Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 3
/ Trigonometri
Sinussatsen
Sinussatsen kan användas för att bestämma okända vinklar och sidor i en triangel. För att kunna använda den så behöver du känna till följande
- En sidas längd och motstående vinkels storlek
- Någon annan sida eller vinkel i triangeln
Sinussatsen
För en triangel $ABC$ABC gäller att
$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$sinAa =sinBb =sinCc
där sidan $a$a är motstående vinkeln $A$A, sidan $b$b motstående vinkeln $B$B och sidan $c$c motstående vinkel $C$C.
I likhet med tillämpningen av areasatsen, så väljer man att använda den eller de kvoter som lämnar sig bäst för tillfället.
Likheten ovan kan skrivas om till
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$asinA =bsinB =csinC
och man kan välja att använda de sambanden i stället om man hellre vill, beroende på vilket som passar bäst för uppgiften man ska lösa. Tipset är att välja det samband som ger att en eventuell variabel hamnar i täljaren. Då slipper du lite jobb när du ska lösa ut den.
Metoder att bestämma sidor och vinklar i trianglar kallas för triangelsolvering. Och sinussatsen är en av tre triangelsatser, tillsammans med areasatsen och cosinussatsen, som vi kommer att introducera i denna kurs. Se även lektionen om när sinussatsen ger två fall.
Triangulering
Triangulering kallas den metod man använder för att bestämma avstånd som är svåra, eller till och med omöjliga, att mäta.
Metoden går ut på att symmetri och likformighet ger möjlighet att med hjälp av trigonometri mäta vinklar och sidor som är enkla att bestämma, för att sedan med triangelsatserna beräkna vinklar och avstånd som inte är så mätbara.
Triangulering används exempelvis för att mäta avstånd i rymden, höjder på berg och byggnader eller för att ange GPS-positioner.
Men innan vi tar oss an dessa tillämpningar kollar vi på ett mer mätbart exempel. Vi börja med att bestämma en okänd vinkel.
Exempel 1
Ta reda på vinkeln $x$x i figuren nedan.
Lösning
Vi använder sinussatsen för att ställa upp ekvationen
$\frac{\sin x}{5,3}=\frac{\sin38^{\circ}}{3,4}$sinx5,3 =sin38∘3,4
Vi multiplicerar bägge leden med $5,3$5,3 och får
$\sin x$sinx $\frac{5,3\cdot\sin38^{\circ}}{3,4}$5,3·sin38∘3,4
Därefter tar vi sinusinvers ( $\arcsin$arcsin eller $\sin^{-1}$sin−1 ) i bägge leden. Då får vi
$x=\sin^{-1}$x=sin−1 $\left(\frac{5,3\cdot\sin38^{\circ}}{3,4}\right)$(5,3·sin38∘3,4 )
$x\approx74^{\circ}$x≈74∘
Vinkeln är alltså ca $74^{\circ}$74∘.
Om nu tittar vi på hur man kan använda sinusstasen för att bestämma en okänd längd.
Exempel 2
Bestäm längden på sidan $x$x i triangeln. Avrunda till två decimaler.
Lösning
Nu skall vi bestämma längden på sidan $x$x. Därför väljer vi att skriva om sinussatsen så att den står på följande vis.
$\frac{x}{\sin35^{\circ}}=\frac{6,2}{\sin70^{\circ}}$xsin35∘ =6,2sin70∘
Nu multiplicerar vi bägge leden med $\sin35^{\circ}$sin35∘ och får
$x=$x= $\frac{\sin35^{\circ}\cdot6,2}{\sin70^{\circ}}$sin35∘·6,2sin70∘ $\approx3,8\text{ }cm$≈3,8 cm
Därför är längden på sidan $3,8$3,8 cm.
Bevis av sinussatsen
Vi ritar en godtycklig triangel.
När vi bevisar sinussatsen så kan vi utgå från areasatsen som beskriver ett sätt att beräkna en triangels area. Arean kan beskrivas på tre olika vis.
$\text{Area}=$Area= $\frac{ab\text{ }\sin C}{2}=\frac{bc\text{ }\sin A}{2}=\frac{ac\text{ }\sin B}{2}$ab sinC2 =bc sinA2 =ac sinB2
Utifrån dessa samband kan vi skriva om kvoterna så att vi landar i sinussatsen. Vi börjar med att förläng varje led med $2$2.
$\frac{ab\text{ }\sin C}{2}=\frac{bc\text{ }\sin A}{2}=\frac{ac\text{ }\sin B}{2}$ab sinC2 =bc sinA2 =ac sinB2
$ab\text{ }\sin C=bc\text{ }\sin A=ac\text{ }\sin B$ab sinC=bc sinA=ac sinB
Dividera alla led med $abc$abc
$\frac{ab\text{ }\sin C}{abc}=\frac{bc\text{ }\sin A}{abc}=\frac{ac\text{ }\sin B}{abc}$ab sinCabc =bc sinAabc =ac sinBabc
Därefter kan vi förkorta varje led. Exempelvis kan vi förkorta det första ledet (det längst till vänster) med $ab$ab. Efter förenkling får vi då
$\frac{\sin C}{c}=\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}$sinCc =sinAa =sinBb
Vilket är sinussatsen!
Exempel i videon
- Bestäm vinkeln v (Se bild i video)
- Bestäm sidan x. (Se bild i video)
- Johanna vill veta avståndet till sin sommarstuga vid C. Hon vet att vinkeln B är 23°, AC är 500 meter och AB är 210 meter. Hur långt är avståndet?
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Lös ekvationen $\frac{x}{10}=\frac{2}{3}$x10 =23
Svara i bråkform eller avrunda till två decimaler
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: ekvation ekvation täljare nämnareRättar...2. Premium
Lös ekvationen $\frac{\sin90^{\circ}}{x}=\frac{\sin30^{\circ}}{2}$sin90∘x =sin30∘2
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Geometri Matematik 3 sinussatsen trigonometriRättar...3. Premium
Daniel skall bestämma vinkeln $x$x och har fått fel svar. I vilket steg i hans uträkningen har det blivit fel?
Steg 1: $\frac{\sin x}{5,3}=\frac{\sin38^{\circ}}{3,4}$sinx5,3 =sin38∘3,4
Steg 2: $\sin x\cdot3,4=\sin38^{\circ}\cdot5,3$sinx·3,4=sin38∘·5,3
Steg 3: $x\cdot3,4\approx0,62\cdot5,3$x·3,4≈0,62·5,3
Steg 4: $x\approx$x≈ $\frac{0,62\cdot5,3}{3,4}\approx$0,62·5,33,4 ≈$0,96^{\circ}$0,96∘
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: sinussatsen triangelsatserna trigonometriRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Bestäm längden $x$ i figuren.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 3 sinussatsen triangelsatserna trigonometriRättar...c-uppgifter (3)
-
5. Premium
I triangeln ABC finns en inskriven blåmarkerad triangel ACD. Bestäm hur stor andel ACD:s area är av ABC:s area.
Ange ditt svar i hela procent.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 3 sinussatsen trigonometriRättar...6. Premium
Johanna skall beräkna avståndet från sig till en mobilmast (vid B). AC är 220 m och BC är 340 m. Vinkeln vid A är $63^{\circ}$63∘. Hur långt är avståndet?
Avrunda ditt svar till heltal och svara med enheten meter.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: sinussatsen triangelsatserna trigonometriRättar...7. Premium
Är en triangeln $ABC$ABC möjlig om $AB=10$AB=10, $AC=6$AC=6 och vinkeln $B=45^{\circ}$B=45∘?
Motivera ditt svar med sinussatsen, men svara med Ja eller Nej.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: sinussatsen triangelsatserna trigonometriRättar...a-uppgifter (1)
-
8. Premium
I triangeln ABC är $AB=22\text{ }cm$AB=22 cm och vinkeln B är rät. Vinkeln $A=40^{\circ}$A=40∘. En punkt $D$D ligger på $AB$AB så att vinkeln $BCD=6^{\circ}$BCD=6∘.
Bestäm längden $BD.$BD.
Avrunda ditt svar till en decimal och svara med enheten cm.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: sinussatsen triangelsatserna trigonometriRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
-
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Daniel Karlsson
Hej, på exemplet i videon där vinkeln v är okänd så används formeln
arcsin(sin(20)*5/3) och resultatet blir ca 34,75 grader. När jag försöker slå detta får jag bara ”ogiltiga indata”. Hur ska man slå detta på korrekt sätt?
Vänligen
Daniel
Simon Rybrand (Moderator)
Det ser ut som att du glömt en parentes, jämför med
arcsin(sin(20))*5/3
Hamid Zamanfar
Hej!
Exempel 3 i videon stämmer inte! du har räknat 20 grader istället 23 grader.
Simon Rybrand (Moderator)
Ja det var fel där, det är korrigerat, tack för att du sade till!
A.
Hej,
jag förstår inte i testfrågan 3, varför man tar a/sin85 = 8/sin80 Borde det inte vara a/sin15 = 8/sin80?
Alltså, a/sinA = c/sinC
a/sin85 är väl som att ta a/sinB?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Förklaringen till den uppgiften kan nog definitivt missuppfattas då bisektrisen kallas för a. Jag gör så att att vi döper om den till bokstaven b som är mycket mer logiskt i det här fallet. Då tror jag att det blir mer förståeligt.
mariam.safia
Hej
Jag löste andra övningen (exemplet) i videon och gjorde exakt samma steg men fick 78,32 m istället för 78,7. Kan det beror på räknaren? Eller är det räknefel? Min räknare är Texas 82.
Marima
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Skillnaden mellan våra svar är inte att du har räknat fel utan det beror på att det görs avrundningar på vägen i vår uträkning. Ditt svar är egentligen mer exakt.
hjorten_911
Fråga 3 är lite knasig.
Jag räknade ut den ljusa triangelns area (ABc) och fick likadant svar som er, men sedan när jag räknade ut arean på den stora triangeln (ABC) stämde det inte överens med svaret på frågan.
NI får vinkel A att bli 30 grader. Sedan vet man att vinkel B är 85 grader. Med hjälp av det vet man att vinkel C är 65 grader.
KOntrollerar man sedan med sinussatsen (sin 65/8 = sin 85/10) får man olika svar.
Är det fel i uppgiften eller har jag räknat fel?
Simon Rybrand (Moderator)
Hejsan, felet i uppgiften var att längden 10 är felaktig, det skall istället vara (ungefär) 8,79 cm. Uppgiften är uppdaterad och tack för att du kommenterade detta!
nti_mad
hej! när ger sinussatsen två fall?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, detta kan ske när du vet två sidor och en motstående vinkel v samt att denna vinkel v är spetsig.
Grundförutsättningen för att vi skall få två fall är att en höjden i triangeln är mindre än de bägge längderna som i sin tur är olika långa. För tillfället har vi ingen video på dessa specifika fall av sinussatsen och jag tror att det blir enklare att förstå om man visar det visuellt så vi skall förstås göra en sådan.
Laxhilding
Finns det någon genomgång för när sinussatsen ger två fall än? har kollat runt lite men kan inte hitta någon.
Goeran Hoegosta
Kanske har gjort fel nu men om man tar sin C/c och sin A/a så blir det ju väl sin100/120 = sin40/x vilket gör att x =78,3m. Testade att göra omvänt som du men ser att du skrev;
x= 120xsin40/sin100 men det borde ju vara 120xsin100xsin40. Eller hur?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej och tack för din kommentar
Båda sätten fungerar att göra på, i det här fallet blir det lite enklare att börja med x i täljaren då ekvationen går aningen snabbare att lösa då. Felet i videon är att $ 120 * sin 40 = 77,1 $ och inte 71,1. Detta uppdateras snarast i genomgången.
Endast Premium-användare kan kommentera.