...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Interaktivt material Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /      ██████████████████████████

Topptriangelsatsen

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Topptriangelsatsen säger att en parallelltransversal skapar en topptriangel som är likformig med hela triangeln. En parallelltransversal är en transversal som är parallell med en sida i en triangel.

Varianter av topptriangelsatsen

Så fungerar Topptriangelsatsen

Topptriangelsatsen är en geometrisk  sats om likformighet i trianglar. Det kan vara viktigt att förstå likformighet och att jämföra satsen med transversalsatsen.

För att förstå satsen så behöver kan vi först förklara begreppen transversal och parallelltransversal.

En transversal är en rät linje som skär två andra räta linjer.

transversal

En parallelltransversal är en transversal som är parallell med en sida i en geometrisk figur, t.ex. en triangel.

Parallelltransversal

Topptriangelsatsen

Topptriangelsatsen säger att en parallelltransversal skapar en topptriangel som är likformig med hela triangeln. Då gäller att $ABC\sim CDE$ABCCDE (ABC är likformig med CDE) och följande samband gäller.

 $\frac{DE}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{CE}{BC}$DEAB =DCAC =CEBC  

Exempel 1

Exempel 1

 $DE$DE är en parallelltransversal. Bestäm längden av sträckan $x$x.

Lösning

Med hjälp av topptriangelsatsen kan vi ställa upp sambandet

$\frac{x}{3}=\frac{9}{8}$x3 =98  

Vi multiplicerar med 3 i bägge leden

$\frac{3\cdot x}{3}=\frac{9\cdot3}{8}$3·x3 =9·38  

I vänsterledet kan vi förkorta med 3 och får då

 $x=\frac{9\cdot3}{8}=3,375\text{ }cm$x=9·38 =3,375 cm 

Exempel 2

Exempel 2 topptriangelsatsen

$DE$DE är en parallelltransversal.  $CE=3,3\text{ }cm$CE=3,3 cm,  $CD=2,8\text{ }cm$CD=2,8 cm och $BC=3,4\text{ }cm$BC=3,4 cm

Bestäm längden av sträckan $AC$AC.

Lösning

Vi kallar $x=AC$x=AC  och ställer upp följande samband

$\frac{x}{3,3}=\frac{3,4}{2,8}$x3,3 =3,42,8 

Multiplicera bägge leden med $3,3$3,3

$\frac{3,3\cdot x}{3,3}=\frac{3,4\cdot3,3}{2,8}$3,3·x3,3 =3,4·3,32,8 

I vänsterledet kan vi förkorta med $3,3$3,3 och får då

$x=\frac{3,4\cdot3,3}{2,8}\approx4,01\text{ }cm$x=3,4·3,32,8 4,01 cm 

Exempel 3

exempel3

$DE$DE är en parallelltransversal. Beräkna längden på sidan $x$x.

Lösning

Vi kan ställa upp följande samband med hjälp av transversalsatsen.

$\frac{8+x}{x}=\frac{20}{12}$8+xx =2012  

Här kan vi multiplicera med $x$x i bägge leden. Då får vi

$\frac{x\left(8+x\right)}{x}=\frac{20x}{12}$x(8+x)x =20x12  

Förkorta med $x$x i vänsterledet

$8+x=\frac{20x}{12}$8+x=20x12  

Nu multiplicerar vi bägge leden med $12$12 och får

$12\cdot8+12\cdot x=\frac{20x\cdot12}{12}$12·8+12·x=20x·1212  

I högerledet kan vi förkorta med $12$12 och i vänsterledet kan vi utföra multiplikationen.

$12\cdot8+12\cdot x=20x$12·8+12·x=20x 

$96+12x=20x$96+12x=20x 

Subtrahera med $12x$12x 

$96=8x$96=8x 

Dela med $8$8 i bägge leden

$x=\frac{96}{8}=12\text{ }cm$x=968 =12 cm 

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad är en transversal?

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad är en parallelltransversal?

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Exempel 1

    DE är en parallelltransversal. Bestäm längden på sidan $x$x .

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Hur lång är sidan  $AB$AB då  $AD=2$AD=2,  $AE=4$AE=4 ,  $DE=3$DE=3 och  $BC=3,5$BC=3,5?


    Figuren är ej proportionerlig.

    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna längden på sidan $x$x . Bilden är ej proportionerlig. 

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Uppgift topptriangelsatsen

    $DE$DE är en parallelltransversal. Bestäm längden på sidan $y$y.

    Avrunda svaret till en decimal

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Övningsuppgift topptriangelsatsen

     $AB$AB är en parallelltransversal. Vilket förhållande mellan $a$a och $b$b stämmer?

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar