Problemlösning med Derivata – Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Problemlösning med Derivata

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videogenomgången går vi inte igenom ny teori om derivata, deriveringsregler, tangenter och tillhörande begrepp utan tar några vanliga problemställningar och löser dem. Videon är tänkt att både repetera och fördjupa detta område.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 500+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 3500+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 KR
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
14 votes, average: 4,36 out of 514 votes, average: 4,36 out of 514 votes, average: 4,36 out of 514 votes, average: 4,36 out of 514 votes, average: 4,36 out of 5
14
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
2

Text

Exempel i videon

  • Derivera $ f(x) = 3x^2-2x+5 $.
  • Derivera $ f(x) = \sqrt{x} $.
  • Derivera $ f(x) = 4e^{2x} $.
  • Racerföraren Billy Rocket kör i hög fart förbi en av hans konkurrenter. Hans hastighet i $m/s$ kan i ett intervall beskrivas med funktionen $ v(x)=50+x^2 $ där $x$ är tiden i sekunder. Vad är accelerationen efter $ 10 $ sekunder.
  • Kalle Kanon kastar boll. Funktionen $ f(x)=3x-x^2 $ beskriver bollens höjd efter $x$ sekunder. Är bollen på väg uppåt eller nedåt efter $ 1,6 \, sekunder $?
  • Vi har funktionen $f(x)=x^2+5$. Bestäm tangentens ekvation när $x=1$.

Formler och begrepp som används i video och övningar

Derivatans definition

$ \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $

De tre deriveringsreglerna för polynom:

Derivatan av en konstant är noll. Dvs om $f(x) = 300$ är $f'(x) = 0$.
Om $ f(x) = a \cdot x^k $ är $ f'(x) = k \cdot a \cdot x^{k-1} $.
Du får derivera ”term för term” i ett polynom.

Deriveringsregler exponentialfunktioner

Om funktionen står skriven på formen $ f(x) = a^x $ ges derivatan av:

$ f'(x) = a^x \cdot ln a $

Om funktionen istället står skriven på basen e enligt $ f(x) = ke^{ax} $ så ges derivatan av:

$ f ’(x) = a \cdot k e^{ax} $

Kommentarer

  1. Hej jag har problem med en uppgift som ser ut på följande sätt:

    Funktionen y=150 x e^(0.8x) kan skrivas y=150 x a^(x)
    a) bestäm talet a med två decimaler

    Tacksam över tips på hur man löser detta.

    fredrikamoliis
    1. Hejsan, funktionerna liknar varandra i det att vi har 150x i bägge, vi kan då söka ett sätt att skriva
      $ a^x $ så att vi ser att det är lika med $ e^{0,8x} $
      Vi kan skriva $ a = e^{lna} $ vilket ger att
      $ a^x = (e^{lna})^x = e^{lna⋅x} $
      vilket ger att lna=0,8 och att $ a = (e^{0,8}) $

      Simon Rybrand
  2. Hej!
    Bra video som vanligt, men jag blev lite förvirrad över uppgift 4. Om funktionen skulle vara f(x) = X^2 + 3 , Borde inte då derivatans definition bli f'(x) = ( ((2+h)^2 +3) – (2^2 +3) ) / h ? Alltså att f(x+h) upphöjs i två precis som f(x) gör.

    // Andreas

    Jellycow
    1. Hej Andreas! Bra att du kommenterade detta, det är korrigerat i uppgiften.

      Simon Rybrand
  3. Hur får man reda eller räknar ut i övning 4 att det blir f(x) = x^2 +3 ?
    Från definitionen?

    Tack för sodan, mycket bra!

    Patrik
    1. Du får kika på $ f(x+h) $ och $ f(x) $ i derivatans definition och försöka att se det mönster som framkommer där.
      Du har ju $((2 + h)^2 + 3) – (2^2 + 3)$ och vi ser här att 3 är samma i bägge delarna. Däremot så förändras det som upphöjs till 2 och det bör därmed vara x. Så att vi har $ f(x)=x^2+3 $.

      Simon Rybrand
  4. Hur kommer det sig att första termen får ett e i svaret (6e^-1/3+e^x/2)
    när man skall derivera y=9x^2/3+2e^x/2 ?

    Tack för en bra sida!!

    Patrik
    1. Hej, det låter konstigt. Var är det du hittar detta? Är det någonstans i den här lektionen?

      Simon Rybrand
  5. Det är från boken matematik 5000, uppgifter i diagnos 2 uppgift 8c. Måste säga att denna boken inte är den mest pedagogiska eller korrekta då jag har stött på många fel..

    Patrik
  6. Hej. Kaffe i termos, temp avtar exponentiellt m tiden ( lufttemp 0`C).
    Efter 4 tim är temp 76`C och vid samma tidpunkt minskar temp med 4,1`C/ tim. Vilken var temp på kaffet då det hälldes i termosen?
    Jag har kört fast på denna..
    Tack för mkt bra mattehjälp!
    /Frida

    Frida Schöldborg
    1. Vi kan beskriva funktionen som $ y = C⋅a^t $ där
      C – starttemperaturen
      a – förändringsfaktorn
      t – tiden i timmar
      Derivatan av denna funktion (med avseende på tiden) är
      $ y’ = C⋅a^t⋅lna $.
      Efter 4 tim är temp 76 °C ger att
      $ 76 = Ca^4 $
      Derivatan efter 4 timmar är -4,1 °C ger att
      $ -4,1 = Ca^4lna $
      Med hjälp av detta kan du ställa upp ett ekvationssystem och lösa uppgiften. Hjälper detta dig vidare?

      Simon Rybrand
      1. Perfekt, tack!
        /Frida

        Frida Schöldborg
      2. Halloj. Nä, jag får inte fram det. Varför blir det ln4? Kan du skriva den fullständiga lösningen?
        Tack/F

        Frida Schöldborg
        1. Hej, såg att jag skrivit fel där, det skall förstås vara ln a och inte ln 4. Vi har då ekvationssystemet
          $\begin{cases} 76 = Ca^4 \quad (1) \\ −4,1=Ca^4lna \quad (2) \end{cases}$
          insättning av (1) i (2) ger
          $-4,1 = 76⋅lna ⇔$
          $lna= \frac{-4,1}{76} ⇔$
          $a= e^{\frac{-4,1}{76}}$
          Där har du förändringsfaktorn och du kan nu lösa ut C som är startvärdet. Hjälper detta dig vidare?

          Simon Rybrand
          1. Haha, jag som kliade mig x antal ggr i huvudet pga ln4!
            Nu fick jag fram rätt svar på denna:)
            Tack för hjälp, och vill också säga att era föreläsningar är super:)
            /Frida

            Frida Schöldborg
  7. Hej,

    Grym hemsida! Kommer rekommendera!

    Jag har problem med följande uppgift:

    Bestäm riktningskoefficienten k för tangenten till kurvan y=7e^3x+e där y=7+e.

    Tacksam för svar!
    /Marcus

    MatMar
    1. Du vet y i denna punkt så då behöver vi ta reda på vad x är då $ y = 7+e $. Det gör du genom att lösa ekvationen
      $ 7e^{3x}+e = 7+e ⇔ $
      $ 7e^{3x} = 7 ⇔ $
      $ e^{3x} = 1 ⇔ $
      $ 3x = 0 ⇔ $
      $ x = 0 $

      Derivatan för funktionen är
      $ y´= 21e^{3x} $
      För att ta reda på lutningen sätter du nu in x = 0 i derivatan och får att tangentens lutning är k = 21.

      Säg till om jag har varit otydlig eller om jag har tolkat din uppgift fel på något vis.

      Simon Rybrand
  8. Ha ha men jag tror inte en värsta formel 1 bilen accelererar med 20 m/s2 så han har fått tag i en rackarns snabb bil Billyrocket!

    Janne
  9. Hej. jag får inte några uppgifter att gå ihop. som exempel.
    Då en kula släpps på en lutande bana beskrivs dess rörelse av sambandet,
    s(t)=^2. Sträckan s(t) anges i m och tiden i s.

    vilken medelhastighet har kulen från t=0.3 till t =0,5?
    Har försökt med stort sätt alla saker jag kommer på nu men kommer inte i närehetn av svaret 2m/s

    Hur går detta till?

    Har du genomgångar på liknande problem?

    Sebastian Gren
    1. sambandet ska vara 2,5^2

      Sebastian Gren
      1. Hej
        Det verkar fattas något i din funktion som beskriver sträckan, det står bara s(t)=2,5^2, saknas det något (och i så fall vad) i formeln? Tex variabeln t någonstans?
        Annars har du ju en sträcka funktion $ s(t)=2,5^2=6,25 $, dvs sträckan är samma hela tiden.

        Simon Rybrand
  10. Hej Simon,

    Angående uppgift 2 i testet, borde inte utgångspunkten när vi börjar derivera vara f(x)=x^(-1/2)?

    Du börjar derivera med detta som utgångspunkt: 1/2⋅x^(−1/2)

    RedEagle
    1. Hej
      Ja där skriver vi om funktionen enligt
      $f(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x} } = \frac{1}{2x^{1/2}} = \frac{1}{2} \cdot x^{- 1/2}$
      Vi kan inte ta bort en halv innan vi deriverar då vi har en 2:a i nämnaren i funktionen. Hur tänker du att man inte skulle använda den?

      Simon Rybrand
  11. Hej!
    På fråga 1, varför byts x-värdet i maximipunkten från 6 till 2?Vi får att då
    x=6x=6 har funktionen en extrempunkt.
     
    Med hjälp av ett teckenschema kan vi studera om det är en max- eller minpunkt.
     

     
    Vi får alltså att rektangelns största area är då x=2x=2.

    Lo Larson

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: