...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Interaktivt material Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Problemlösning med Derivata

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Max och minproblem

När vi tillämpar derivatan handlar ofta uppgifterna om att hitta ett största eller minsta värde som den givna matematiska modellen kan anta.  Då vi vet att största och minsta värdet återfinns i extrempunkterna eller i intervallets gränser, kan vi använda detta för att hitta funktionens största och minsta värden.

Max och min problem med derivatan

Vi vet att derivatan alltid är lika med noll i extrempunkterna. Om vi sätter derivatan lika med noll och löser ekvationen får vi på så sätt fram de värden på  $x$x  som ger det största eller minsta värdet som finns i de lokala extrempunkterna. Kollar vi även ändpunkternas funktionsvärde kan vi på så sätt bestämma det största och/eller minsta funktionsvärdet.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Vilken enhet har derivatan?

Derivatan definieras som gränsvärdet till en ändringskvot. En ändringskvoten i sin tur definieras som $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}$yx . Utifrån denna kunskap kan vi dra slutsatsen att derivatans enhet vid tillämpning, alltid kommer att motsvara $y$y -axelns enhet delat med $x$x -axelns enhet. 

 $\text{Derivatans enhet}=$Derivatans enhet=  $\frac{y\text{-axelns enhet}}{x\text{-axelns enhet}}$y-axelns enhetx-axelns enhet  

Så ett tips är att ställa upp en kvot av enheterna och förenkla, om du känner dig osäker på vilken enhet derivatan ska ha.

Exempel 1

Kostnaden $K\left(t\right)$K(t) kr för att hyra en eldriven scooter kan beskrivas med modell $K\left(t\right)=1,50t+10$K(t)=1,50t+10 med avseende på tiden $t$t i minuter.

Vilken är den rörliga kostnaden per minut?

Lösning:

Derivatan motsvarar förändringen av kostnaden. Vi deriverar funktionen och får att

 $K\left(t\right)=1,50t+10$K(t)=1,50t+10   ⇒    $K’\left(t\right)=1,50$K(t)=1,50 

Då  $\text{Derivatans enhet}=$Derivatans enhet=  $\frac{y\text{-axelns enhet}}{x\text{-axelns enhet}}$y-axelns enhetx-axelns enhet   får vi enheten $\frac{\text{kronor}}{\text{minut}}$kronorminut 

och svaret blir att den rörliga minutkostnaden är $1,50$1,50 kr/minut. 

Exempel 2

En bil blir tvungen att tvärbromsa. Bilens hastighet under inbromsningen kan beskrivas med funktionen  $v\left(t\right)=35-1,8s^2$v(t)=351,8s2 m/s.

Vilken är retardationen, alltså inbromsningshastigheten, efter $2$2 sekunder?

Lösning:

Derivatan motsvarar förändringen av hastigheten vilket i detta fall motsvarar retardationen, eller även kallad inbromsningshastigheten. Vi deriverar funktionen och får att

 $v\left(t\right)=35-1,8t^2$v(t)=351,8t2   ⇒    $v’\left(t\right)=-1,8s$v(t)=1,8s 

Vi får då att 

  $v’\left(2\right)=-1,8\cdot2=-3,6$v(2)=1,8·2=3,6

Att värdet är negativt anger att hastigheten minskar/avtar. När vi svarar anger vi värdet $3,6$3,6. Negationen finns i ordet retardation, som motsats till accelereration som anger en hastighets ökning.

Då  $\text{Derivatans enhet}=$Derivatans enhet= $\frac{y\text{-axelns enhet}}{x\text{-axelns enhet}}$y-axelns enhetx-axelns enhet  

får derivatan enheten

 $\frac{\text{meter/sekund}}{\text{sekund}}=\frac{\text{meter}}{\text{sekund}}\cdot\frac{1}{\text{sekund}}=\frac{\text{meter}}{\text{sekund}^2}$meter/sekundsekund =metersekund ·1sekund =metersekund2  

vilket man förkortat skriver som m/s$^2$2 .

Retardationen efter $2$2  sekunder är $3,6$3,6m/s $^2$2.

För fler exempel på hur man kan tillämpa och använda derivatan i problemlösning så rekommenderar vi att se videogenomgången och göra övningsuppgifterna till denna lektion.   

Formler och begrepp vid tillämpning av derivatan

Fyra bra kom ihåg när du deriverar potensfunktioner

  1. Du deriverar alltid ett uttryck ”term för term”.

  2. Derivatan av en konstant är alltid lika med noll.

  3. Derivatan av en förstagradsterm är alltid lika med koefficienten.

  4. Skriv om i potensform innan du deriverar, om uttrycket har variabeln i nämnaren eller återfinns under ett rottecken. Följande två potensregler är användbara för detta.

         $\frac{1}{a^n}$1an   $=a^{-n}$=an    som ger att  $\frac{k}{x^n}=$kxn =  $kx^{-n}$kxn 

         $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$na=a1n    som ger att  $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$x=x12  

Polynomen är en av många olika potensfunktioner. Det är samma regel vi använder. 

Deriveringsregeln för potensfunktioner

Enligt deriveringsregeln för potensfunktioner har vi att då

 $f(x)=kx^n$ƒ (x)=kxn  är derivatan  $f'(x)=n\cdot kx^{n-1}$ƒ ’(x)=n·kxn1 

När man jobbar med potensfunktioner som är skriva som en kvot med variabeln i nämnaren eller med ett rottecken underlättar man deriveringen mycket genom att skriva om dem i potensform innan man deriverar.

Fyra bra kom ihåg när du deriverar exponentialfunktioner

  1. Du deriverar alltid ett uttryck ”term för term”.

  2. Derivatan av en konstant är alltid lika med noll.

  3. Du bör veta att $\ln e=1$lne=1 

  4. Du kan alltid skiva om basen till talet $e$e med hjälp av den naturliga logaritmen  $\ln$ln, efter som att $a=e^{\ln a}$a=elna 

  5. Du kan aldrig multiplicera ihop basen med någon annan faktor i termen.

Deriveringsregler exponentialfunktioner

Enligt deriveringsregeln för exponentialfunktioner med basen $a$a har vi att då

 $f(x)=C\cdot a^{kx}$ƒ (x)=C·akx  är derivatan  $f´(x)=C\cdot a^{kx}\cdot k\cdot\ln a$ƒ ´(x)=C·akx·k·lna  

Vi får ett specialfall då  $a=e$a=e eftersom att  $\ln e=1$lne=1 vilket leder till att

  $f(x)=C\cdot e^{kx}$ƒ (x)=C·ekx  är derivatan  $f´(x)=C\cdot e^{kx}\cdot k$ƒ ´(x)=C·ekx·k  

Derivatans definition

$ f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $

Exempel i videon

  • Derivera $ f(x) = 3x^2-2x+5 $.
  • Derivera $ f(x) = \sqrt{x} $.
  • Derivera $ f(x) = 4e^{2x} $.
  • Racerföraren Billy Rocket kör i hög fart förbi en av hans konkurrenter. Hans hastighet i $m/s$ kan i ett intervall beskrivas med funktionen $ v(x)=50+x^2 $ där $x$ är tiden i sekunder. Vad är accelerationen efter $ 10 $ sekunder.
  • Kalle Kanon kastar boll. Funktionen $ f(x)=3x-x^2 $ beskriver bollens höjd efter $x$ sekunder. Är bollen på väg uppåt eller nedåt efter $ 1,6 \, sekunder $?
  • Vi har funktionen $f(x)=x^2+5$. Bestäm tangentens ekvation när $x=1$.

Kommentarer

Björn Hansson

I videon anges att bilen accelererar med 20 meter per sekundkvadrat. Var kommer kvadratdelen ifrån? Borde man inte säga vid just det ögonblicket accelererar bilen med tjugo meter per sekund? Eller är det tänkt att betyda samma sak?

