...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Talteori - problemlösning

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Formler och begrepp som används i video och övningar

Delbarhet

Heltalet $a$ är delbart med ett heltal $b ≠ 0$ om $\frac{a}{b} $ är ett heltal.

Man kan då säga att ”b delar a” vilket skrivs som $ b \, | \, a $.

Primtal

Ett heltal $p > 1$ är ett primtal om det endast är delbart med sig självt och $1$.

Aritmetikens fundamentalsats

Alla heltal $n > 1$ kan på ett entydigt sätt kan skrivas som en produkt av primtal.

Kongruens

Två heltal $a$ och $b$ är kongruenta om de har samma rest vid division med heltalet $n > 1$. Då säger man att dessa tal är kongruenta modulo n vilket skrivs som $a ≡ b \, (mod \, n)$.

Regler Kongruensräkning

Reglerna förutsätter att $a ≡ b\, (mod\, n)$ och $c ≡ d \,(mod\, n)$. Då gäller att
1. $a + c ≡ b + d \,(mod\, n)$
2. $ac ≡ bd\, (mod\, n)$
3. $a^t ≡ b^t\, (mod\, n)$ där $t$ är ett positivt heltal.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Exempel i videon

  • Vilken månad är det $5^{25}$ månader efter Mars?
  • Visa att $n^3-n$ är delbart med $3$ utan att använda induktionsbevis. Talet $n$ är ett naturligt tal.
  • Bestäm $a$ så att $2002⋅1001 + 6⁴⁸ ≡ a \,(mod \,5)$ och $0 < a < 5$.
  • Visa att $ \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+…+\frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1} $ för alla $n ≥ 1$.

Kommentarer

Alexander Karlsson

Hej, hur vet du att 2002=2(mod5) och 1001=1(mod5)?

    Simon Rybrand (Moderator)

    När man räknar mod 5 så kommer du alltid ”komma till” 2 om du startar på 2002. Tänk exempelvis på att 2000 ≡ 0 (mod 5) eller att 1000 ≡ 0 (mod 5).
    Så om vi ”startar” på 2002 kommer vi att hamna på 2 istället.

Emma Bergman

Hejsan!
Jag hänger inte riktigt med på vad det är som händer i ex. om ”Vilken månad är det 525
månader efter Mars?”. Kan du förklara vad som händer här: 5×25^12 ≡ 5×1^12. Jag förstår potenslagar, men hänger inte riktigt med på hoppet efter att det sägs vilken räkneregel som ska användas. Vart kommer 5×1^12 ifrån och hur vet man att resten blir 5?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Emma,
    Där räknar vi modulo 12 så vi kan skriva att $25≡1\,(mod\,12)$
    Vi kan tex tänka att $25-2·12=25-24=1$
    Så det är det som händer i det steget.

Ki Nyhlen

Hej Simon!

Jag tänkte bara fråga om det inte är onödigt att förenkla 6^48 till 36^24 innan man använder räkneregel 3? 1^24 ger ju samma resultat som 1^48? Eller är det någonting jag missar?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Ja det är ganska onödigt. Vi får ta och uppdatera den här videon och exemplet så att den enklaste lösningen visas. Tack för att du kommenterade detta.

nti_ma5

Hej Simon!
Jag vill bara påpeka att det står fel i facit på uppgift 4.
Om man ska utveckla parentesen (2m-1)^2 så blir detta inte 4m^2+4m+1 som det står, utan det blir (4m^2-4m+1) då tar nämligen ettorna ut varandra.

svaret blir därför att 4m^2-4m är delbart med 4, vilket är sant

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, Japp det hade blivit ett felaktigt tecken där i förklaringen. Det är korrigerat, tack för att du påpekade detta!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket är det minsta positiva heltalet $m$ så att $10\,000 ≡ m$ (mod $3$)?

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken är den korrekta primtalsfaktoriseringen av talet $168$?

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilken veckodag är det $6^{100}$ dagar efter en måndag?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R
    K

    Är $ a^2 – 1 $ delbart med $4$ om $a = 2m – 1$ där $m$ är ett positivt heltal?

    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Stämmer det att $ n < 2^n $ för alla positiva heltal $n$?

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket är det minsta naturliga tal $n$ som ger $3^{92}+147⋅4^{50}≡n$ (mod $5$)?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

a-uppgifter (2)

  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Använd kongruens för att visa vilken rest som fås då $62\,127$ divideras med $11$.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Vinkelsumman i en månghörning ökar med $180^o$ för varje hörn. Går det att med hjälp av induktion visa detta?

    Tips: Skriv en sluten (direkt) formel för vinkelsumman ${s}_{n}$ i en $n$-hörning och genomför ett induktionsbevis.

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar