...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Räkna med Komplexa Tal

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Som grund kan man utgå från att beräkningar med de komplexa talen fungerar på samma sätt som för reella tal. Samma aritmetiska och algebraiska räkneregler går att tillämpa på addition, subtraktion, multiplikation och division, med tillägget att man definierat talet $i$i med egenskapen att $ i^2 = -1 $.

Räkneregler för komplexa tal

Egenskapen att talet $i$i gånger sig självt är definierat hos de komplexa talen som $-1$ gör att vi får en del speciella fall framförallt när man multiplicerar eller dividerar komplexa tal.

Addera komplexa tal

Addition av komplexa tal genomförs på samma vis som med ”vanliga” algebraiska uttryck. De reella delar läggs här ihop för sig och de imaginära för sig.

Exempel 1 

Addera de komplexa talen $ z=(3+3i)$  och $w=(8-9i) $

Lösning

Vi addera realdelarna för sig och imaginär delarna för sig.

$ z+w= (3+3i) + (8-9i) = 3 + 3i + 8-9i = 11-6i $

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Subtrahera komplexa tal

Precis som vid addition gäller att, de reella delar läggs ihop för sig och de imaginära för sig vid subtraktion av komplexa tal.

Exempel 2 

Subtrahera de komplexa talen $ z=(3+i)$ och $w=(4+8i)$

Lösning

Vi subtraherar realdelarna för sig och imaginär delarna för sig.

$ z-w = (3+i)-(4+8i)=3+i-4-8i=-1-7i $

Multiplikation med komplexa tal

Vi används den distributiva och utvidgade distributiva lagen för att genomföra multiplikation av komplexa tal. Innan vi anger svaret förenklar vi uttrycket ytterligare genom att använda definitionen av den imaginära enheten $ i^2=-1 $.

Distributiva lagen

$a(b+c)=ab+ac$

Utvidgade distributiva lagen

$a(b+c)=ab+ac$

Ett exempel följer här nedan hur dessa regler används.

Exempel 4

Beräkna produkten av de komplexa talen $z=(3+i)$ och $w=(4+8i)$

Lösning

$z·w= (3+i)⋅(4+8i)= $ $ 12+24i+4i+8i^2=12+28i+8i^2$

Vi förenklar uttrycket med vetskapen att  $i^2=-1$i2=1 

$z·w=12+28i+8·(-1)=12+28i-8=4+28i $

Division med komplexa tal

För att kunna dividera två komplexa tal med varandra behöver man förlänga täljare och nämnare med nämnarens komplexa konjugat. Detta för att få ett reellt tal i nämnaren.

För om vi har ett reellt tal i nämnaren, kan vi förenkla uttrycket genom att beräkna realdelen och imaginär delen och skriva det som ett komplext tal i stället för en kvot.

Exempel 5

Beräkna kvoten av de komplexa talen $z=3+i$ och $w=4+8i$

Lösning

Vi förlänger kvoten med nämnarens komplexa konjugat $\overline{w}=4-8i$, för att få ett reellt tal i nämnaren. 

 $\frac{z}{w}=\frac{3+i}{4+8i}$zw =3+i4+8i    $=\frac{(3+i)(4-8i)}{(4+8i)(4-8i)}=$=(3+i)(48i)(4+8i)(48i) = 

 $\frac{12-24i+4i-8i^2}{16-32i+32i-64i^2}$1224i+4i8i21632i+32i64i2    $=\frac{12-20i+8}{16+64}=$=1220i+816+64 = 

 $\frac{20-20i}{80}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}i$2020i80 =14 14 i 

eller om vi vill svara i decimalform som  $0,25-0,25i$0,250,25i.

Exempel i videon

  • Beräkna $ z + w $ då $z = 4-i$ och $w = -2+2i$.
  • Beräkna $ z – w $ då $z = 4-i$ och $w = -2+2i$.
  • $z = 4-i$ och $w = -2+2i$. Beräkna $z⋅w$
  • Utveckla $(-2 + 3i)^2$ och förenkla till formen $a + bi$.
  • Skriv $\frac{2-i}{3-i}$ på formen a + bi

Kommentarer

antonb97

Tjena! Tänkte bara fråga i exempel 5 & 8 multiplicerar ni bara in parenteserna med varandra men i videon använder ni er av kvadreringsregeln dvs (a+b)(a-b)=a^2-b^2. Varför ska den inte tillämpas i era exempel?

Med vänliga hälsningar,
Anton Bäck

Leila

Jag läser på distans och den här sidan är min räddning! Tack för allt!

Med vänlig hälsning,

BotenAnnie

vet du om att du är min hjälte ? nu vet du 🙂

    Simon Rybrand (Moderator)

    Härligt att höra att det här materialet hjälper dig!

0504jennifer

Måste verkligen säga att dessa videos har varit hur bra som helst! Jag kom in på byggingenjörsprogrammet där de endast krävde godkänt betyg i matte D. Det första vår nya mattelärare gör är att rabbla igenom D och E-kursen på kanske max 4 föreläsningstillfällen. Snacka om att jag fick en chock! Jag kuggade tyvärr på första provet, men omtentan känns mycket ljusare nu när jag verkligen förstår ”tänket” bakom E-kursen 🙂


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna summan av $z = 3i$ och $q=-4i$

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $(1+2i)+(3-2i)$.

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $(2+i)(3-2i)$

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $\frac{3+i}{2-i}$.

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Johnny har gjort en beräkning fel när han skall skriva $ \frac{2+2i}{4-3i} $ på formen $a+bi$. Vad är det som han har gjort fel?

    rakna_komplexa_tal

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $|z| – \overline{z} $ om $z=4+3i$.

    Svara på formen a + bi

    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $\frac{z}{i} = 1-3i $

    där $z$ är ett komplext tal på formen $a+bi$.

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R1
    K

    Vilket av följande påståenden stämmer om $z = \frac{1}{2+2i}-\frac{1}{2-2i}$?

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar