Rationella Uttryck - Algebra (Ma 3) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Rationella uttryck – Vad är det?

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videon tittar på vad ett rationellt uttryck är för något. Vi går igenom definitionen av rationella uttryck och vad de olika delarna av ett rationellt uttryck består av.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
36 votes, average: 4,22 out of 536 votes, average: 4,22 out of 536 votes, average: 4,22 out of 536 votes, average: 4,22 out of 536 votes, average: 4,22 out of 5
36
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

10
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
MEDELPOÄNG
ALLA
4

Text

Rationella uttryck- vad är det?

Ett rationellt uttryck är en kvot av två polynom, alltså där både täljaren och nämnaren är polynom. Precis som för de rationella talen (bråktalen) får nämnaren aldrig vara lika med noll, för att uttrycket ska vara definierat.

rationellt uttryck

Ett polynom är en summa av termer, där variabeln är i basen och samtliga exponenter tillhör de naturliga talen. 

Det här avsnittet i kursen handlar bland annat om att förfina och vidare utveckla dina aritmetiska och algebraiska förmågor. Till din hjälp behöver du regler i aritmetiken som vi jobbade med i Ma2b eller Ma2c.

Definition av rationella uttryck

Ett rationellt uttryck $r\left(x\right)$r(x) är en kvot av två polynom $p(x)$p(x) och $q(x)$q(x).

 $r\left(x\right)=$r(x)= $\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$p(x)q(x)      där  $q(x)\ne0$q(x)0 .

Här följer några exempel på rationella uttryck.

Exempel 1

  $r(x)=$r(x)= $\frac{x+3}{x^2-9}$x+3x29  

 $r\left(x\right)$r(x) är ett rationellt uttryck, där polynomet i täljaren är $p\left(x\right)=x+3$p(x)=x+3 och polynomet i nämnaren är $q\left(x\right)=x^2-9$q(x)=x29 

Exempel 2

  $r(x)=$r(x)= $\frac{5}{x}$5x  

 $r\left(x\right)$r(x) är ett rationellt uttryck, där polynomet i täljaren är $p\left(x\right)=5$p(x)=5 och polynomet i nämnaren är $q\left(x\right)=x$q(x)=x 

Som vi just sett, kan ett polynom bestå av endast en term som är en konstant. I exemplet var konstanten $5$5.

När är ett rationellt uttryck definierat eller inte definierat?

Precis som vi nämnde så finns det för rationella uttryck ibland värden för $x$x där uttrycket inte är definierat.

Ett rationellt uttryck inte definierat för de $x$x -värdena, som ger att nämnaren blir lika med noll.

Division med noll är inte definierat för de talen vi räknar med i denna kursen, så därför är division med noll en ”förbjuden” operation. Vi kan därför inte heller beräkna uttryckets värde när nämnaren är lika med noll. 

Exempel 3

Ange det rationella uttrycket  $\frac{x^2+x}{10-x}$x2+x10x   definitionsmängd.

Lösning:

Om nämnaren antar värdet noll är uttrycket inte definierat. Det är definierat för alla andra värden på $x$x.

$10-x=0$10x=0  då  $x=10$x=10 .

Alltså gäller att uttrycket är definierat för alla $x$x förutom $x=10$x=10. Vi kan skiva uttryckets definitionsmängd som $x\ne10$x10.

Exempel 4

När är det rationella uttrycket  $\frac{x+10}{x^2-x}$x+10x2x   inte definierat? 

Lösning:

Vi tar reda på när nämnaren  $x^2-x=0$x2x=  eftersom att uttrycket då inte är definierat.

$x^2-x=0$x2x=0         bryt ut  $x$x

$x(x-1)=0$x(x1)=0

Nollproduktmetoden ger att

$\begin{cases} x_1=0 \\ x_2=1\end{cases} $

Uttrycket är inte definierat för  $x_1=0$x1=0  och  $x_2=1$x2=1

Beräkna ett rationellt uttrycks värde

Vi beräknar ett rationellt uttrycks värde på samma vis som ett funktions värde, genom att byta ut variablerna mot variabelns värde.

Exempel 5

Beräkna värdet för  $r(x)=$r(x)= $\frac{3x+x^2}{11x-2}$3x+x211x2   då  $x=2$x=2

Lösning:

 $r(2)=$r(2)= $\frac{3\cdot2+2^2}{11\cdot2-2}=$3·2+2211·22 = $\frac{6+4}{22-2}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$6+4222 =1020 =12 

När används rationella uttryck?

Att känna till och att kunna hantera polynom och rationella uttryck med aritmetikens lagar, är en del av kurserna Ma3b och Ma3c.

Funktioner vars funktionsuttryck är rationella uttryck, kallas lämpligt vis rationella funktioner. Dessa ska vi kunna bestämma definitions- och värdemängd till.

Arbetet i algebran med förenkling av uttrycken, är ett viktigt mål i sig självt. I denna kurs behöver man ofta ta hjälp av konjugat- och kvadreringsreglerna. Det blir även nödvändigt att kunna förenkla rationella uttryck för att klara av en annan central del av kursen, nämligen derivatan.

Derivatan definieras nämligen av ett rationellt uttryck. Din förmåga att kunna utveckla och förenkla rationella uttryck kommer då att vara mycket användbar.

Exempel i videon

  • Exempel på när $\frac{5x^2+x}{2x+10}$ inte är definierat.
  • För vilket x är uttrycket $P(x)= \frac{3{x}-2}{x-1}$ inte definierat?
  • För vilka x är uttrycket $P(x)= \frac{4}{2x^2-16{x}-18}$ inte definierat?
  • Beräkna $P(-2)$ då$P(x)=\frac{12-x}{24-x^2}$.

Kommentarer

  1. Hej,

    Videon och provet verkar inte riktigt stämma överens. I videon så nämns att definitionen av ett rationellt uttryck är att täljaren och/eller nämnaren består av polynom.

    I provet så ges dock bara rätt för om man svarar att både täljaren och nämnaren är ett polynom.

    Mvh Per

    Per Eriksson
    1. Hej
      Jag har korrigerat videon i detta avseende. Det bör alltså stå nämnare och täljare är polynom.

      Simon Rybrand
  2. Hej Simon,
    Förstår inte riktigt uppgiften 2. Ett rationellt uttryck är ju väl en kvot av två polynom, dvs att en variabel måste finnas i både täljaren och nämnaren. Och även om en negativ exponent ger en kvot finns variabeln i endast nämnaren i uppgiften. Räknas detta ändå som ett rationellt uttryck?

    Olga Piksina
    1. Hej
      Det måste inte vara variabler för att det skall ses som ett rationellt uttryck. Även $p(x)=10$ är tex ett polynom.

      Simon Rybrand
      1. Tack för ditt svar!
        Men måste då finnas en variabel i uttrycket överhuvudtaget eller vilken som helst kvot, t.ex. 3/10 är ett rationellt uttryck?

        Olga Piksina
        1. Ja så är det! Även 3/10 är ett rationellt uttryck även om man oftast benämner det som ett rationellt tal.

          Simon Rybrand
  3. Jag har också lite problem med uppgift 3. (x-1)^2. Jag tänker att det ska vara kvadreringsregel, men det kan inte stämma?

    Karl
    1. Hej
      Nej där behöver du egentligen inte utveckla parentesen först med en kvadreringsregel utan det räcker med att sätta in $x=-1$. Så att du får
      $ (-1-1)^2=(-2)^2=4 $

      Simon Rybrand
  4. I uppgift 3 i nämnaren, efter man satt in -1 istället för X. Jag kan inte förstå hur ni får ((-1)-1)^2 till 4?

    oliverkalthoff
    1. det var inget.. tänkte att det skulle gångas i parantesen, dvs: -1 x -1 men så var inte fallet.

      oliverkalthoff
  5. På uppgift 3 förstår jag inte vad som händer i täljaren? Hur kan 6(-1)^2-2 bli till 6-2 bara? Jag fick det till 36-2.

    Elin Nilsson
    1. Hej
      Tänk på att det endast är (-1) som skall upphöjas med 2 och inte 6 så det står
      $ 6⋅(-1)^2 = 6⋅1 = 6 $
      Om det hade stått $ (6x)^2 $ i det rationella uttryckets täljare hade det varit så som du skriver.

      Simon Rybrand
  6. Hej, jag har svårt med matte och har fått c i matte 1 och 2. Jag skulle vilja öka det till att möjligtvis kunna få ett ha. Har du några förslag på hur jag ska använda mig av matematikvideo för att nå mitt mål?

    Hanna Fox
    1. ett a i matte 3b menar jag

      Hanna Fox
      1. Hej
        Jag tror att du här kommer att få en bra kunskap av all grundläggande teori med begrepp, metoder och mängder av exempel. Det här är grundförutsättningen för att du skall kunna ta steget och höja ditt betyg vilket ofta betyder att du skall förbättra din problemlösning. Om man har bra grundläggande förståelse för matematiken så ökar möjligheten att bli en bra problemlösare markant.
        Sedan har vi rätt mycket problemlösningsgenomgångar där du även får se exempel på och träna de svårare problemen.
        Jag önskar dig lycka till med dina studier och mål med dessa!

        Simon Rybrand
  7. Tjaa! Ville bara säga tack som faan!! Jag fick VG på min prövning i matte c tack vare dig!
    Jag har alltid vart dålig i matte, fick bara g i a och b kurserna. Du e grym!

    vitti
    1. Hej
      Kul att höra att det gick bra! Fortsatt lycka till med pluggandet!

      Simon Rybrand
  8. Kör i firefox så slutar klippen haka upp sig.

    dinmamma777
  9. Tack. Det gör jag så då.

    Mohamed Osman
  10. Efter nya webbdesign går hemsidan mycket långsamt. Ibland startar videon inte. Är något fel som alla har eller bara jag?.
    Jag tror att den gamla versionen var mycket lättare och bättre än denna, när det gäller videor men allt annat är bra.
    Tack på förhand.

    Mohamed Osman
    1. Hej,
      Om det går långsammare att få igång videos så kan en lösning för dig vara att prova webbläsaren Google Chrome (om du inte redan använder den).
      Vi vet om och jobbar med att det ibland tar längre tid att ladda in en video, om du vill så får du gärna kontakta oss på support@matematikvideo.se så har vi några knep till för att få det att gå snabbare.

      Simon Rybrand
  11. Tycker det är svårt med rationella uttryck. Vad kan jag repetera i matematik 2 för att underlätta?

    pauline
    1. Hej,
      Tycker att det kan vara bra att repetera bråktal och bråkräkning och hela algebrakapitlet i Matematik 2. Det kommer att hjälpa dig att få bättre grunder i algebra och därmed göra det enklare att förstå rationella uttryck.

      Simon Rybrand

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: