...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Substitutionsmetoden

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

I den här lektionen går vi igenom hur du löser linjära ekvationssystem med substitutionsmetoden. Detta är en algebraisk metod för att lösa linjära ekvationssystem genom att byta ut (substituera) en variabel.

Substitutionsmetoden är tillsammans med additionsmetoden en algebraisk metod för att lösa linjära ekvationssystem. Att substituera betyder att man ”byter ut” eller ”ersätter” något.
Substitutionsmetoden
Principen är att kunna ersätta byta ut (substituera) en variabel i ena ekvationen mot ett uttryck från den andra ekvationen. På det viset blir du av med en variabel och en ekvation blir lösbar. Därefter kan man även ta reda på den andra variabelns värde. Det går också att lösa linjära ekvationssystem grafiskt men det är inte en algebraisk utan en approximativ metod.

Så använder du substitionsmetoden

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Substitutionsmetoden

Metoden går ut på att göra följande.

  1. Börja med att lösa ut en variabel i den ena ekvationen. Om en variabel i någon av ekvationerna redan står ensam så använd dig av den.
  2. Substituera (ersätt) variabeln i den andra ekvationen med uttrycket som du har tagit fram. Nu har vi endast en okänd variabel i den ekvationen.
  3. Lös ekvationen.
  4. Lösningen sätts sedan in i någon av ekvationssystemets ekvationer och du får då den sista variabeln.

Räkneexempel

Exempel 1

Lös ekvationssystemet
$\begin{cases} y-x=2 \quad (1) \\ 3=6x-y \quad (2) \end{cases}$

Lösning:

Vi löser ut y från ekvation (1)

$y-x=2$yx=2 Addera med x
$y=x+2$y=x+2

Nu kan vi ersätta $y$y i ekvation (2) mot $x+2$x+2. Dvs vi gör en substitution så att vi bara har en variabel $x$x i den ekvationen.

$3=6x-(x+2)$3=6x(x+2)  förenkla högerledet
$3=5x-2$3=5x2 addera med 2
$5=5x$5=5x  Dela med 5
$x=1$x=1

Vi använder att vi skrivit om (1) till $y=x+2$y=x+2 och sätter in $x=1$x=1 i den ekvationen.
$y=1+2=3$y=1+2=3

Nu har vi lösningen till ekvationssystemet, dvs både x-värdet och y-värdet.

$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$

Exempel 2

De två linjerna $2y-2x=2$2y2x=2 och $3y+2x=21$3y+2x=21 skapar en triangel tillsammans med y-axeln. Bestäm exakt koordinaterna för triangelns hörn.

Lösning:

Den här uppgiften kan vi lösa genom att göra följande.

  1. Använda additionsmetoden för att ta reda på linjernas skärningspunkt med varandra.
  2. Skriva om ekvationerna till formen $y=kx+m$y=kx+m. Då får vi linjernas skärningspunkt med y-axeln genom m-värdet.

Vi löser först ekvationssystemet

$\begin{cases} 2y-2x=2 \quad (1)\\ 3y+6x=21 \quad (2) \end{cases}$

Vi börjar med att lösa ut $y$y ur ekvation (1)

$2y-2x=2$2y2x=2 Dela alla termer med 2
$y-x=1$yx=1 
addera med x
$y=x+1$y=x+1

Ny byter vi ut $y$y i ekvation (2) mot $x+1$x+1 och får ekvationen

$3\left(x+1\right)+6x=21$3(x+1)+6x=21 Förenkla VL
$9x+3=21$9x+3=21 Subtrahera med 3
$9x=18$9x=18 Dela med 9
$x=2$x=2

Nu har vi $x=2$x=2  och kan sätta in detta värde i ekvation (1)

$y=x+1=2+1=3$y=x+1=2+1=3

Linjerna skär alltså varandra i $x=2$x=2 och $y=3$y=3 vilket ger oss ett av triangelns hörn $\left(2,3\right)$(2,3).

Nu går vi vidare och skriver om bägge ekvationerna på formen $y=kx+m$y=kx+m.

Ekvation (1)
Denna ekvation har vi redan skrivit om till $y=x+1$y=x+1.
Linjen skär y-axeln där $y=1$y=1 och $x=0$x=0 vilket ger oss hörnet $\left(0,1\right)$(0,1).

Ekvation (2)
$3y+6x=21$3y+6x=21 Dela med 3
$y+2x=7$y+2x=7 Subtrahera med 2x
$y=-2x+7$y=2x+7
Linjen skär y-axeln där  $y=7$y=7 och $x=0$x=0 vilket ges oss hörnet $\left(0,7\right)$(0,7)

Nu har vi alla koordinater för triangelns hörn, dessa är

$\left(2,3\right)$(2,3),  $\left(0,1\right)$(0,1) och $\left(0,7\right)$(0,7).

Om vi använder en räknare eller datorn för att rita ut linjerna så ser det ut på följande vis.

Exempel substitutionsmetoden

Exempel i videon

  • Lös $\begin{cases} x-2=y \quad (1)\\ y+x=4 \quad (2) \end{cases}$ med substitutionsmetoden.
  • Lös $\begin{cases} 4x+2y=10 \quad (1)\\ 3y-6x=3 \quad (2) \end{cases}$ med substitutionsmetoden.

Kommentarer

Lennie Skånberg

Hej!

I exempel 2 i videon så räknar du ut att X=1 för att sedan skriva att vi ska sätta in X=3 i (1)
Stämmer verkligen det?

Du säger även att vi ska byta ut X mot 3 när vi ska lösa (1) men i talet står det -2x*1

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, vi gör rätt men säger fel 😉
    Vi korrigerar det på momangen

gabrielle herendi

Vet ej hur man räknar ut detta;

y=4
2x+y=8

    David Admin (Moderator)

    Hej Gabrielle.

    Du byter ut, eller som man säger med matematiska ord: substituerar, $y$:et i den nedre ekvationen mot talet $4$ och löser sedan ekvationen. Så här:

    $\begin{cases} y=4 \\ 2x+y=8 \end{cases}$

    ger att

    $2x+4=8$ subtrahera båda leden med $4$
    $2x=4$ dela båda leden med $2$
    $x=2$

    Lösningen på ekvations systemet är alltså
    $\begin{cases} y=4 \\ x=2 \end{cases}$

    vilket innebär att båda ekvationerna stämmer för dessa värden och att de två linjerna
    $ y=4$ och $2x+y=8$ skär varandra i punkten $(2,4)$.

    Hoppas det svaret hjälpte dig.

Ercan Durak

Hej simon, behöver hjälp med en uppgift:
0.8x+2.5y=39
2x+3.4y=86

Tack för svar!:D

    Anna Admin (Moderator)

    Hej.
    Vi använder substitutionsmetoden, men additionsmetoden eller grafisk lösning skulle gå precis lika bra.

    $\begin{cases} 0,8x+2,5y=39 \,\,\,\,(1)\\ 2x+3,4y=86 \,\,\,\,(2) \end{cases}$

    Först löser vi ut en variabel. Jag väljer $x$ ut översta ekvationen (1)

    $0,8x+2,5y=39$ Subtrahera $2,5y$ i båda leden
    $0,8x=39-2,5y$ Dividera båda leden med $0,8$ för att få en (hemlig) etta framför $x$
    $x=48,75-3,125y$

    Substituera (sätt in)$x$ i (2)

    $2x+3,4y=86$ då $x=48,75-3,125y$ ger att
    $2(48,75-3,125y)+3,4y=86$
    $2(48,75-3,125y)+3,4y=86$
    $97,5-6,25y+3,4y=86$
    $97,5-2,85y=86$ Addera båda leden med $2,85y$
    $97,5=86+2,85y$ Subtrahera båda leden med $86$
    $11,5=2,85y$ Dividera båda leden med $2,85$
    $y≈4,04$

    Sätt nu in ditt värde på $y$ i (1) för att beräkna $x$
    $0,8x+2,5\cdot4,04=39$
    $0,8x+10,1=39$ Subtrahera båda leden med $10,1$
    $0,8x=28,9$ Dividera båda leden med $0,8$
    $x≈36,1$
    Vi får att ekvationssystemets lösning är

    $\begin{cases} x≈36,1\\ y≈4,04 \end{cases}$

    Hoppas detta gick att förstå! Lycka till.

Nadja Furberg

3x+2y=1
X-2=3

Hur löser jag detta enligt subtitutionsmetoden

    Simon Rybrand (Moderator)

    Enklast är att lösa ut x i den nedre ekvationen, dvs att $x=5$.
    Sedan sätter du in det i den övre och löser ut y.

Johnny Johansson

Hej!
Jag har problem med en fråga i exponent 2b boken!
Hur löser jag detta?

8,3x+5,9y=300
x+y=45

Jag löste ut y först så att y=45-x

Satte sedan in det i den första ekvationen

8,3x+5,9(45-x)=300 –> Multiplicerade in 5,9

8,3x+265,5-5,9x=300 –> Lägger ihop x

14,2x+265,5=300 –> Flyttar över 265,5

14,2x=300-265,5

14,2x=34,5 –> Delar med 14,2

x=2,429

Jag vet att jag gör fel nån stans men vart?

    Johnny Johansson

    Kanske ska tillägga vad frågan var!

    Peter kör ett 45 minuter långt träningspass i ett gym med dels en roddmaskin och dels en spinningcykel.
    När han använder roddmaskinen förbrukar han 8,3kcal/min och med spinningcykeln 5,9kcal/min.
    Han vill totalt förbränna 300 kcal under sitt träningspass.

    a) Inför lämpliga variabler och ställ upp ett ekvationssystem som kan användas för att beräkna hur lång tid Peter bör träna vid varje maskin.

    b) Hur lång tid ska han tillbringa vid varje maskin?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Kika på det här steget
    8,3x+265,5-5,9x=300 –> Lägger ihop x
    14,2x+265,5=300 –> Flyttar över 265,5
    (8,3x-5,9x = 2,4x)

Berkan991

Ekvationen 2x-2y=4
3x-2y=1

spelar det roll vilken man ändrar till k-form? jag valde den längst uppe för den är lättast!
2y=4-2x

tar in 4-2x i andra ekvationen… 3x-2(4-2x)

Men här har ni istället gjort 3x-(4-2x)….. vart är 2an?

Och hur fick ni till y=1

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det spelar ingen roll vilken ekvation som du väljer att skriva om.
    När du skriver om funktionen (löser ut y) så skall du istället gör på följande vis:
    $2x-2y=4$
    Addera VL och HL med 2y
    $2x=4+2y$
    Subtrahera VL och HL med 4
    $2x-4=2y$
    Dela alla termer med 2
    $x-1=y$ eller $y=x-1$
    Hoppas att detta hjälper dig att förstå!

Alexander Giang

Tjena! Undrade hur jag löser:
(1) 2x+2y=4
(2) 3x-2y=1
Vet inte hur jag ska göra när jag får mer än 1y och 1x på båda sidorna. :c

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Där kan du multiplicera ekvation (1) med $3$ och ekvation (2) med $-2$ så att du får ekvationssystemet
    (1) 6x+6y=12
    (2) -6x+4y=-2
    Nu kan du använda additionsmetoden och addera ihop ekvationen så att variabeln x elimineras. Då går det att först lösa ut y och sedan x. Hoppas att det hjälper dig vidare!

      Alexander Giang

      Jadå! Tack så mycket!

RedEagle

Hej,

ett litet misstag har skett i texten, det står ”LÖSNING AV EKVATIONSSYSTEM MED ADDITIONSMETODEN” men det ska stå väl stå substitutionsmetoden?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack! Jag fixar det!

jonasfredriksson89@gmail.com

X + 2Y = 23
X gånger y = 65

Hur använder jag Ersättningsmetoden här?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Du kan exempelvis lösa ut x först i den översta ekvationen.
    Då får du $ x = 23 -2y $
    Detta sätter vi sedan in i den nedersta ekvationen och då får vi
    $(23-2y)·y=65$
    $23y-2y^2=65$
    $2y^2-23y-65=0$
    $y^2-11,5y-32,5=0 $
    När du löser denna ekvation så kan du använda dig av pq formeln. Du får här två stycken lösningar, när har dessa så fortsätter du med att lösa ut x.

Simon Rybrand (Moderator)

Om du inte skall använda en dator eller grafritande räknare till detta så behöver du göra följande:
– Rita ut ett koordinatsystem med 2 koordinataxlar
– Ta reda på minst 2 punkter på linjen (välj 2 x-värden och räkna ut y-värdet) och sedan rita linjen mellan dessa punkter.
Om vi ritar ut denna linje med en dator så ser den ut så här:

Simon Rybrand (Moderator)

Jag tror inte riktigt din beräkning stämmer då lutningen måste vara negativ
Du kan beräkna k och m i räta linjens ekvation på följande vis.
$ k = \frac{11-5}{-1-2} = \frac{6}{-3}=-2 $
För att beräkna m kan du sätta in k-värdet och en av punkternas koordinater, tex (2,5), i räta linjens ekvation y = kx+m. Då får vi
$5=(-2)*2 + m \Leftrightarrow$
$ m=9 $
Så då har vi räta linjens ekvation
$ y=-2x+9 $
Om vi ritar ut den ser den ut enligt följande

Simon Rydvall

Om jag har ett tal där det står följande, Lös följande ekvationssytem med valfri algebraisk metod.

då har man :

3x+2y=9
-x+3y=8
Hur kan jag räkna ut detta tal på enklaste sätt?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Du kan ju både använda substitutionsmetoden och additionsmetoden när du löser detta, vilken metod som du använder bestämmer du själv och vad du tycker är enklast och snabbast.
    Om du använder substitutionsmetoden här så kan du lösa ut x i den andra ekvationen så att du får
    $ x = 3y-8 $.
    Nu sätter du in detta i den första ekvationen och du får då
    $ 3(3y-8)+2y=9 ⇔ $
    $ 9y-24+2y=9 ⇔ $
    $ 11y=33 ⇔ $
    $ y = 3 $
    Detta ger då att
    $ x = 3⋅3-8=1 $
    Testa gärna att lösa ekvationsssystemet med additionsmetoden också så kommer du att märka vilken metod som du tycker är enklast vid dessa typer av system av ekvationer.

Zandra Hedman

jag ska liksom lösa ekvationen här exakt. Och ge ett närmvärde. Men jag vet inte hur jag ska kunna få flera decimaler.

Talet är 10 upphöjt till x =250. Ska jag lösa ut vad x står för? men hur ska jag kunna få decimaler på de?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Är det ekvationen $ 10^x = 250 $= Detta är en exponentialekvation som du kan använda logaritmer för att lösa, kika gärna på denna video video.

    Lösningen skulle kunna se ut så här:
    $10^x = 250⇔$ (logaritmera)
    $lg10^x=lg250⇔$ (logaritmlag)
    $xlg10=lg250⇔$ (lg10=1)
    $x=lg250≈2,397$

Zandra Hedman

Hejjag får inte ihop det hur jag ska lösa talet

3x+4y=-1
3x+2y=1

Detta ska lösas med den valfria metoden. För om jag fattar det rätt är tanken att man ska räkna ut talet för att de att dom betyder samma. Och jag vet inte hur jag ska lösa det. Kan ju inte dividera den med 2 osv. Så skulle gärna vilja ha förklarat hur jag löser den. Tack så länge

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det är nog smidigast att använda sig av additionsmetoden på denna uppgift. Du kan då göra så att du först multiplicerar den översta ekvationen med (-1) så att du får
    $\begin{cases} -3x-4y=1 \\ 3x+2y=1 \end{cases}$
    Sedan adderar vi de bägge ekvationerna så att x elimineras:
    $\quad -3x-4y=1$
    $+\quad 3x+2y=1$
    $——————–$
    ${-3}x+3x-4y+2y=1+1$
    ${-2}y=2$
    $y=-1$
    Sedan kan du med hjälp av detta lösa ut x

Fredric Hallgren

Hej Jag har ett tal som jag bara inte kan lösa.

För vilket värde på a saknar ekvationssystemet nedan lösning?
ax+2y=6
9x+3y=12
Hur fasen skall jag kunna få fram A?

Caroline lundin

hej ! hur löser man :

1.
2X+3Y=8
4x+y=-4

2.
x-5y=-3
4x-3y=5

Med Sub. metoden, jag sitter fast ! tack !

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Jag kan visa det första så kan du göra på samma vis med det andra ekvationssystemet.
    $ (1) 2x+3y=8$
    $(2) 4x+y=-4$
    Lös ut y i ekvation (2)
    $y=-4-4x$
    Sätt in i ekvation (1)
    $2x+3(-4-4x)=8⇔$
    $2{x}-12-12x=8⇔$
    $-12-10x=8⇔$
    $-10x=20⇔$
    $x=-2$
    Sätt in i (2)
    $y=-4-4⋅(-2)=-4+8=4$
    Svar: $x = -2$ och $y=4$

Mattias

Hur fasen listar man ut {y=2x+3 Det är ju två ”y=” ??
{y=3x−4

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, där kan du sätta att
    $ 2x+3=3x-4 ⇔ $ (-2x och +4)
    $ 7=x $
    Då vet du att $x=7$ och att $y=3⋅7-4=21-4=17$
    Du kan även räkna ut y genom den andra ekvationen $y=2⋅7+3=14+3=17$.
    Hoppas att detta hjälper dig!

Stefan Lindblom

Hej Simon

Hur vet man när man ska använda additionsmetoden, samt substitutionsmetoden, eller funkar båda bra till alla?

Mvh

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Bägge fungerar att använda till alla ekvationssystem men ibland passar additionsmetoden bättre och ibland substitutionsmetoden. När du har gjort ett antal exempel och lärt dig bägge metoderna så kommer du enklare att se vilken metod som är smidigast att använda.

nattr1

Hej,
hur kan jag lösa ett ekvationssystem grafiskt om
y=x
y=9-2x

jag har det svårt med y=x….
Mvh
Natasa

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, Har du provat att rita ut de bägge funktionerna i en grafritande räknare eller något datorprogram/webbsida?

    $ y = x $ är annars en linje som går genom origo och har lutningen $1$. Dvs för varje steg du går i x-led (åt vänster) så kommer du ett steg uppåt i y-led.

Maria

Hej!!
Skulle du kunna förklara hur man löser ut en sådan ekvation 2y=3x med en Texas-82 miniräknare??

Tack på förhand!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Du skall antagligen rita ut detta i din grafritande räknare. Det finns oändligt antal lösningar till den ekvationen och alla dessa lösningar kan representeras med hjälp av en linje. Så du kan helt enkelt rita ut linjen
    $ 2y = 3x ⇔ $ (dela med 2)
    $ y = 1,5x ⇔ $
    Detta gör du genom att gå till Y= och fylla i 1.5X och sedan trycka på GRAPH.

mimmipalmgren

Hej!
Skulle jag kunna få hjälp med att lösa detta ekvationssystem
Y=2x+1
3x+2y=21

Tack!!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Där är det nog enklast att använda substitutionsmetoden, dvs att du använder att y=2x+1 och sätter in detta i den andra ekvation så att du får
    $ 3x + 2(2x+1)=21⇔ $
    $ 3x + 4x+ 2 = 21⇔ $
    $ 7x = 19 $
    $ x = 19/7 $
    Då kan du sätta in detta i den första ekvationen och får att
    $ y = 2⋅(19/7) +1 = 45/7 $

EllinorE

Hej, hur ska jag lösa

y=3x
y=3x+4

med substitutionsmetoden?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, dessa två linjer har samma lutning och därmed har du inga lösningar på det ekvationssystemet, de kommer alltså aldrig att skära varandra.

annelie.b

Hej Simon,

Skulle du använda substitutionsmetoden för att lösa den här uppgiften eller något annat sätt? Får inte ihop det det om jag använder substitutionsmetoden.

9. Vilka två linjer skär varandra i en punkt där både x-koordinaten och y-koordinaten är negativa?
A y = –x + 4 och y = x
B y = x + 4 och y = –x
C y = x – 4 och y = –x
D y = –x – 4 och y = x
(Rätt svar: D)

Tack på förhand!

/Annnelie

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Det är alltså D som stämmer så jag visar exemplet med detta alternativ.
    (1) y = –x – 4
    (2) y = x

    Sätt (1) = (2)
    $ -x-4=x $
    $ 2x=-4 $
    $ x = -2 $

    Från (2) vet vi att y = x så y = -2, dvs bägge koordinater är negativa.

      annelie.b

      Tack!! 🙂

johana_lahti

Hej. Jag förstå inte, när jag använder substitutions metoden hur vet jag då vilken av ekvationerna jag ska byta ut med?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Det spelar egentligen ingen roll vilken du använder för att substituera med. Det brukar dock vara så att någon av ekvationerna är enklare att lösa ut en variabel i (om det inte redan är klart). Så försök att fundera lite på vilken av ekvationerna som är enklast att börja med. Man lär sig också efter ett tag hur man börjar enklaste.

      johana_lahti

      Jag förstår hur själva substitutions metoden går till, men sen när jag ska använda mig av metoden förstår jag inte hur jag ska börja och väldigt svårt med att använda mig av den. Hur ska jag tänka? Hur vet jag hur man börjar? Förstår allt när ni visar i videon men inte när jag får ett tal.

        Simon Rybrand (Moderator)

        Det kan vara lite svårt att förklara så här i text men jag tror att det kan vara viktigt att förstå att det egentligen inte spelar så stor roll hur man egentligen börjar att lösa ekvationssystemet. Det blir bara lite olika många steg beroende på hur man börjar. En metod att följa kanske kan vara följande:

        1) Finns det någon variabel i de bägge ekvationerna som står ensam? Tex x, y eller a (och alltså inte 3x, -4y eller 10a). Börja i så fall att lösa ut denna variabel.
        2) Om det inte finns en sådan variabel bestäm dig för en som du vill lösa ut. Det kan vara lite olika svårt att göra det men det spelar egentligen ingen roll så länge du klarar att lösa ut den själv. Dvs du vill få den skriven enligt x = …. eller y = …
        3) Byt nu ut den variabeln (substituera) i den andra ekvationen och lös den uppkomna ekvationen (med endast en okänd).
        4) Sätt in ditt värde och lös ut den andra ekvationen.

        Hoppas att denna diskussion hjälper dig vidare med din inlärning!

annelie.b

Hej, hur kommer det sig att du i exempel 2 på videon kan byta tecken på -x=5 till x= -5? Vad är det för regel eller sätt att tänka som man använder där? När kan/ ska man i andra fall tänka så?
Tack på förhand,
Annelie

    annelie.b

    PS det vore bra och användarvänligt om ni la till en funktion som gör att man får ett mail med en notis när någon har svarat på en kommentar som man har skrivit, istället för att man ska gå in och hålla koll efter svar. /Annelie

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Annelie,
    Här kan man tänka på två olika sätt. Det ena är att vi multiplicerar både VL och HL med (-1) och då ser det ut så här:
    -x = 5 ⇔ (mult. med -1)
    -x⋅(-1) = 5⋅(-1) ⇔
    x = -5

    Vi kan också addera med x och subtrahera med k och då ser det ut så här:
    -x = 5 ⇔ (+x)
    -x+x = 5+x ⇔
    0 = 5+x ⇔ (-5)
    -5 = x eller x = -5

    Bägge sätten syftar till att få fram positiva x = något för att det skall vara tydligt vad x är.

    P.S Håller med om att det vore en bra funktion med ett notifikationscenter. Skall kolla om detta går att ordna!

nti_ma2

Hej kan du hjälpa mig med denna?
Y=3x-4
Y=x+4

Mvh Patrik

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Patrik, här kan du sätta de bägge ekvationerna lika med varandra:
    3x-4 = x+4 ⇔
    2x=8
    x=4
    Sedan sätter vi in x – värdet för att beräkna y – värdet enligt
    y = 4 + 4 = 8

      nti_ma2

      tack som fasen, detta kan ha räddat min helg som kommer behöva spenderas i mattens tecken;)

nti_ma2

hej

hur blir när en av ekvationen har inte variabeln x .

y= x+2
Y= 5

mvh

eli

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hejsan, eftersom du här redan känner till värdet på variabeln y så kan du sätta in det värdet i den första ekvationen så att du får:
    5 = x + 2
    x = 3
    Det blir helt enkelt lite mindre steg för att lösa en sådan uppgift.

annab87

Hej, tycker att dessa metoder att lösa detta på är extremt krångliga. Finns det inga olika mönster eller tips man kan ta till vara på när man vill lösa dessa?

mvh

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Anna,
    Tyvärr tycker jag att det är svårt att ge sådana mönster som fungerar för alla olika fall. Då blir det lätt fel tips istället.
    Det jag tror är det bästa sättet för att känna att man förstår linjära ekvationssystem är att först träna mycket på linjära ekvationer med en variabel, sedan titta på många olika lösningar (gjorda av andra) och sedan träna på dessa ekvationer om och om igen. Då tror jag att man till slut förstår dem och lär sig att snabbare lösa dem.

friflygare

Hej, har lite strul med ett tal i boken som jag inte riktigt får att gå ihop. För vilka värden på a saknar ekvationen 45ax – 27 = 3×2 reella rötter?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, är du säker på att det var just ekvationen?
    Vanligtvis brukar denna frågeställning dyka upp i samband med när man jobbar med andragradsekvationer.

    Men om vi jobbar lite med ekvationen så får vi ändå följande:
    $ 45ax – 27 = 3 \cdot 2 \Leftrightarrow $
    $ 45ax – 27 = 6 \Leftrightarrow $
    $ 45ax = 33 \Leftrightarrow $
    $ x = \frac{33}{45a} $

    Här kan tex a inte vara lika med 0 då vi därmed får ett högerled där vi dividerar med 0 (odefinierat).

      friflygare

      Ja du har rätt. Såg att när jag kopiera in så blev det lite fel. Ska alltså vara.

      45ax – 27 = 3x^2

        Simon Rybrand (Moderator)

        Denna ekvation behöver du skriva om först och sedan använder du pq formeln för att lösa den. Sedan är målet att hitta de a där du inte behöver ta roten ur ett negativt tal, dvs då det inom roten ur tecknet är positivt.
        $ 45ax – 27 = 3x^2 $ (/3)
        $ 15ax – 9 = x^2 $ (-15ax)
        $ – 9 = x^2 – 15ax $ (+9)
        $ 0 = x^2 – 15ax + 9 $
        $ x^2 – 15ax + 9 = 0 $
        Härifrån använder du alltså pq – formeln som du hittar mer information om här
        Fortsätt gärna fråga där istället då denna frågeställning passar bättre där.

Miguel

Jag har ett problem med vissa ekvationer då jag ska använda mig av substititionsmetoden.

Om jag ska lösa följande ekvationer;

1:
2x+3y=8
4x+y=-4
Ska jag lösa ut Y på denna? Jag finner det lite krångligt när sådana ekvationer dyker upp. Jag vet inte riktigt hur jag ska använda mig av metoden.

2:
x-5y=-3
4x-3y=5

Samma här. Vad jag vill veta är hur jag ska angripa ett sådant problem så jag kan lösa dessa.

Tack på förhand!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Miguel
    När du skall börja att lösa ett sådant problem behöver du först bestämma dig för vilken variabel som du vill lösa ut. Om du börjar med x eller y spelar egentligen ingen roll även om det kan vara bra att ta den variabel som ser enklast ut att ”få ensam”. Om vi tar exemplet med det översta ekvationssystemet (1) så ser det enklast ut att lösa ut y i den andra ekvationen då den variabeln är ensam. Vi kan alltså lösa det på följande vis:
    2x+3y=8 (1)
    4x+y=-4 (2)

    Vi löser ut y i ekvation (2):
    4x+y=-4 (-4x)
    y=-4-4x (-4x)
    Nu kan vi byta ut (substituera) y i ekvation (1) mot det vi har löst ut:
    2x+3y=8 (sätt in -4-4x istället för y)
    2x+3(-4-4x) = 8 (förenkla)
    2x-12-12x = 8
    -10x-12 = 8
    -10x = 20
    x = -2
    Nu kan vi lösa ut y mha det vi tog fram i ekvation (2)
    y = -4-4(-2) = 4
    alltså,
    x = -2
    y = 4

    Den andra ekvationen löser du på samma sätt men här blir det enklare att lösa ut x först. Hoppas att detta hjälper dig på vägen!

      Miguel

      Så enkelt och logiskt när du lägger fram det så! Tusen tack!

liridona_m@hotmail.com

Hej. Hur löser man denna ekvationen

y=2x+3
3y=12+3x

och denna

x+y=7
x-y=1

Tacksam för svar.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, om du kikar på svaret som finns i kommentarerna här nedanför så hittar du ett precis likadant ekvationssystem som du löser på samma vis. Använd alltså substitutionsmetoden. Så om du har ekvationssystemet
    y=2x+3 (1)
    3y=12+3x (2)
    så blir det enklast att använda sig av ekvation (1) där du har
    y=2x+3
    Byt nu ut y i ekvation (2) mot 2x + 3 så får du
    3(2x+3)=12+3x
    6x+9=12+3x
    3x=3
    x = 1
    och därmed är
    y = 5

    Hoppas att detta hjälper dig på vägen mot att förstå substitutionsmetoden! /Simon

liridona_m@hotmail.com

Hej vad blir
5x+y-2=0
2x-y-3=0

och hur räknar man ut det?

MVH

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det här ekvationssystemet är sådant att det blir enklast att använda sig av additionsmetoden för lösa det. När du adderar de bägge leden med varandra kommer y att elimineras (tas ut av varandra) så att du ganska enkelt kan lösa ut x. Kolla gärna igenom videon om additionsmetoden så tror jag det blir enklare att kunna lösa ekvationssystemet. Annars är du välkommen att fråga mera!

Miguel

förstod inte riktigt hur du fick -x= 5 och sen x= -5.

När jag räknade ut det fick jag 2x+5?! Vart gjorde jag fel?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Miguel, detta är ett vanligt fel och beror på att man inte är så van att jobba med ekvationer. Man kan skriva om ekvationen -x = 5 med två olika metoder (men få samma svar).

    1) Metod 1
    -x = 5 (addera med x i vänster-, högerled)
    0 = 5 + x (subtr med -5)
    -5 = x eller x = -5

    2) Metod 2
    -x = 5 (multiplicera vänster-, & högerled med -1)
    $ (-1) \cdot (-x) = (-1) \cdot 5 $
    När vi multiplicerar negativa x med negativt ett får vi ett positivt x. 5:an byter dock tecken då det där multipliceras ett negativt tal med ett positivt. Vi får då:
    x = -5

      Moa Nordin

      Tänker jag fel om jag tänker att 2x+5 inte borde bli x=-5 utan istället -2,5 eftersom att vi borde dividera de båda leden med 2 då det står 2x?

        Simon Rybrand (Moderator)

        Du har inte skrivit en ekvation här utan endast ett uttryck. Det saknas ett likamedtecken och något på andra sidan. Tex
        $2x+5=-5$

minerva

detta är då en fråga som jag hoppade över och vill nu försöka lösa men förstår bara inte. ”Multiplicera in och lös sedan ut y”

y – 7 = -3(x-2)

michaela

(1) x-2y=4
(2) 2x+2y=2
x=2
y=-1
Korrekt, eller har jag helt missuppfattat?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Michaela, det ser ut som du tänker helt rätt. I varje fall är svaret korrekt.

    Ett tips när du jobbar med Linjära ekvationssystem eller vilka andra ekvationer som helst är att kontrollera att du har gjort rätt genom att sätta in svaret i ekvationen. Då kan du dubbelkolla att man inte gjort ett slarvfel eller missat ett viktigt steg.

      michaela

      Tack för tipset, det ska jag göra!

EvaStenmark

hej!
hur löser man:
x+3y=1
3x+2y=-11

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Eva,
    Här ser det enklast ut att börja med att lösa ut x i den övre ekvationen:
    (1) x+3y=1
    (2) 3x+2y=-11
    —————————
    (1) ger att x = 1 – 3y
    Vi sätter in detta i (2) och får då ekvationen:
    3(1 – 3y)+2y=-11 <=>
    3 – 9y + 2y = -11 <=>
    -7y = -14 <=>
    y = 2
    Från (1) får vi x som blir x = 1 – 6 = -5
    Svar:
    —–
    x = -5
    y = 2

jj

x + 3y = 96
x + y + 2z= 126
2x + 2y +z = 159

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej jj, tack för din kommentar, detta är ju ett linjärt ekvationssystem med tre okända variabler. Funderar du på hur du skall lösa det eller är det en uppgift du jobbar med just nu? Ett sätt att lösa dessa ekvationssystem är att använda substitutionsmetoden och att försöka använda två av ekvationerna för att få en ekvation med bara en okänd variabel.

shirali110

Hej !
Hur vi kan lösa den här ekvationen :
y=4x
5x-2y-3=0
?
Tack för svaret om detta linjära ekvationssystem

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Shirali, ett sådant här linjärt ekvationssystem kan tex lösas med substitutionsmetoden. I den första ekvationen har du ju y = 4x. Då kan du byta ut y i den andra ekvationen mot 4x.

    Då får du ekvationen 5x-2*4x-3=0 där du kan lösa ut variabeln x. Med hjälp av x löser du sedan ut variabeln y.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös följande ekvationssystem med substitutionsmetoden.

    $\begin{cases} y=2x+3 \\ y=3x-4 \end{cases}$

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös följande ekvationssystem med substitutionsmetoden.

    $\begin{cases} x+y=5 \\ x+1=y \end{cases}$

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös följande ekvationssystem med substitutionsmetoden.

    $\begin{cases} x+3y=-3 \\ 2x-y=8 \end{cases}$

    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationssystemet $\begin{cases} 2x + 2y = 4 \\ 3x – 2y = 1 \end{cases}$

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm talet $a$a i ekvationen $3x+2y=a$3x+2y=a så att uttrycket $3x+2y-4$3x+2y4 får värdet $8$8.

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationssystemet $\begin{cases} 2x+3y=8 \\ 4x+y=-4  \end{cases}$.

    Rättar...

c-uppgifter (1)

  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Bestäm värdena för $a$a och $b$b så att ekvationssystemet $\begin{cases} x+ay=5 \\ 2bx + y =a+1 \end{cases}$ får lösningen $\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$.

    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.