...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 3
 /   Aritmetik, polynom och rationella Uttryck

Multiplicera och dividera rationella uttryck

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Att multiplicera och dividera rationella uttryck

När man multiplicerar och dividerar rationella uttryck, utgår man från samma räkneregler som vid multiplikation och division med bråktal.

Här kommer en kort sammanfattning av dem.

Regler bråkräkning Multiplikation

  $\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$ab ·cd =a·cb·d  

Regler bråkräkning Division

 $\frac{a}{b}$ab  $\big/$ $\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$cd =a·db·c  

Det är alltså dessa regler som även används för att multiplicera och dividera rationella uttryck. Den enda skillnaden är att vår täljare och nämnare är algebraiska uttryck, i stället för konstanter.

Känner du dig osäker på hur du räknar med bråk, så repetera det innan du börjar med detta avsnitt. Ett förtydligande kring divisionen följer längre ner i denna text. Det är även bra att ha goda kunskaper om hur man förenklar algebraiska uttryck.

Nu förenklar vi några rationella uttryck.

Multiplikation av rationella uttryck

Vid multiplikation av rationella uttryck använder du dig av samma räkneregler som för multiplikation med rationella tal, det vi även kallar bråk.

Exempel 1 

Förenkla följande uttryck

  $\frac{4}{x^2}\cdot\frac{x}{3}$4x2 ·x3  

Lösning

Först multipliceras täljarna med varandra och nämnarna med varandra. Det ger oss ett nytt rationellt uttryck.

 $\frac{4}{x^2}\cdot\frac{x}{3}=\frac{4x}{3x^2}$4x2 ·x3 =4x3x2  

Sedan förkortar vi med $x$x i täljaren och nämnaren så att uttrycket står på enklaste form.

 $\frac{4x}{3x^2}=\frac{4}{3x}$4x3x2 =43x  

Ormar som hjälp vid division

En del tycker att bilden med ormar som slingrar sig genom bråket, är till hjälp vid division av bråk eller rationella uttryck.

Multiplicera och dividera rationella uttryck

Rent matematiskt förlänger vi bråket med den inverterade nämnaren, för att få nämnaren ett.

Förlänga med den inverterade nämnaren

Exempel 2 

Beräkna  $\frac{\frac{6}{7}}{\text{ }\frac{1}{2}\text{ }}$67  12    

Svara i bråkfrom.

Lösning

Talet är en bråkdivision. Vi beräknar den genom att förlänga med den inverterade nämnaren  $\frac{2}{1}$21 

$\frac{\frac{6}{7}}{\text{ }\frac{1}{2}\text{ }}=\frac{\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{1}}{\text{ }\frac{1}{2}\text{ }\cdot\frac{2}{1}}=\frac{\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{1}}{\text{ }\frac{2}{2}}=\frac{\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{1}}{\text{ }1}=$67  12   =67 ·21  12  ·21  =67 ·21  22  =67 ·21  1 = $\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{1}=\frac{12}{7}$67 ·21 =127   

Inversen till ett tal är det tal som vid multiplikation ger produkten ett. Vid bråkräkning kommer det alltid motsvara det ”upp-och-nervända” bråket.

Division av rationella uttryck

Vid division av rationella uttryck använder du dig av samma räkneregler som för division med rationella tal, det vi även kallar bråk som vi visade här ovan.

Exempel 3  

Förenkla följande uttryck och ange i enklast form.

 $\frac{4x}{6y}$4x6y $\big/$ $\frac{4}{x}$4x 

Lösning

Först multipliceras det första uttryckets täljare med det andra uttryckets nämnare och resultatet placeras i täljaren. Sedan multipliceras det första uttryckets nämnare med det andra uttryckets täljare och resultatet placeras i nämnaren.

 $\frac{4x}{6y}$4x6y $\big/$ $\frac{4}{x}=\frac{4x}{6y}\cdot\frac{x}{4}=\frac{4x^2}{6\cdot4\cdot y}$4x =4x6y ·x4 =4x26·4·y  

Nu förkortar vi koefficienterna för att svara i enklaste form

 $\frac{x^2}{6y}$x26y  

 Vi tittar nu på ett exempel som är något svårare.

Exempel 3 

Förenkla följande uttryck

 $\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)$(ab ba ) $\big/$ $\frac{a-b}{ab}$abab  

Lösning

Förläng uttrycket i täljaren så att de kan skrivas på gemensam nämnare.

 $\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)=\frac{a^2}{ab}-\frac{b^2}{ab}=\frac{a^2-b^2}{ab}$(ab ba )=a2ab b2ab =a2b2ab  

Utför sedan divisionen enligt räkneregler och förkorta uttrycket.

