...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 2
 /   Andragradsfunktioner

Största och minsta värde

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Andragradsfunktionens största och minsta värde motsvarar alltid det största och minsta y-värdet för funktionen. Dessa värden kallas för extremvärden.

I grafen till vänster är funktionens extremvärde ett minsta värde och hittas där $x=-2$x=2. Man säger att funktionens minsta värdet är $y=1$y=1

I grafen till höger är extremvärdet ett största värdet och hittas där  $x=-1$x=1 och  $y=3$y=3. Man säger att det största värdet är $y=3$y=3.

Till den vänstra funktion finns inget definierat största värde och till den högra inget minsta värde, då funktionerna fortsätter i oändligheten uppåt respektive neråt och det för varje angivet värde finns ännu ett större eller mindre värde. Man säger att den vänstra funktionen saknar ett minsta värde. Den högra saknar ett störat värde.

Exempel 1

Figuren visar grafen till en andragradsfunktion.

Ange funktionens största och minsta värdet.

Lösning

Vi ser att grafen har en maximipunkt så här har vi ett största värde.

Maximipunkten har koordinaterna $\left(-2,\text{ }3\right)$(2, 3)  så funktionens största värdet är  $y=3$y=3 .

Då parabeln är öppen neråt har vi inte något definierat minsta värde.

Största och minsta värde för Andragradsfunktioner

Detta värde hittas vanligen i andragradsfunktionens vertex, det vill säga maximi- eller minimipunkt. Det är alltså extrempunktens tillhörande $y$y-värde som motsvarar det största eller minsta värdet för andragradsfunktionen.

Funktionsvärdet  $f\left(a\right)$ƒ (a) i extrempunkten $x=a$x=a  kallas extremvärdet. 

Eftersom symmetrilinjen alltid går genom vertex, så innebär det att den alltid går genom punkten på grafen som har det största eller minsta funktionsvärdet.

Vertex koordinater är alltid $\left(x_s,\text{ }f\left(x_s\right)\right)$(xs, ƒ (xs)) där  $x_s$xs är symmetrilinjens ekvation och  $f\left(x_s\right)$ƒ (xs) funktionens extremvärde.

Det kan vara bra att känna till att det största/minsta värdet inte alltid återfinns i vertex. Till exempel inträffar detta då funktionen är avgränsad i sin definitionsmängd eller värdemängd i ett visst intervall. Då kan ett största eller minsta värde helt saknas eller finnas i ett intervalls ändpunkt. Men mer om detta i kursen Matematik 3.

Viktiga begrepp kring funktionsvärden

Minimipunkt
Punkt där funktionen inte antar några mindre värden i området kring punkten.

Maximipunkt
Punkt där funktionen inte antar några större värden i området kring punkten.

Vertex
Samlingsnamn för maximipunkt eller minimipunkt för just andragradsfunktioner.

Extrempunkt
Samlingsnamn för maximipunkt eller minimipunkt för alla funktioner.

Minimum
Funktionsvärdet där funktionen inte antar några mindre värden i närheten.

Maximum
Funktionsvärdet där funktionen inte antar några större värden i närheten.

Extremvärde
Samlingsnamn för maximum eller minimum.

Exempel på att hitta största och minsta värde

Det är vanligt att man söker funktions extremvärden som alltid är ett värde $f\left(a\right)$ƒ (a) och extrempunkter som anges som något värde $x=a$x=a i definitionsmängden.

Exempel 2

Bestäm största eller minsta värdet till funktionen $f\left(x\right)=-x^2+4x+5$ƒ (x)=x2+4x+5.

Lösning

Denna funktion har en maximipunkt då det är en negativ $x^2$x2-term i funktionsuttrycket.

Vi kan söka symmetrilinjens ekvation för att ta reda på $y$y -värdet i denna maximipunkt och då tar vi första reda på nollställena.

Nollställena ges av pq-formeln.

 $-x^2+4x+5=0$x2+4x+5=0               dividera båda led med $-1$1 

 $x^2-4x-5=0$x24x5=0                   sätt in värden i PQ-formeln

 $x=$x=  $-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(-\frac{4}{2}\right)^2-\left(-5\right)}$42 ±(42 )2(5)       beräkna

 $x=2\pm\sqrt{4+5}$x=2±4+5 

 $x=2\pm3$x=2±3 

Vi har nollställen i  $x_1=-1$x1=1och  $x_2=5$x2=5  så symmetrilinjens ekvation är  $x_s=$xs=$\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=$1+52 =42 =$2$2

Det största värdet ges av $f\left(2\right)=-2^2+4\cdot2+5=9$ƒ (2)=22+4·2+5=9

Det största värdet är $y=9$y=9

Självklart kan du lika gärna använda kunskapen att $x_s=$xs=  $-\frac{p}{2}$p2  där $p$p motsvarar förstagradstermens koefficient i PQ formen eller om andragradsfunktionen står på formen $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax2+bx+c  att $x_s=$xs= $-\frac{b}{2a}$b2a  och då slippa bestämma nollställena först för att sedan bestämma symmetrilinjen och få samma resultat. Se hur detta hänger ihop här.

Exempel i videon

  1. Bestäm största eller minsta värde för  $f\left(x\right)=x^2-2x-8$ƒ (x)=x22x8
  2. Bestäm största eller minsta värde för  $f\left(x\right)=-x^2-4x+12$ƒ (x)=x24x+12

Kommentarer

Eva Boström

Hej, inte att det stör mig men ser att text för minsta värdet har hoppat in i videon då ni säger att ni beräknar största värdet 16.. kan vara lite förvirrande

Samuel Gustafsson

Det är även fel på fråga 2. Symmetrilinjen går genom -2,5.

Samuel Gustafsson

Fråga 6 är fel. Det ska vara -4a.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Fixar detta!

Miranda Kokk Andersson

Som tidigare kommentar påpekat så är ju svaret på fråga nummer 5 fel, ska vara minsta värde, inte största.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tackar för felrapportering, det är korrigerat!

Mohamad Said Ammar

Jag försökte svara på uppgift 7 på så många olika sätt men det blir aldrig rätt, problemet är att det är svårt att skriva uttryck på datorn. kan nån hjälpa till?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det enklaste där är nog att skriva följande:
    (-p^2+4q)/4
    Är det förståeligt för dig?

Jesper Westin

Uppgift 5 är fel. Jag svarade ”Funktionens minsta värde är −16” men fick fel. Tydligen ska det vara ”största värde” men det är fel.


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (7)

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) har en minimipunkt. Bestäm funktionens minsta värde.

     $f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right)$ƒ (x)=(x1)(x3) 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Funktionen  $f\left(x\right)$ƒ (x) har en minimipunkt. Bestäm funktionens minsta värde.

     $f\left(x\right)=x\left(x+5\right)$ƒ (x)=x(x+5) 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Funktionen  $f\left(x\right)$ƒ (x) har en maximipunkt. Bestäm funktionens största värde.

     $f\left(x\right)=4+16x-x^2$ƒ (x)=4+16xx2 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Bestäm funktionens största värde.

     $f\left(x\right)=8x-2x^2$ƒ (x)=8x2x2 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R 1
    K
    M NP INGÅR EJ

    Bestäm om funktionen har ett största eller minsta värde och bestäm i så fall värdet.

     $f\left(x\right)=x^2-8x$ƒ (x)=x28x 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (3/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M 1
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Rektangel

    a) Teckna en formel för rektangelns area $A\left(x\right)$A(x)

    b) Bestäm rektangelns maximala area med hjälp av din formel.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/1/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R 1
    K
    M NP INGÅR EJ

    Bestäm funktionens  $f\left(x\right)$ƒ (x) minsta värde. $f\left(x\right)=\left(x-4\right)\left(x+6\right)$ƒ (x)=(x4)(x+6)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Se mer:Videolektion: Största och minsta värde
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 8. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Ett boule-kast kan beskrivas med funktionen $h\left(s\right)=-0,05s^2+0,4s+1,65$h(s)=0,05s2+0,4s+1,65, där $h$h är kulans höjd i luften då den färdats $s$s meter horisontellt.

    Hur högt upp i luften är kulan som högst?

    Ange svaret med två decimalers noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: andragradsfunktion symmetrilinje
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/3/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M
    R
    K 1
    M NP INGÅR EJ

    Funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) har en minimipunkt. Bestäm funktionens minsta värde då $f\left(x\right)=ax^2-4ax$ƒ (x)=ax24ax 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 10. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/1)
    E C A
    B
    P 1 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Bestäm ett generellt uttryck för funktionens minsta värde då $f\left(x\right)=x^2+px+q$ƒ (x)=x2+px+q.

    Träna på att genomföra din uträkning på ett papper.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se