...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 4
 /   Trigonometri och trigonometriska funktioner

Skissa trigonometriska funktioner

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Förskjutning uppåt/nedåt

Förskjutningen uppåt eller nedåt avgörs av om funktionsuttrycket har en konstantterm. Om denna konstant är positiv så förskjuts kurvan uppåt och är den negativ förskjuts kurvan nedåt.

$ y= A \sin k(x + v) + B $

Om konstanten $B>0$B>0 förskjuts kurvan uppåt.
Om konstanten $B<0$B<0 förskjuts förskjuts kurvan nedåt.

Vi kan beräkna förskjutningen i höjdled genom att subtrahera funktionens största värde med amplituden.

Förskjutningen i höjdled  $B=\text{Största funktionsvärdet – Amplituden}$B=Största funktionsvärdet – Amplituden   

Detsamma gäller för funktionen för cosinus.

Exempel 1

Ange värdet på konstanterna $B$B och $C$C.

Lösning

Förskjutning i höjdled ges av att man adderar en konstant.

Vi ser att den svarta kurvan är förskjuten två steg uppåt vilket ger att $B=2$B=2.
Den röda kurvan är förskjuten ett steg nedåt vilket ger att $C=-1$C=1 .

Förskjutning höger/vänster

Förskjutningar åt höger eller vänster av kurvan avgörs av om det finns en konstant inuti argumentet till sinus/cosinusfunktionen. Alltså om funktionsuttrycket ser ut så här.

$ y= A \sin k(x + v) + B $

Om  $v>0$v>0  förskjuts kurvan åt vänster.
Om  $v<0$v<0  förskjuts kurvan åt höger.

Du kan läsa av värde för $v$v i grafen genom avståndet från $y$y -axeln och den punkt där kurvan har sitt jämnviktsläge.

Detsamma gäller för funktionen för cosinus.

Exempel 2

Figuren visar kurvan till en sinusfunktion på formen  $y=\sin2\left(x+v\right)$y=sin2(x+v). Ange värdet på $v$v.

Lösning

Formeln beskriver en positiv sinuskurva, vilken utan förskjutning skär origo i punkten där grafen går från att vara konvex till att bli konkav (inflextionspunkt). Denna punkt hittar vi där kurvan skär $x$x-axeln underifrån, om den inte är förskjuten i höjdled vill säga.

Vi ser att denna ”startpunkt” är förskjuten $60^{\circ}$60 åt vänster, vilket leder till att $v=60^{\circ}$v=60

Kurvan i bilden kan alltså beskrivas med funktionen  $y=\sin2\left(x+60^{\circ}\right)$y=sin2(x+60).

Addera eller subtrahera vinkeln v?

Varför ska man addera $60^{\circ}$60 trots att punkten där grafen skär $x$x-axeln är $-60^{\circ}$60? Borde det inte vara $v=-60^{\circ}$v=60 istället?

Eftersom att kurvan är förskjuten åt vänster kommer man behöva addera $60^{\circ}$60 till varje $x$x -värde för att få samma funktionsvärde, det vill säga $y$y-värde.

Den blå kurvan tillhör $y=\sin2\left(x+60^{\circ}\right)$y=sin2(x+60) och den röda streckade tillhör $y=\sin2x$y=sin2x.

Vi ser att $x=30^{\circ}$x=30 i den blå grafen ger att

$\sin2\left(30^{\circ}+60^{\circ}\right)=\sin2\cdot90^{\circ}=\sin180^{\circ}=0$sin2(30+60)=sin2·90=sin180=0

I den röda streckade grafen motsvaras samma $y$y-värde av vinkeln $x=90^{\circ}$x=90, det vill säga $60^{\circ}$60 mer, eftersom att

$\sin2\cdot90^{\circ}=\sin180^{\circ}=0$sin2·90=sin180=0

På liknade vis gäller att $x=150^{\circ}$x=150 för $y=\sin2\left(x+60^{\circ}\right)$y=sin2(x+60) ger samma värde som $x=210^{\circ}$x=210 för $y=\sin2x$y=sin2x eftersom att

$\sin2\left(150^{\circ}+60^{\circ}\right)=\sin2\left(210^{\circ}\right)=\sin420^{\circ}\approx0,87$sin2(150+60)=sin2(210)=sin4200,87

Användbara begrepp när du skissa trigonometriska funktioner

Här sammanfattar vi begrepp kring de trigonometriska funktionera. Återvänd till respektive lektion för mer information.

Amplitud

$\text{Amplitud}=$Amplitud=  $\frac{\text{Största funktionsvärdet – Minsta funktionsvärdet}}{2}$Största funktionsvärdet – Minsta funktionsvärdet2 

Period

$\text{Periodicitet}=$Periodicitet=  $\frac{360^{\circ}}{k}$360k 

Förskjutning uppåt/nedåt

$ y= A \sin k(x+v) + d $

Om konstanten  $d>0$d>0  förskjuts kurvan uppåt.
Om konstanten  $d<0$d<0  förskjuts förskjuts kurvan nedåt.

Förskjutningen i höjdled  $d=\text{Största funktionsvärdet – Amplituden}$d=Största funktionsvärdet – Amplituden

Förskjutning höger/vänster

$ y=A \sin k(x + v) + d $

Om  $v>0$v>0  förskjuts kurvan åt vänster.
Om  $v<0$v<0  förskjuts kurvan åt höger.

Spegelvända en kurva

Om  $\sin/\cos$sin/cos föregås av ett minustecken spegelvänds kurvan i $x$x-axeln.

Exempel i videon

  • Skissa kurvan till $ f(x) = 4 \sin x + 2 $.
  • Skissa kurvan till $ f(x) = 2 \cos 2x $.
  • Skissa kurvan till $ f(x) = -2 \sin x $.

Kommentarer

Clockwork Cadaver

Två av svarsalternativen på uppgift 3 är rätt svar till frågan, sin(-x) och -sin(x), men sin(-x) ger fel svar.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Ja det är fel där, det är korrigerat, tack för att du sade till!

Tass

Hej!
Jag har en cosinus-kurva framför mig, och jag kan se att perioden är 3pi. Hur beräknar jag k om fuktionsuttrycket skall stå på denna form: y=Acoskx. Amplituden är 1 i detta fall. Blir det 3pi=2pi/k? Alltså perioden= 360/k?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Om periodiciteten är $3\pi$ så gäller följande
    $ 3\pi=\frac{2\pi}{k} $
    Så du är på helt rätt spår!

Salvador Montero-Martínez

Hej!
I uppgift 1 finns det en förskjutning på 1 i y-led men ingen fasförskjutning…

För visst kallar vi enbart förskjutning i y-led och fasförskutning i x-led?
Mvh //Salva

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, absolut har du rätt där, vi korrigerar uppgiften så att det står rätt, tack för att du sade till!

      Salvador Montero-Martínez

      Tummen up
      Tack för ett fantastiskt arbete!

Leila

Tack så jätte mycket för den fantastiska undervisningen!


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (13)

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Bilden visar kurvan till  $y=\sin x+B$y=sinx+B . Ange värdet på konstanten $B$B.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Se mer:Videolektion: Skissa trigonometriska funktioner
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M 1
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Din vän har ritat kurvan $y=\sin x$y=sinx och ska nu rita kurvan $y=\sin x+3$y=sinx+3.

    Beskriv för din vän hur man ska göra.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Se mer:Videolektion: Skissa trigonometriska funktioner
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M 1
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Figuren visar grafen till en funktion  $f\left(x\right)$ƒ (x). Vilken?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Hur kan formeln till en sinusfunktion som är förskjuten $40°$40°  åt höger se ut?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M 1
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Figuren visar kurvan till en sinusfunktion på formen  $y=\sin\left(x+v\right)$y=sin(x+v). Ange värdet på $v$v.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Se mer:Videolektion: Skissa trigonometriska funktioner
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

     Ange största värdet för $y=3\sin x+4$y=3sinx+4 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

     Ange minsta värdet för $y=3\sin x+4$y=3sinx+4 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

     Ange största värdet för $y=-3-\cos x$y=3cosx 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M 1
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Vilken funktion har amplituden $1$1 och perioden $180°$180°  samt är förskjuten ett steg nedåt?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Förkunskap: Amplitud och Period
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Ange amplitud, periodicitet och förskjutning för kurvan till  $f(x)=3\sin x-1$ƒ (x)=3sinx1

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 11. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B 2
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Funktionen $f$ƒ  ges av  $f\left(x\right)=2+5\cos4x$ƒ (x)=2+5cos4x

    a) Ange funktionens period.

    b) Ange funktionens minsta värde.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Se mer:Videolektion: Amplitud och Period
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 12. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Bestäm konstanten $B$B  så att det minsta värde funktionen $y=5\sin2x+B$y=5sin2x+B  kan anta är $3$3.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 13. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    M NP INGÅR EJ

    Olika funktioner kan avbildas med samma graf. Vilka av funtkionuttrycken ger grafen i bilden?

    A.  $y=\sin x$y=sinx         B.  $y=-\cos x$y=cosx           C.  $y=\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$y=sin(xπ2 )        D.  $y=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$y=cos(xπ2 ) 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 14. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/1/0)
    E C A
    B 1 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Figuren visar grafen till funktionen $y=A\text{ }\sin kx+B$y=A sinkx+B 

    Bestäm konstanterna $A,\text{ }B$A, B  och  $k$k 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Se mer:Videolektion: Amplitud och Period
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 15. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B 2
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Figurerna visar graferna till fyra trigonometriska funktioner.

    a) Para ihop följande tre funktioner med rätt graf A–D.

     $y=\sin\left(x\right)+2$y=sin(x)+2  hör ihop med graf:
     $y=\sin\left(2x\right)$y=sin(2x) hör ihop med graf:
     $y=\sin\left(x+\pi\right)$y=sin(x+π) hör ihop med graf:

    b) En av graferna A–D går inte att para ihop med någon av de tre funktionerna i a).
    Ange en trigonometrisk funktion som har den grafen. 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se