 $\frac{a^2-b^2}{ab}$a2b2ab  $\big/$ $\frac{a-b}{ab}=$abab = 

 $\frac{a^2-b^2}{ab}\cdot\frac{ab}{a-b}=$a2b2ab ·abab =  

 $\frac{\left(a^2-b^2\right)\cdot ab}{ab\cdot\left(a-b\right)}=$(a2b2)·abab·(ab) =                      förkorta med $ab$ab 

 $\frac{a^2-b^2}{\left(a-b\right)}=$a2b2(ab) =                                skriv om täljaren med konjugatregeln

 $\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)}=$(a+b)(ab)(ab) =                        förkorta med  $a-b$ab 

 $\left(a+b\right)$(a+b)  

Nu är det bara att sätt i gång och träna. Övning ger färdighet.

Exempel i videon

  • Beräkna  $\frac{6}{7}\cdot\frac{1}{2}$67 ·12  
  • Förenkla  $\frac{x^2y}{3}\cdot\frac{9}{xy^3}$x2y3 ·9xy3  
  • Beräkna  $\frac{\text{ }\frac{6}{7}\text{ }}{\frac{1}{2}}$ 67  12   
  • Förenkla $ \frac{x^2y}{3} \big/ \frac{9}{xy^3} $
  • Förenkla  $(a+b)\cdot$(a+b)· $\frac{(a-b)}{2a^2-2b^2}$(ab)2a22b2  
  • Förenkla  $(z^2-2z+1)$(z22z+1) $ \big/ \frac{3z-3}{5} $

Kommentarer

Adam Norberg

hej jag har en fråga om uppgift 7.
ni lägger till -1 i nämnaren. Måste man inte ta tillbaka den någon gång i slutet?

    Anna Eddler Redaktör (Moderator)

    Hej Adam,

    vi har brutit ut $-1$ och i samband med det ”bytt” tecken i parentesen.

    $(a-b)=(-1)(-a+b)$

    Så det är inte förändring av uttryckets värdet utan bara siffrorna.

evertgoran

Hej igen!

Tack för hjälpen Anna!
Jag förstod precis =)

En sista fråga,

på uppgift 7 får jag det till -1(a+b)/ab vilket blir då -a-b/ab MEN svarsalternativet som jag fanns att välja på var – a+b/ab

– hade jag fått fel på ett prov om jag lämnat svaret -a-b/ab?

Tack på förhand!

    Anna Eddler Redaktör (Moderator)

    Hej,

    det beror lite på din lärare och hur mycket ni pratat om hur man skriver matte på datorn. Det är en fråga om prioriteringsregler och när man skriver på datorn då är de i likhet med programmering eller på räknare viktigt att ge rätt input för att systemet ska kunna tolka det rätt.

    När vi skriver i bråkform blir det tydligare.

    -a-b/ab tolkar systemet, i enlighet med prioriteringsreglerna som

    $-a-\frac{b}{ab}$

    eftersom att subtraktion är lägre i prioritet än division. För att få det som i svars alternativet måste vi använda parenteser.

    $-\frac{a+b}{ab}$, som är det svarsalternativ som du refererar till måste vi skriva

    -(a+b)/(ab)

    och om du nu vill skriva det som $\frac{-a-b}{ab}$, som är exakt samma sak så måste du skriva

    (-a-b)/(ab) i stället.

    Men jag tror att din egentliga fråga var om

    $-\frac{a+b}{ab}=\frac{-a-b}{ab}$

    och då är svaret JA. Men du måste varar noga med parenteserna för att det ska bli rätt när du skriver det ”mer linjärt”.
    OK?

evertgoran

Hej!

På fråga 6, varför blir det inte $5y(x^2+y) / 3(3x^2)$ istället för $x^2 + 5y^2 / 9x^2$?
Borde inte $5y$ multipliceras med $x^2$ också, varför multipliceras $5y$ endast med $y$?

Tack på förhand!

    Anna Admin (Moderator)

    Hej,

    vid multiplikation påverkas alla faktorer indirekt om två faktorer skrivs om en produkt. Man ska alltså inte multiplicera alla ”med varandra”.

    Om vi tar exemplet att talet $8$ ska multipliceras med $3$ får vi att $3 \cdot 8=24$

    Om vi nu skriver om talet åtta som en produkt, $8=2\cdot 4$ och utför multiplikationen ser vi att det bara är tvåan ELLER fyra vi ska multiplicera för att få rätt svar.

    $3 \cdot 2\cdot4=6\cdot 4= 24$ eller $3 \cdot 2\cdot4=2 \cdot 12= 24$

    Vi kan inte både göra tvåan och fyran tre gånger större för då får vi att

    $3 \cdot 2\cdot4$ skulle vara lika med $6 \cdot 12=72 $ vilket är ett tal som är tre gånger så stort!

    Så därför

     
    $\frac{\frac{x^2y}{3}}{\frac{3x^2}{5y}}=$ $\frac{\frac{x \cdot x \cdot y}{3}}{\frac{3 \cdot x \cdot x}{5 \cdot y}}=$ $\frac{x \cdot x \cdot y}{3} \cdot \frac{5 \cdot y }{3 \cdot x \cdot x}=$ $ \frac{x \cdot x \cdot y \cdot 5 \cdot y}{3\cdot 3 \cdot x \cdot x}=$ $ \frac{5 x^2 y^2}{9x^2}$
      

    Hoppas det gick att hänga med på!

George Malmberg

Varför är bilder så otroligt läskiga, kan inte räkna ut uppgifter utan att få mardrömmar. Jag snackar bild på uppgift 4 och den från förra kapitlet.

    Anna Eddler Redaktör (Moderator)

    Hej George,

    det är inte vår mening att ge dig mardrömmar…

    vi hoppas på att lära dig matematik:)

Jenny Arvidsson

Hej! Kan man få se en rätt lösning på uppgift 4? Får det till x/+-3 och undrar om jag tänkt rätt

    Anna Eddler Redaktör (Moderator)

    Hej Jenny. Jag la till så hon borde gjort i förklaringen. Hoppas det blev tydligare.

Simon Svedberg

Hej!
Har lite krångel med svaret på sista uppgiften på detta avsnittet. Jag har kommit fram till rätt svar men vet ej hur jag ska skriva in det i rutan så att det tolkas rätt av programmet. Annars vill jag bara påpeka att du/ni är hjältar och att dessa genomgångarna har hjälpt mig mycket i mina högskolestudier 🙂

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Simon
    Vi kikar på om vi kan förenkla detta för dig/andra.
    Kul att du gillar tjänsten!

Alla Sapkina

Hej, jag har precis börjat läsa matte 3 och skulle behöva lite kickstart. hur räknar man ut det här?

2 1 3
—— + ——- = ——-
3x-6 6 x-2

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Har svårt att tolka dina uttryck här. Förtydliga med parenteser.

      Alla Sapkina

      (2/3x-6)+(1/6)=3/x-2

        Simon Rybrand (Moderator)

        Är det ekvationen $\frac{2}{3x-6}+\frac16=\frac{3}{x-2}$?

    Alla Sapkina

    Den fråga ställer en av mina elever som använder min konto.Jag ber att inte använda mitt namn i fall ställer du egna frågor utan kontakta mig direkt så kan jag hjälpa dig på bästa sättet.
    Det är en vanlig proportionell ekvation som man kan lösa genom att flytta 1/6 på höger led sen multiplicerar man med nämnaren dvs.uttryck som står i nämnaren det andra term då får vi fram:
    2/(3x-6)= 3/(x-2) – 1/6
    2/(3x-6)= 3*6/(x-2)*6 – 1(x-2)/(x-2)*6
    2/(3x-6)=18/(6x-12)- (x-2)/(6x-12) gemensamma nämnare kan vi skriva som en nämnare
    2/(3x-6)=(18- x+2)/(6x-12)
    2/(3x-6)=(20-x)/(6x-12) korsvis multiplikation
    2(6x-12)=(3x-6)(6x-12) här förenklar man ekvation då får vi fram en andragradsekvation som löser genom att tillämpa p,q formell.

Malou Lundqvist

Hej! Jag förstår inte du du får (z^2 -2z + 1) x5 att bli 5x(z-1)^2

Vart försvinner -2z?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Där faktoriserar vi $z^2 -2z + 1$ med en kvadreringsregel.
    Kika gärna på den här genomgången om detta:
    Faktorisera med konjugat och kvadreringsreglerna

emelielundmark__@hotmail.com

Hej, skulle du kunna förklara varför -2z /-2z3= 1/z2 ?
Tack:)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, anar att det är uttycket
    $ \frac{-2z}{-2z^3} = \frac{1}{z^2} $

    Här så dividerar du -2 med -2 vilket ger resultatet
    $ \frac{-2}{-2} = 1 $
    och
    $ \frac{z}{z^3} = \frac{z}{z⋅z⋅z} = $ (förkorta täljare och nämnare med $z$)
    $ \frac{1}{z⋅z}= \frac{1}{z^2} $

    Sammantaget blir det alltså
    $ \frac{1}{z^2} $

nti_ma3

hej,
jag förstår inte detta: -2z /-2z3= 1/z2
kan du förklara?
MVH


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Det rationella uttrycket går att förkorta till ett heltal. Vilket?

     $\frac{2x^3}{4y^2}$2x34y2 $\big/$ $\frac{6x^3}{24y^2}$6x324y2    

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Förenkla till enklaste form

      $\left(-\frac{2z}{8}\right)\cdot\left(-\frac{4}{z^3}\right)$(2z8 )·(4z3 ) 

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Förenkla  $2x^3\cdot$2x3·$\frac{4y}{x^2}$4yx2  

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: aritmetik rationella uttryck
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M
    R 1
    K
    M NP INGÅR EJ

    Sofia har försökt förenkla uttrycket $\frac{4x^2}{12}$4x212  $\big/$ $3$3. Så här ser hennes lösning ut.

    Vilket alternativ tycker du stämmer bäst?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Förenkla följande uttryck

     $\frac{5x^2}{2y^2}\cdot\frac{4y^2}{2x}$5x22y2 ·4y22x  

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Förenkla följande uttryck så långt som möjligt

     $\frac{x^2y}{3}$x2y3 $\big/$$\frac{3x^2}{5y}$3x25y  

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (2)

Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se