    Simon Rybrand (Moderator)

    De vi använder där är enheten för acceleration där man då skriver m/s^2

Lo Larson

Hej!
På fråga 1, varför byts x-värdet i maximipunkten från 6 till 2?Vi får att då
x=6x=6 har funktionen en extrempunkt.
 
Med hjälp av ett teckenschema kan vi studera om det är en max- eller minpunkt.
 

 
Vi får alltså att rektangelns största area är då x=2x=2.

RedEagle

Hej Simon,

Angående uppgift 2 i testet, borde inte utgångspunkten när vi börjar derivera vara f(x)=x^(-1/2)?

Du börjar derivera med detta som utgångspunkt: 1/2⋅x^(−1/2)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Ja där skriver vi om funktionen enligt
    $f(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x} } = \frac{1}{2x^{1/2}} = \frac{1}{2} \cdot x^{- 1/2}$
    Vi kan inte ta bort en halv innan vi deriverar då vi har en 2:a i nämnaren i funktionen. Hur tänker du att man inte skulle använda den?

Sebastian Gren

Hej. jag får inte några uppgifter att gå ihop. som exempel.
Då en kula släpps på en lutande bana beskrivs dess rörelse av sambandet,
s(t)=^2. Sträckan s(t) anges i m och tiden i s.

vilken medelhastighet har kulen från t=0.3 till t =0,5?
Har försökt med stort sätt alla saker jag kommer på nu men kommer inte i närehetn av svaret 2m/s

Hur går detta till?

Har du genomgångar på liknande problem?

    Sebastian Gren

    sambandet ska vara 2,5^2

      Simon Rybrand (Moderator)

      Hej
      Det verkar fattas något i din funktion som beskriver sträckan, det står bara s(t)=2,5^2, saknas det något (och i så fall vad) i formeln? Tex variabeln t någonstans?
      Annars har du ju en sträcka funktion $ s(t)=2,5^2=6,25 $, dvs sträckan är samma hela tiden.

Janne

Ha ha men jag tror inte en värsta formel 1 bilen accelererar med 20 m/s2 så han har fått tag i en rackarns snabb bil Billyrocket!

MatMar

Hej,

Grym hemsida! Kommer rekommendera!

Jag har problem med följande uppgift:

Bestäm riktningskoefficienten k för tangenten till kurvan y=7e^3x+e där y=7+e.

Tacksam för svar!
/Marcus

    Simon Rybrand (Moderator)

    Du vet y i denna punkt så då behöver vi ta reda på vad x är då $ y = 7+e $. Det gör du genom att lösa ekvationen
    $ 7e^{3x}+e = 7+e ⇔ $
    $ 7e^{3x} = 7 ⇔ $
    $ e^{3x} = 1 ⇔ $
    $ 3x = 0 ⇔ $
    $ x = 0 $

    Derivatan för funktionen är
    $ y´= 21e^{3x} $
    För att ta reda på lutningen sätter du nu in x = 0 i derivatan och får att tangentens lutning är k = 21.

    Säg till om jag har varit otydlig eller om jag har tolkat din uppgift fel på något vis.

Frida Schöldborg

Hej. Kaffe i termos, temp avtar exponentiellt m tiden ( lufttemp 0`C).
Efter 4 tim är temp 76`C och vid samma tidpunkt minskar temp med 4,1`C/ tim. Vilken var temp på kaffet då det hälldes i termosen?
Jag har kört fast på denna..
Tack för mkt bra mattehjälp!
/Frida

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi kan beskriva funktionen som $ y = C⋅a^t $ där
    C – starttemperaturen
    a – förändringsfaktorn
    t – tiden i timmar
    Derivatan av denna funktion (med avseende på tiden) är
    $ y’ = C⋅a^t⋅lna $.
    Efter 4 tim är temp 76 °C ger att
    $ 76 = Ca^4 $
    Derivatan efter 4 timmar är -4,1 °C ger att
    $ -4,1 = Ca^4lna $
    Med hjälp av detta kan du ställa upp ett ekvationssystem och lösa uppgiften. Hjälper detta dig vidare?

      Frida Schöldborg

      Perfekt, tack!
      /Frida

      Frida Schöldborg

      Halloj. Nä, jag får inte fram det. Varför blir det ln4? Kan du skriva den fullständiga lösningen?
      Tack/F

        Simon Rybrand (Moderator)

        Hej, såg att jag skrivit fel där, det skall förstås vara ln a och inte ln 4. Vi har då ekvationssystemet
        $\begin{cases} 76 = Ca^4 \quad (1) \\ −4,1=Ca^4lna \quad (2) \end{cases}$
        insättning av (1) i (2) ger
        $-4,1 = 76⋅lna ⇔$
        $lna= \frac{-4,1}{76} ⇔$
        $a= e^{\frac{-4,1}{76}}$
        Där har du förändringsfaktorn och du kan nu lösa ut C som är startvärdet. Hjälper detta dig vidare?

          Frida Schöldborg

          Haha, jag som kliade mig x antal ggr i huvudet pga ln4!
          Nu fick jag fram rätt svar på denna:)
          Tack för hjälp, och vill också säga att era föreläsningar är super:)
          /Frida

Patrik

Det är från boken matematik 5000, uppgifter i diagnos 2 uppgift 8c. Måste säga att denna boken inte är den mest pedagogiska eller korrekta då jag har stött på många fel..

Patrik

Hur kommer det sig att första termen får ett e i svaret (6e^-1/3+e^x/2)
när man skall derivera y=9x^2/3+2e^x/2 ?

Tack för en bra sida!!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det låter konstigt. Var är det du hittar detta? Är det någonstans i den här lektionen?

Patrik

Hur får man reda eller räknar ut i övning 4 att det blir f(x) = x^2 +3 ?
Från definitionen?

Tack för sodan, mycket bra!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Du får kika på $ f(x+h) $ och $ f(x) $ i derivatans definition och försöka att se det mönster som framkommer där.
    Du har ju $((2 + h)^2 + 3) – (2^2 + 3)$ och vi ser här att 3 är samma i bägge delarna. Däremot så förändras det som upphöjs till 2 och det bör därmed vara x. Så att vi har $ f(x)=x^2+3 $.

Jellycow

Hej!
Bra video som vanligt, men jag blev lite förvirrad över uppgift 4. Om funktionen skulle vara f(x) = X^2 + 3 , Borde inte då derivatans definition bli f'(x) = ( ((2+h)^2 +3) – (2^2 +3) ) / h ? Alltså att f(x+h) upphöjs i två precis som f(x) gör.

// Andreas

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Andreas! Bra att du kommenterade detta, det är korrigerat i uppgiften.

fredrikamoliis

Hej jag har problem med en uppgift som ser ut på följande sätt:

Funktionen y=150 x e^(0.8x) kan skrivas y=150 x a^(x)
a) bestäm talet a med två decimaler

Tacksam över tips på hur man löser detta.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hejsan, funktionerna liknar varandra i det att vi har 150x i bägge, vi kan då söka ett sätt att skriva
    $ a^x $ så att vi ser att det är lika med $ e^{0,8x} $
    Vi kan skriva $ a = e^{lna} $ vilket ger att
    $ a^x = (e^{lna})^x = e^{lna⋅x} $
    vilket ger att lna=0,8 och att $ a = (e^{0,8}) $


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Arean $A$A beskriver arean av en rektangel. Beräkna den största möjliga arena som rektangeln kan anta, då $A=-2x^2+8x$A=2x2+8x .

    Ange svaret med enheten a.e.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Tabellen nedan visar länden $y$y i cm hos ett nyfödd barn den fem första månaderna. 

    Tabell tillväxt längd hos nyfödd

    Bestäm med hjälp av tabellen och en differenskvot, det bästa möjliga närmevärde på tillväxthastigheten $y'(3)$y’(3) cm/månad.

    Träna även på att tolka värdet med några ord, men svara här med differenskvotens värde med enheten cm/månad.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M1
    R
    K

    Ange ekvationen för den tangent som tangerar grafen till funktionen  $f(x)=x-x^2$ƒ (x)=xx2 där  $x=-1$x=1.

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken enhet har tillväxthastigheten $N’\left(t\right)$N(t) om $N\left(t\right)$N(t) beskriver folkmängden i en kommun med avseende på tiden $t$t i år?

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken enhet har $v\left(t\right)$v(t) om $S\left(t\right)$S(t) beskriver sträckan i km en bil färdats med avseende på tiden $t$t i timmar och  $S’\left(t\right)=v\left(t\right)$S(t)=v(t)?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (3/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    plugga-hemma

    Värdet  $K(x)$K(x)  på Fridas aktie har ökat mycket bra de senaste åren. Utvecklingen av värdet kan beskrivas med funktionen  $K(x)=100\text{ }000\cdot e^{0,125x}$K(x)=100 000·e0,125x , där  $K(x)$K(x)  är värdet på kontot efter $x$x år.

    Beräkna  $K´(10)$K´(10) .

    Avrunda till hela kronor och svara med enheten kr/år. Träna även på att tolka ditt svar.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (6)

  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Funktionen  $V(t)=$V(t)= $\frac{500}{2\sqrt{t}}$5002t  beskriver värdet på marknaden för ett par skor $t$t månader efter att man köp dem. Beräkna hur stor värdeförändringen är efter exakt en månad. 

    Träna på att redovisa din beräkning.

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Temperaturen  $T(t)$T(t) °C vid uppvärmningen av din väns bastu kan beskrivas med funktionen  $T(t)=22+6\sqrt{t}$T(t)=22+6t  då  $0\le t\le80$0t80 motsvarar tiden efter att man satt igång uppvärmningen.

    Efter hur många minuter stiger temperaturen i bastun med en halv grad per minut?

    Ange svaret med enheten minuter.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Antalet besökare på en hemsida varierade enligt modellen $N\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+10$N(x)=x36x2+9x+10 i intervallet  $0\le x\le5$0x5  där $N\left(x\right)$N(x) motsvarar antalet tusen personer på sidan $x$x timmar efter kl. $12.00$12.00 på dagen.

    Beräkna $N’\left(2\right)$N(2).

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Antalet besökare på en hemsida varierade enligt modellen $N\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+10$N(x)=x36x2+9x+10 i intervallet  $0\le x\le5$0x5  där $N\left(x\right)$N(x) motsvarar antalet tusen personer på sidan $x$x timmar efter kl. $12.00$12.00 på dagen.

    Vad betyder $N’\left(2\right)$N(2) i detta sammanhang?

    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/2)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R1
    K

    Antalet lämlar  $N(t)$N(t)  i en lämmelkoloni kunde beskrivas med funktionen  $N(t)=3t(t-3)(t-5)+400$N(t)=3t(t3)(t5)+400  då  $0\le t\le8$0t8  motsvarar antal år efter $2008$2008.

    Vilket år ökade kolonin med ca $80$80 lämlar/år?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/2)
    ECA
    B
    P
    PL11
    M
    R1
    K

    Med hjälp av derivatans definition har vi beräknat derivatan i punkten $A$A och fått att

    $\lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{((2+h)^2+3)-(2^2+3)}{h}=4$((2+h)2+3)(22+3)h =4 

    Bestäm tangentens ekvation i punkten  $A$A .

    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 13. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/4)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M1
    R
    K1

    Värdet på en mobiltelefon kan beskrivas med en exponentiellt avtagande funktion. En telefon köptes för $7\text{ }495$7 495 kr när den köptes ny, och säljs sex månader senare för $5\text{ }000$5 000 kronor. 

    Ange efter hur många månader mobilens värde minskar med $400$400 kronor i månaden.

    Svara med en decimals noggrannhet och enheten månader.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar