...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Rationella uttryck – Vad är det?

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Rationella uttryck- vad är det?

Ett rationellt uttryck är en kvot av två polynom, alltså där både täljaren och nämnaren är polynom. Precis som för de rationella talen (bråktalen) får nämnaren aldrig vara lika med noll, för att uttrycket ska vara definierat.

Ett polynom är en summa av termer, där variabeln är i basen och samtliga exponenter tillhör de naturliga talen. 

Det här avsnittet i kursen handlar bland annat om att förfina och vidare utveckla dina aritmetiska och algebraiska förmågor. Till din hjälp behöver du regler i aritmetiken som vi jobbade med i Ma2b eller Ma2c.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Definition av rationella uttryck

Ett rationellt uttryck $r\left(x\right)$r(x) är en kvot av två polynom $p(x)$p(x) och $q(x)$q(x).

 $r\left(x\right)=$r(x)= $\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$p(x)q(x)      där  $q(x)\ne0$q(x)0 .

Här följer några exempel på rationella uttryck.

Exempel 1

  $r(x)=$r(x)= $\frac{x+3}{x^2-9}$x+3x29  

 $r\left(x\right)$r(x) är ett rationellt uttryck, där polynomet i täljaren är $p\left(x\right)=x+3$p(x)=x+3 och polynomet i nämnaren är $q\left(x\right)=x^2-9$q(x)=x29 

Exempel 2

  $r(x)=$r(x)= $\frac{5}{x}$5x  

 $r\left(x\right)$r(x) är ett rationellt uttryck, där polynomet i täljaren är $p\left(x\right)=5$p(x)=5 och polynomet i nämnaren är $q\left(x\right)=x$q(x)=x 

Som vi just sett, kan ett polynom bestå av endast en term som är en konstant. I exemplet var konstanten $5$5.

När är ett rationellt uttryck definierat eller inte definierat?

Precis som vi nämnde så finns det för rationella uttryck ibland värden för $x$x där uttrycket inte är definierat.

Ett rationellt uttryck inte definierat för de $x$x -värdena, som ger att nämnaren blir lika med noll.

Division med noll är inte definierat för de talen vi räknar med i denna kursen, så därför är division med noll en ”förbjuden” operation. Vi kan därför inte heller beräkna uttryckets värde när nämnaren är lika med noll. 

Exempel 3

Ange det rationella uttrycket  $\frac{x^2+x}{10-x}$x2+x10x   definitionsmängd.

Lösning:

Om nämnaren antar värdet noll är uttrycket inte definierat. Det är definierat för alla andra värden på $x$x.

$10-x=0$10x=0  då  $x=10$x=10 .

Alltså gäller att uttrycket är definierat för alla $x$x förutom $x=10$x=10. Vi kan skiva uttryckets definitionsmängd som $x\ne10$x10.

Exempel 4

När är det rationella uttrycket  $\frac{x+10}{x^2-x}$x+10x2x   inte definierat? 

Lösning:

Vi tar reda på när nämnaren  $x^2-x=0$x2x=  eftersom att uttrycket då inte är definierat.

$x^2-x=0$x2x=0         bryt ut  $x$x

$x(x-1)=0$x(x1)=0

Nollproduktmetoden ger att

$\begin{cases} x_1=0 \\ x_2=1\end{cases} $

Uttrycket är inte definierat för  $x_1=0$x1=0  och  $x_2=1$x2=1

Beräkna ett rationellt uttrycks värde

Vi beräknar ett rationellt uttrycks värde på samma vis som ett funktions värde, genom att byta ut variablerna mot variabelns värde.

Exempel 5

Beräkna värdet för  $r(x)=$r(x)= $\frac{3x+x^2}{11x-2}$3x+x211x2   då  $x=2$x=2

Lösning:

 $r(2)=$r(2)= $\frac{3\cdot2+2^2}{11\cdot2-2}=$3·2+2211·22 = $\frac{6+4}{22-2}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$6+4222 =1020 =12 

När används rationella uttryck?

Att känna till och att kunna hantera polynom och rationella uttryck med aritmetikens lagar, är en del av kurserna Ma3b och Ma3c.

Funktioner vars funktionsuttryck är rationella uttryck, kallas lämpligt vis rationella funktioner. Dessa ska vi kunna bestämma definitions- och värdemängd till.

Arbetet i algebran med förenkling av uttrycken, är ett viktigt mål i sig självt. I denna kurs behöver man ofta ta hjälp av konjugat- och kvadreringsreglerna. Det blir även nödvändigt att kunna förenkla rationella uttryck för att klara av en annan central del av kursen, nämligen derivatan.

Derivatan definieras nämligen av ett rationellt uttryck. Din förmåga att kunna utveckla och förenkla rationella uttryck kommer då att vara mycket användbar.

Exempel i videon

  • Exempel på när $\frac{5x^2+x}{2x+10}$ inte är definierat.
  • För vilket x är uttrycket $P(x)= \frac{3{x}-2}{x-1}$ inte definierat?
  • För vilka x är uttrycket $P(x)= \frac{4}{2x^2-16{x}-18}$ inte definierat?
  • Beräkna $P(-2)$ då$P(x)=\frac{12-x}{24-x^2}$.

Kommentarer

Per Eriksson

Hej,

Videon och provet verkar inte riktigt stämma överens. I videon så nämns att definitionen av ett rationellt uttryck är att täljaren och/eller nämnaren består av polynom.

I provet så ges dock bara rätt för om man svarar att både täljaren och nämnaren är ett polynom.

Mvh Per

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Jag har korrigerat videon i detta avseende. Det bör alltså stå nämnare och täljare är polynom.

Olga Piksina

Hej Simon,
Förstår inte riktigt uppgiften 2. Ett rationellt uttryck är ju väl en kvot av två polynom, dvs att en variabel måste finnas i både täljaren och nämnaren. Och även om en negativ exponent ger en kvot finns variabeln i endast nämnaren i uppgiften. Räknas detta ändå som ett rationellt uttryck?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det måste inte vara variabler för att det skall ses som ett rationellt uttryck. Även $p(x)=10$ är tex ett polynom.

      Olga Piksina

      Tack för ditt svar!
      Men måste då finnas en variabel i uttrycket överhuvudtaget eller vilken som helst kvot, t.ex. 3/10 är ett rationellt uttryck?

        Simon Rybrand (Moderator)

        Ja så är det! Även 3/10 är ett rationellt uttryck även om man oftast benämner det som ett rationellt tal.

Karl

Jag har också lite problem med uppgift 3. (x-1)^2. Jag tänker att det ska vara kvadreringsregel, men det kan inte stämma?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Nej där behöver du egentligen inte utveckla parentesen först med en kvadreringsregel utan det räcker med att sätta in $x=-1$. Så att du får
    $ (-1-1)^2=(-2)^2=4 $

oliverkalthoff

I uppgift 3 i nämnaren, efter man satt in -1 istället för X. Jag kan inte förstå hur ni får ((-1)-1)^2 till 4?

    oliverkalthoff

    det var inget.. tänkte att det skulle gångas i parantesen, dvs: -1 x -1 men så var inte fallet.

Elin Nilsson

På uppgift 3 förstår jag inte vad som händer i täljaren? Hur kan 6(-1)^2-2 bli till 6-2 bara? Jag fick det till 36-2.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Tänk på att det endast är (-1) som skall upphöjas med 2 och inte 6 så det står
    $ 6⋅(-1)^2 = 6⋅1 = 6 $
    Om det hade stått $ (6x)^2 $ i det rationella uttryckets täljare hade det varit så som du skriver.

Hanna Fox

Hej, jag har svårt med matte och har fått c i matte 1 och 2. Jag skulle vilja öka det till att möjligtvis kunna få ett ha. Har du några förslag på hur jag ska använda mig av matematikvideo för att nå mitt mål?

    Hanna Fox

    ett a i matte 3b menar jag

      Simon Rybrand (Moderator)

      Hej
      Jag tror att du här kommer att få en bra kunskap av all grundläggande teori med begrepp, metoder och mängder av exempel. Det här är grundförutsättningen för att du skall kunna ta steget och höja ditt betyg vilket ofta betyder att du skall förbättra din problemlösning. Om man har bra grundläggande förståelse för matematiken så ökar möjligheten att bli en bra problemlösare markant.
      Sedan har vi rätt mycket problemlösningsgenomgångar där du även får se exempel på och träna de svårare problemen.
      Jag önskar dig lycka till med dina studier och mål med dessa!

vitti

Tjaa! Ville bara säga tack som faan!! Jag fick VG på min prövning i matte c tack vare dig!
Jag har alltid vart dålig i matte, fick bara g i a och b kurserna. Du e grym!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Kul att höra att det gick bra! Fortsatt lycka till med pluggandet!

dinmamma777

Kör i firefox så slutar klippen haka upp sig.

Mohamed Osman

Tack. Det gör jag så då.

Mohamed Osman

Efter nya webbdesign går hemsidan mycket långsamt. Ibland startar videon inte. Är något fel som alla har eller bara jag?.
Jag tror att den gamla versionen var mycket lättare och bättre än denna, när det gäller videor men allt annat är bra.
Tack på förhand.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Om det går långsammare att få igång videos så kan en lösning för dig vara att prova webbläsaren Google Chrome (om du inte redan använder den).
    Vi vet om och jobbar med att det ibland tar längre tid att ladda in en video, om du vill så får du gärna kontakta oss på support@matematikvideo.se så har vi några knep till för att få det att gå snabbare.

pauline

Tycker det är svårt med rationella uttryck. Vad kan jag repetera i matematik 2 för att underlätta?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Tycker att det kan vara bra att repetera bråktal och bråkräkning och hela algebrakapitlet i Matematik 2. Det kommer att hjälpa dig att få bättre grunder i algebra och därmed göra det enklare att förstå rationella uttryck.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (10)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket påstående beskriver ett polynom?

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket påstående beskriver ett rationellt uttryck?

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M1
    R
    K


    Ragnars mobilabonnemang kostar $300$300 kronor i fast månadskostnad och $0,5$0,5 kr per samtalsminut. Antag att han ringer $s$s minuter under ett helt år.

    Vilket uttryck beskriver den genomsnittliga samtalskostnaden per minut?

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av följande uttryck är inte ett polynom?

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av följande uttryck är inte ett rationellt uttryck?

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    För vilket värde på x är det rationella uttrycket $\frac{16+x}{16-x}$16+x16x  inte definierat?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Grafen visar funktionen till  $f(x)=$ƒ (x)=  $\frac{x}{x-1}$xx1   

    x-delat-med-x-1

    För vilket  $x$x-värde är funktionen inte definierad?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    För vilka värden på $x$x är det rationella uttrycket $\frac{x}{x^2-1}$xx21  inte definierat?

    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna värdet för  $R(x)=$R(x)= $\frac{6x^2-2}{(x-1)^2}$6x22(x1)2   då $x=-1$x=1.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    För vilka $x$x är uttrycket inte definierat?

     $\frac{1000}{3x^2+54x+51}$10003x2+54x+51  

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar