-x}$y=ex roteras runt $x$-axeln i intervallet $0\le x\le\infty$0x. Bestäm rotationsvolymen som bildas.

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar