...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Tangentens lutning

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Tangentens lutning ger derivatan

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Med hjälp av derivatans definition har vi i tidigare lektioner visat att lutningen på tangenten i en punkt, är den samma som derivatans värde i den punkten. Denna vetskap är mycket användbar när vi vill lösa uppgifter grafiskt eller bestämma ekvationen till tangenten.

Derivatans värde är detsamma som tangentens lutning i en punkt. 

Derivatan och tagenten

Exempel 1

Figuren föreställer en andragradsfunktion och dess tangent i punkten  $P$P .

Bestäm derivatan $f’\left(2\right)$ƒ (2)  med hjälp av figuren.
Kurva med tangent 

Lösning:

Genom att bestämma tangentens lutning i den punkt där $x=2$x=2 kan vi bestämma värdet på derivatan  $f’\left(2\right)$ƒ (2), eftersom att de har samma värde.

Tangent och derivata

Vi ser att tangentens riktningskoefficient är  $k=$k=  $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$yx =y2y1x2x1   $=\frac{3-\left(-1\right)}{4-0}=\frac{4}{4}$=3(1)40 =44   $=1$=1 

Vi får då att även derivatans värde när $x=2$x=2 har värdet  $1$1.
Vi kan skriva detta med matematiska symboler som  $f’\left(2\right)=1$ƒ (2)=1

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Sambandet mellan tangentens lutning och derivatan

Då tangenten definieras som en rät linje som vidrör kurvan i endast en punkt, kan vi beskriva alla tangenter med räta linjens ekvation $y=kx+m$y=kx+m. Tangentens lutning brukar benämnas med ett antal olika ord som $k$k –värde, lutning eller riktningskoefficienten för en linje. 

När vi ska bestämma tangentens ekvation gäller samma metod som när vi bestämmer en rät linjes ekvation. Allt vi behöver är antingen

Två punkter på linjen 

eller

en punkt på linjen och linjens lutning.

Eftersom att tangenten vidrör kurvan i en punkt, kommer tangent och kurvan att dela denna punkt. Så vet vi funktionsuttrycket och  $x$x -värdet för tangeringspunkten, kan vi också bestämma koordinaterna för punkten. Detta eftersom att alla punkter på en funktion kan skrivas som $\left(a,\text{ }f\left(a\right)\right)$(a, ƒ (a)) och vi kan beräkna  $f\left(a\right)$ƒ (a) med hjälp av det givna funktionsuttrycket. 

Exempel 2

Funktionen  $f\left(x\right)=x^3+4x^2$ƒ (x)=x3+4x2  har en tangent i punkten där  $x=-3$x=3 .

Bestäm tangeringspunktens koordinater.

Lösning:

Vi använder funktionsuttrycket  $f\left(x\right)=x^3+4x^2$ƒ (x)=x3+4x2 för att bestämma koordinaterna för punkten, eftersom att vi vet att alla punkter på en graf ges av $\left(x,\text{ }f\left(x\right)\right)$(x, ƒ (x)).

För  $x=-3$x=3  gäller att  $f\left(-3\right)=\left(-3\right)^3+4\left(-3\right)^2=-27+36=9$ƒ (3)=(3)3+4(3)2=27+36=9 vilket ger oss tangeringspunkten $\left(-3,\text{ }9\right)$(3, 9).

Vi kan med hjälp av derivatan lätt beräkna tangentens exakta lutning. Men vi kan även snabbt uppskatta funktionens derivata med hjälp av tangentens lutning. Denna metod blir extra effektiv då vi ska avgöra om extrempunkterna är max, min eller terrasspunkter. Men mer om detta i kommande lektioner. Nu sammanfattar vi bara sambandet mellan derivatan och tangentens lutning i en punkt.

Är tangentens lutning i en punkt positiv, kommer derivatans värde i punkten också vara positiv. Man säger att funktionen är (strängt) växande i punkten.

Är tangentens lutning i en punkt negativ, kommer derivatans värde i punkten också vara negativ. Man säger att funktionen är (strängt) avtagande i punkten.

Är tangentens lutning i en punkt lika med noll, kommer derivatans värde i punkten också vara lika med noll. I dessa punkter återfinns en extrempunkt.

Samband mellan derivatan och tangentens lutning

Visualisera tangentens lutning

Så bestämmer du tangentens lutning med derivatan

Resonemanget här ovan är alltså till för att förklara kopplingen mellan derivatan och tangenten. Låt oss nu ta ett konkret exempel för att fördjupa detta resonemang.

Exempel 3

Figuren visar funktionen  $f(x)=2x^2+2$ƒ (x)=2x2+2 och dess tangent i $x=2$x=2.

Ange tangentens ekvation.
Tangent och parabel

Lösning:

Tangenten är en rät linje. För att bestämma dess ekvation behöver vi ta fram dess lutning och en punkt på linjen. Vi börjar med att ta fram tangeringspunkten.

När $x=2$x=2 får vi $y$y-värdet  $y=f(2)=2\cdot2^2+2=8+2=10$y=ƒ (2)=2·22+2=8+2=10 

Det ger oss att tangeringspunkten är $\left(2,\text{ }10\right)$(2, 10) .

För att bestämma tangentens lutning använder vi derivatan, då vet att de antar samma värde i tangeringspunkten.

Vi börjar med att derivera funktionen.
  $f(x)=2x^2+2$ƒ (x)=2x2+2   ger att  $f'(x)=4x$ƒ ’(x)=4x 

För att bestämma derivatan i tangeringspunkten ersätter vi  $x=2$x=2 i derivatans funktionsuttryck.

 $f'(2)=4\cdot2=8$ƒ ’(2)=4·2=8 

Nu vet vi tangentens lutning, även kallat  $k$k-värde, i denna punkt är lika med åtta.

Tangentens ekvation är så här långt bestämd till  $y=8x+m$y=8x+m.

För bestämma $m$m-värdet använder vi tangeringspunkten $(2,\text{ }10)$(2, 10).

 $10=8\cdot2+m$10=8·2+m               

 $10=16+m$10=16+m  

 $m=-6$m=6 

Nu  har nu bestämt både $k$k och $m$m och tangentens ekvation är  $y=8x-6$y=8x6 

Derivatan  $f’\left(x\right)$ƒ (x) i alla punkter och derivatan $f’\left(a\right)$ƒ (a) i en punkt

För tydlighetens skull understryker vi att $f’\left(x\right)$ƒ (x) är ett funktionsuttryck som ger möjlighet till att beräkna derivatans värde för alla definierade punkter på kurvan. För att ta reda på derivatan i en specifik punkt behöver vi ersätta variabeln med punktens  $x$x -värde.

Exempel 4

Figuren visar funktionen  $f(x)=x^2-3x$ƒ (x)=x23x
Parabel
a) Ange funktionens derivata i punkten  $x=1$x=1

b) Ange tangentens lutning i punkten  $x=1$x=1.

c) Ange funktionens derivata i punkten  $x=a$x=a . 

d) Ange tangentens lutning i punkten  $x=a$x=a .

e) Ange funktionens derivata för alla definierade punkter.

f) Ange tangentens lutning för alla definierade punkter.

Lösning:

a) Vi börjar med att derivera funktionen.

  $f(x)=x^2-3x$ƒ (x)=x23x   ger att  $f'(x)=2x-3$ƒ ’(x)=2x3 

Sedan beräknar vi funktionens derivata i punkten  $x=1$x=1 med derivatans funktionsuttryck.

 $f'(1)=2\cdot1-3=-1$ƒ ’(1)=2·13=1 

b) För att bestämma tangentens lutning använder vi derivatan, då vet att de antar samma värde i tangeringspunkten.

Med hjälp av a)-uppgiften får vi att tangentens lutning är  $k=-1$k=1  eftersom att  $f’\left(1\right)=-1$ƒ (1)=1 

Vi börjar med att derivera funktionen.

c) Då derivatan till funktionen är  $f'(x)=2x-3$ƒ ’(x)=2x3 får vi att funktionens derivata i punkten  $x=a$x=a  är $f'(a)=2a-3$ƒ ’(a)=2a3 

d) För att bestämma tangentens lutning använder vi derivatan, då vet att de antar samma värde i tangeringspunkten.

Med hjälp av c)-uppgiften får vi att tangentens lutning också är $k=f'(a)=2a-3$k=ƒ ’(a)=2a3 

e) Derivatan till funktionen är $f'(x)=2x-3$ƒ ’(x)=2x3 för alla definierade värde på  $x$x

f) För att bestämma tangentens lutning använder vi derivatan, då vet att de antar samma värde i tangeringspunkten.

Med hjälp av e)-uppgiften får vi att tangentens lutning för alla definierade punkter också är $k=f'(x)=2x-3$k=ƒ ’(x)=2x3 

Exempel i videon

  • Funktionen $f(x)=x^2$. Bestäm tangentens ekvation då $ x= 2 $.
  • Lös ekvationen $ f´(x)=0 $ då $ f(x)=x^2+2x $.

Kommentarer

Signe

Hej,

På uppgift 12 svarade jag ”Det finns flera tangenter som är vinkelräta mot tangenten i x=−1” och fick fel trots att det är det som är rätt enligt förklaringen. Kanske har det blivit något fel?

På uppgift 9 svarade jag y=-2x+11 vilket ska vara rätt men jag fick ändå fel.

Kan vara bra att rätta till för nästkommande, tack på förhand!

Henning Wennberg

Hej, har fastnat på en uppgift f (x) = x^3 − 3x^2 + 7. Bestäm x så att f ´(x) = 0
Ska jag derivera den så att det blir 3x^2 – 2 * 3x = 3x^2 – 6x.
Men sen fastnar jag lite. Kan man derivera den igen så att det blir 6x-6=0 och sedan flytta över sexan så att det blir 6=6 och sedan dividera dom med sex och så att svaret bli 1??
Har lite svårt för matte så tacksam för svar!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    nästa steg där är att lösa ekvationen $f´(x)=0$, dvs
    $ 3x^2 − 6x = 0 $
    Faktorisera
    $ 3x(x − 2) = 0 $
    Nollproduktmetoden ger
    $x_1=0$ och $x_2=2$

Malin Jagborn

Kurvan till ekvationen y= -4x^2 + x + 5 har en tangent i en punkt där x = -1 . Bestäm tangentens ekvation.
Missar någonting här, då jag får fel svar hela tiden, hur gör jag?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Derivatan är
    $ y´=-8x+1 $ vilket ger att tangentens lutning är $-8·(-1)+1=9$ då $x=(-1)$
    Kommer du vidare utifrån detta?

Sandra Kümpel

Jag förstår inte riktigt uppgift 2. Att tangenten har en negativ lutning är klart, men hur får man fram värdet 6?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, den uppgiften har det kommit lite frågor på så vi gör om den så att det blir enklare att klara av den. Så kika gärna på den uppdaterade uppgiften. Men om jag ändå skulle ge några råd kring dina funderingar här så handlar det om att skissa ut en tangent där och uppskatta vad denna linje har för lutning. Kika gärna på lektionen om räta linjens ekvation kring detta.

sofia_becklund@hotmail.com

Något jag inte riktigt får kläm på är hur man vet var man ska sätta ut tangenten?
Är det någon regel jag har missat?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, om du exempelvis har funktionen $ f(x) = x^2 $ och vill rita ut tangenten i x=1 så vet du att tangenten kommer att gå genom punkten (1, 1), dvs då x=1 och y=1^2=1.
    Lutningen för tangenten får du genom
    $ f´(x)=2x $
    $ f´(1)=2 \cdot 1 = 2 $
    Sedan behöver du ta fram m-värdet för linjen och rita ut den så att den just går genom punkten $ (1,1) $.
    Det skulle då se ut så här:


    Hjälper detta dig vidare?

Caroline

OKej, fast det ska vara -1, inte +1 i slutet.
x^3-x^2+x-1 så ska det vara.
Jag antog att x:et blev en +1:a om jag deriverar men den bytte jag bara ut ser jag nu.
Men fortfarande. Det ska vara -1. :/ Det är det som är så konstigt. Eller byter man ut minuset till ett plus plötsligt?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Derivatan av en konstant (tex -1, 1, 20 eller 100) är alltid noll så den termen försvinner helt. Det är derivatan av +x som blir 1.

Caroline

Förstår vad du menar i videon men har fastnat på ett tal i Matematik 4000, kurs C.
Låt f(x)=x^3-3x
a) f´(x)
b) f´(1)
c) f´(0)

Jag kommer bara fram till

På a) Svar: f´(x)=3x^2-3 som är rätt.

På b) Svar: har jag ingen aning.

På c) Svar: tänker jag;
3x^2-3=0
3x(x-1)=0 ???

    Caroline

    Löste det på egen hand! (Med lite frisk luft en stund, promenad med vovven så trillar polletten ned)

      Simon Rybrand (Moderator)

      Hallå, perfekt att du löste det själv! Det bästa sättet att lösa det på i matematiken 😉

        Caroline

        Nu är jag tillbaka på en sån här knasig en igen..
        Bestäm f'(2) om
        b) f(x)=x^3-x^2+x-1

        Min uträkning:
        x^3-x^2+x-1=
        3x^2-2x+1-1=
        3*2^2-2*2+1-1=
        3*4-4+1-1=
        8

        Fast då ska det rätta svaret egentligen vara 9, enligt facit.
        Var någonstans gör jag fel? Gissar att det kan vara på ”+x-1” som jag räknar fel? x:et är väl 1 när jag deriverar?

          Simon Rybrand (Moderator)

          Vi kan se om du har svarat även om det är inne i en konversation, hade inte hunnit svara än bara.
          Här bestämmer vi först derivatan
          $ f´(x) = 3x^2-2x+1 $
          Sedan sätter vi in x = 2 i derivatans funktion:
          $ f´(2) = 3⋅2^2-2⋅2+1 = 9 $
          Så felet ligger i att du inte har deriverat funktionen först och sedan sätter in x=2.
          (P.S Plockar bort din andra kommentar med samma fråga)

Kimpan90

Många funktioner som står tre gånger i rad. Blir lite jobbigt att läsa. Samt, hur får du att lutningen är -6 i uppgift 2?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Där skall du skissa en tangent och uppskatta dennas lutning.
    Så om du ritar en tangent där kan du se att du kommer cirka 3 steg neråt om du går ett halvt steg i x-led. Så om du tar 1 steg kommer du 6 steg neråt. Om du känner dig osäker på hur en tangents lutning kan tolkas och beräknas rekommenderar jag att du kika på räta linjens ekvation.

    Pedro Veenekamp

    Hej!

    Jag har haft samma problem som du där alla uttryck står tre gånger i rad. Det kanske är inte precis samma problem men det som fixade problemet för mig var att starta om Chrome (om du nu använder Chrome) i inställningarna. [inställningar], [Om] och sen trycker du på [starta om]. Hoppas det hjälper

ebbakristiina

Hej,

Jag har lite problem med en uppgift om ekvationen f(x) = e^x och olika tangenter till den funktionen. T.ex. om man drar en tangent vid x=2, var passerar den då x-axeln? Är tanken att jag ska göra som i det första exemplet i videon? Blir så osäker när det står ekvationen f(x) = e^x. För övrigt mycket bra förklaringar i alla videoklipp.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Här gäller att när du deriverar funktionen och sätter in $x=2$ i derivatans funktion så får du tangentens lutning (k-värde).
    $f´(x) = e^x $ så $f´(2)=e^2$

    Du har även en punkt på denna linje då $x=2$ så gäller att $y=f(2)=e^2$

    Med denna information kan du bestämma tangentens ekvation på formen $y=kx+m$ så vi sätter in de värden vi vet i denna ekvation:
    $ e^2=e^2⋅2+m ⇔ $
    $ e^2=2e^2+m ⇔ $ ($-2e^2$)
    $ -e^2=m $

    Så tangentens ekvation är $y=e^2x-e^2$

    Där tangenten skär x-axeln gäller att $y=0$, använd detta för att ställa upp en ekvation.

sockan

Jag har kanske missat något, men hur tusan vet du att y = 4 i det första exemplet du visar. K och m är jag med på.

Mycket bra och pedagogiska videos för övrigt!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hejsan, det beror på att jag läser av det ur koordinatsystemet där jag tittar på y – värdet i den punkt där vi har tangenten. Där är y = 4 och x = 2. Fråga gärna mera om något är otydligt kring detta!

      Sara Hagberg

      Hej! Hur är det om jag inte skulle ha tillgång till en grafritare, kan man läsa ut y på annat vis?

        Simon Rybrand (Moderator)

        Just i den uppgiften så är det nödvändigt att i alla fall ha tillgång till figuren. Sedan finns det förstås andra sätt att formulera problemet så att man slipper ha tillgång till figur eller grafritare. Nästan enklast att du nämner ett exempel så tar vi det därifrån.

Scaleform2012

En fråga ! För vilka x-värden är f(x) avtagande?

$ f(x)= 2x^2 – x^4 + 1 $

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, antingen ritar du ut den funktionen i en grafritare/grafprogram och då ser du i vilka intervall som funktionen (y – värdet) avtar eller så gäller det att du använder derivata och teckenschema för att skissa ut de intervall som funktionen avtar.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (8)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av alternativen nedan beskriver tangentens lutning?

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av alternativen nedan beskriver sekantens lutning?

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Ange tangentens lutning i  $x=-2$x=2  för  $f(x)=x^3$ƒ (x)=x3 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Funktionen  $f(x)=4x^2$ƒ (x)=4x2 har en tangent i punkten  $(3,\text{ }36)$(3, 36).

    Ange tangentens ekvation.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel

    Ange koordinaterna för den punkt på kurvan till  $f(x)=3x^2+x-2$ƒ (x)=3x2+x2  för vilken tangentens lutning är $3$3.

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    En kurva definieras av ekvationen

     $f\left(x\right)=$ƒ (x)= $\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-$x33 +x22  $x+4$x+4 

    Bestäm lutningen för den tangent som tangerar kurvan då  $x=-1$x=1.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/2/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K1

    Figuren visar funktionen  $f(x)=-x^2+2x+4$ƒ (x)=x2+2x+4.

    Ange ekvationen till tangenten som tangerar funktionen då  $x=3$x=3 .

    Graf till andragradsfunktion

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (1/2/0)
    ECA
    B
    P11
    PL
    M
    R
    K1

    Funktionen  $f(x)=10-x^2$ƒ (x)=10x2 har en tangent i $x=1$x=1.

    Ange tangentens ekvation.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R1
    K

    I koordinatsystemet visas funktionen  $f(x)=-x^2+5x$ƒ (x)=x2+5x  och dess tangent då  $x=4$x=4 .  

    Tangentens funktion är  $y=-3x+16$y=3x+16 .

    Negativ andragradsfunktion med tangent

    Vilken likhet nedan stämmer för sambandet mellan graferna i koordinatsystemet?

    Träna på att motivera ditt val.

    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Figuren visar funktionen  $f(x)=-0,05x^2+2x$ƒ (x)=0,05x2+2x  och dess tangent i punkten $(5\text{ };\text{ }8,75)$(5 ; 8,75).  

    Tangentens ekvation är  $y=1,5x+1,25$y=1,5x+1,25.

    Negativ parabel

    Funktionen  $f(x)$ƒ (x) anger en fotbolls höjd i meter över marken $x$x sekunder efter utspark.

    Vilket alternativ kan du ange med hjälp av kurvan och tangenten i punkten  $\left(5;\text{ }\text{ }8,75\right)$(5; 8,75)?

    Träna på att motivera ditt val.

    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B1
    P
    PL1
    M
    R
    K1

    För vilka värden på $x$x är funktionens tangent parallell med  $x$x -axeln då  $f(x)=x^3-3x^2$ƒ (x)=x33x2 ?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 12. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/3)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R1
    K

    En kurva definieras av ekvationen

     $f\left(x\right)=$ƒ (x)= $\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-$x33 +x22  $x+4$x+4 

    Finns det andra tangenter till kurvan som är vinkelräta till tangenten i  $x=-1$x=1? 

    Träna på att motivera ditt svar.

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar