Problemlösning med Derivata - (Matte 3) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Problemlösning med Derivata

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videogenomgången går vi inte igenom ny teori om derivata, deriveringsregler, tangenter och tillhörande begrepp utan tar några vanliga problemställningar och löser dem. Videon är tänkt att både repetera och fördjupa detta område.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
20 votes, average: 4,55 out of 520 votes, average: 4,55 out of 520 votes, average: 4,55 out of 520 votes, average: 4,55 out of 520 votes, average: 4,55 out of 5
20
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

13
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
MEDELPOÄNG
ALLA
2

Text

Max och minproblem

När vi tillämpar derivatan handlar ofta uppgifterna om att hitta ett största eller minsta värde som den givna matematiska modellen kan anta.  Då vi vet att största och minsta värdet återfinns i extrempunkterna eller i intervallets gränser, kan vi använda detta för att hitta funktionens största och minsta värden.

Max och min problem med derivatan

Vi vet att derivatan alltid är lika med noll i extrempunkterna. Om vi sätter derivatan lika med noll och löser ekvationen får vi på så sätt fram de värden på  $x$x  som ger det största eller minsta värdet som finns i de lokala extrempunkterna. Kollar vi även ändpunkternas funktionsvärde kan vi på så sätt bestämma det största och/eller minsta funktionsvärdet.

Vilken enhet har derivatan?

Derivatan definieras som gränsvärdet till en ändringskvot. En ändringskvoten i sin tur definieras som $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}$yx . Utifrån denna kunskap kan vi dra slutsatsen att derivatans enhet vid tillämpning, alltid kommer att motsvara $y$y -axelns enhet delat med $x$x -axelns enhet. 

 $\text{Derivatans enhet}=$Derivatans enhet=  $\frac{y\text{-axelns enhet}}{x\text{-axelns enhet}}$y-axelns enhetx-axelns enhet  

Så ett tips är att ställa upp en kvot av enheterna och förenkla, om du känner dig osäker på vilken enhet derivatan ska ha.

Exempel 1

Kostnaden $K\left(t\right)$K(t) kr för att hyra en eldriven scooter kan beskrivas med modell $K\left(t\right)=1,50t+10$K(t)=1,50t+10 med avseende på tiden $t$t i minuter.

Vilken är den rörliga kostnaden per minut?

Lösning:

Derivatan motsvarar förändringen av kostnaden. Vi deriverar funktionen och får att

 $K\left(t\right)=1,50t+10$K(t)=1,50t+10   ⇒    $K’\left(t\right)=1,50$K(t)=1,50 

Då  $\text{Derivatans enhet}=$Derivatans enhet=  $\frac{y\text{-axelns enhet}}{x\text{-axelns enhet}}$y-axelns enhetx-axelns enhet   får vi enheten $\frac{\text{kronor}}{\text{minut}}$kronorminut 

och svaret blir att den rörliga minutkostnaden är $1,50$1,50 kr/minut. 

Exempel 2

En bil blir tvungen att tvärbromsa. Bilens hastighet under inbromsningen kan beskrivas med funktionen  $v\left(t\right)=35-1,8s^2$v(t)=351,8s2 m/s.

Vilken är retardationen, alltså inbromsningshastigheten, efter $2$2 sekunder?

Lösning:

Derivatan motsvarar förändringen av hastigheten vilket i detta fall motsvarar retardationen, eller även kallad inbromsningshastigheten. Vi deriverar funktionen och får att

 $v\left(t\right)=35-1,8t^2$v(t)=351,8t2   ⇒    $v’\left(t\right)=-1,8s$v(t)=1,8s 

Vi får då att 

  $v’\left(2\right)=-1,8\cdot2=-3,6$v(2)=1,8·2=3,6

Att värdet är negativt anger att hastigheten minskar/avtar. När vi svarar anger vi värdet $3,6$3,6. Negationen finns i ordet retardation, som motsats till accelereration som anger en hastighets ökning.

Då  $\text{Derivatans enhet}=$Derivatans enhet= $\frac{y\text{-axelns enhet}}{x\text{-axelns enhet}}$y-axelns enhetx-axelns enhet  

får derivatan enheten

 $\frac{\text{meter/sekund}}{\text{sekund}}=\frac{\text{meter}}{\text{sekund}}\cdot\frac{1}{\text{sekund}}=\frac{\text{meter}}{\text{sekund}^2}$meter/sekundsekund =metersekund ·1sekund =metersekund2  

vilket man förkortat skriver som m/s$^2$2 .

Retardationen efter $2$2  sekunder är $3,6$3,6m/s $^2$2.

För fler exempel på hur man kan tillämpa och använda derivatan i problemlösning så rekommenderar vi att se videogenomgången och göra övningsuppgifterna till denna lektion.   

Formler och begrepp vid tillämpning av derivatan

Fyra bra kom ihåg när du deriverar potensfunktioner

  1. Du deriverar alltid ett uttryck ”term för term”.

  2. Derivatan av en konstant är alltid lika med noll.

  3. Derivatan av en förstagradsterm är alltid lika med koefficienten.

  4. Skriv om i potensform innan du deriverar, om uttrycket har variabeln i nämnaren eller återfinns under ett rottecken. Följande två potensregler är användbara för detta.

         $\frac{1}{a^n}$1an   $=a^{-n}$=an    som ger att  $\frac{k}{x^n}=$kxn =  $kx^{-n}$kxn 

         $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$na=a1n    som ger att  $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$x=x12  

Polynomen är en av många olika potensfunktioner. Det är samma regel vi använder. 

Deriveringsregeln för potensfunktioner

Enligt deriveringsregeln för potensfunktioner har vi att då

 $f(x)=kx^n$ƒ (x)=kxn  är derivatan  $f'(x)=n\cdot kx^{n-1}$ƒ ’(x)=n·kxn1 

När man jobbar med potensfunktioner som är skriva som en kvot med variabeln i nämnaren eller med ett rottecken underlättar man deriveringen mycket genom att skriva om dem i potensform innan man deriverar.

Fyra bra kom ihåg när du deriverar exponentialfunktioner

  1. Du deriverar alltid ett uttryck ”term för term”.

  2. Derivatan av en konstant är alltid lika med noll.

  3. Du bör veta att $\ln e=1$lne=1 

  4. Du kan alltid skiva om basen till talet $e$e med hjälp av den naturliga logaritmen  $\ln$ln, efter som att $a=e^{\ln a}$a=elna 

  5. Du kan aldrig multiplicera ihop basen med någon annan faktor i termen.

Deriveringsregler exponentialfunktioner

Enligt deriveringsregeln för exponentialfunktioner med basen $a$a har vi att då

 $f(x)=C\cdot a^{kx}$ƒ (x)=C·akx  är derivatan  $f´(x)=C\cdot a^{kx}\cdot k\cdot\ln a$ƒ ´(x)=C·akx·k·lna  

Vi får ett specialfall då  $a=e$a=e eftersom att  $\ln e=1$lne=1 vilket leder till att

  $f(x)=C\cdot e^{kx}$ƒ (x)=C·ekx  är derivatan  $f´(x)=C\cdot e^{kx}\cdot k$ƒ ´(x)=C·ekx·k  

Derivatans definition

$ f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $

Exempel i videon

  • Derivera $ f(x) = 3x^2-2x+5 $.
  • Derivera $ f(x) = \sqrt{x} $.
  • Derivera $ f(x) = 4e^{2x} $.
  • Racerföraren Billy Rocket kör i hög fart förbi en av hans konkurrenter. Hans hastighet i $m/s$ kan i ett intervall beskrivas med funktionen $ v(x)=50+x^2 $ där $x$ är tiden i sekunder. Vad är accelerationen efter $ 10 $ sekunder.
  • Kalle Kanon kastar boll. Funktionen $ f(x)=3x-x^2 $ beskriver bollens höjd efter $x$ sekunder. Är bollen på väg uppåt eller nedåt efter $ 1,6 \, sekunder $?
  • Vi har funktionen $f(x)=x^2+5$. Bestäm tangentens ekvation när $x=1$.

Kommentarer

  1. I videon anges att bilen accelererar med 20 meter per sekundkvadrat. Var kommer kvadratdelen ifrån? Borde man inte säga vid just det ögonblicket accelererar bilen med tjugo meter per sekund? Eller är det tänkt att betyda samma sak?

    Björn Hansson
    1. De vi använder där är enheten för acceleration där man då skriver m/s^2

      Simon Rybrand
  2. Hej!
    På fråga 1, varför byts x-värdet i maximipunkten från 6 till 2?Vi får att då
    x=6x=6 har funktionen en extrempunkt.
     
    Med hjälp av ett teckenschema kan vi studera om det är en max- eller minpunkt.
     

     
    Vi får alltså att rektangelns största area är då x=2x=2.

    Lo Larson
  3. Hej Simon,

    Angående uppgift 2 i testet, borde inte utgångspunkten när vi börjar derivera vara f(x)=x^(-1/2)?

    Du börjar derivera med detta som utgångspunkt: 1/2⋅x^(−1/2)

    RedEagle
    1. Hej
      Ja där skriver vi om funktionen enligt
      $f(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x} } = \frac{1}{2x^{1/2}} = \frac{1}{2} \cdot x^{- 1/2}$
      Vi kan inte ta bort en halv innan vi deriverar då vi har en 2:a i nämnaren i funktionen. Hur tänker du att man inte skulle använda den?

      Simon Rybrand
  4. Hej. jag får inte några uppgifter att gå ihop. som exempel.
    Då en kula släpps på en lutande bana beskrivs dess rörelse av sambandet,
    s(t)=^2. Sträckan s(t) anges i m och tiden i s.

    vilken medelhastighet har kulen från t=0.3 till t =0,5?
    Har försökt med stort sätt alla saker jag kommer på nu men kommer inte i närehetn av svaret 2m/s

    Hur går detta till?

    Har du genomgångar på liknande problem?

    Sebastian Gren
    1. sambandet ska vara 2,5^2

      Sebastian Gren
      1. Hej
        Det verkar fattas något i din funktion som beskriver sträckan, det står bara s(t)=2,5^2, saknas det något (och i så fall vad) i formeln? Tex variabeln t någonstans?
        Annars har du ju en sträcka funktion $ s(t)=2,5^2=6,25 $, dvs sträckan är samma hela tiden.

        Simon Rybrand
  5. Ha ha men jag tror inte en värsta formel 1 bilen accelererar med 20 m/s2 så han har fått tag i en rackarns snabb bil Billyrocket!

    Janne
  6. Hej,

    Grym hemsida! Kommer rekommendera!

    Jag har problem med följande uppgift:

    Bestäm riktningskoefficienten k för tangenten till kurvan y=7e^3x+e där y=7+e.

    Tacksam för svar!
    /Marcus

    MatMar
    1. Du vet y i denna punkt så då behöver vi ta reda på vad x är då $ y = 7+e $. Det gör du genom att lösa ekvationen
      $ 7e^{3x}+e = 7+e ⇔ $
      $ 7e^{3x} = 7 ⇔ $
      $ e^{3x} = 1 ⇔ $
      $ 3x = 0 ⇔ $
      $ x = 0 $

      Derivatan för funktionen är
      $ y´= 21e^{3x} $
      För att ta reda på lutningen sätter du nu in x = 0 i derivatan och får att tangentens lutning är k = 21.

      Säg till om jag har varit otydlig eller om jag har tolkat din uppgift fel på något vis.

      Simon Rybrand
  7. Hej. Kaffe i termos, temp avtar exponentiellt m tiden ( lufttemp 0`C).
    Efter 4 tim är temp 76`C och vid samma tidpunkt minskar temp med 4,1`C/ tim. Vilken var temp på kaffet då det hälldes i termosen?
    Jag har kört fast på denna..
    Tack för mkt bra mattehjälp!
    /Frida

    Frida Schöldborg
    1. Vi kan beskriva funktionen som $ y = C⋅a^t $ där
      C – starttemperaturen
      a – förändringsfaktorn
      t – tiden i timmar
      Derivatan av denna funktion (med avseende på tiden) är
      $ y’ = C⋅a^t⋅lna $.
      Efter 4 tim är temp 76 °C ger att
      $ 76 = Ca^4 $
      Derivatan efter 4 timmar är -4,1 °C ger att
      $ -4,1 = Ca^4lna $
      Med hjälp av detta kan du ställa upp ett ekvationssystem och lösa uppgiften. Hjälper detta dig vidare?

      Simon Rybrand
      1. Perfekt, tack!
        /Frida

        Frida Schöldborg
      2. Halloj. Nä, jag får inte fram det. Varför blir det ln4? Kan du skriva den fullständiga lösningen?
        Tack/F

        Frida Schöldborg
        1. Hej, såg att jag skrivit fel där, det skall förstås vara ln a och inte ln 4. Vi har då ekvationssystemet
          $\begin{cases} 76 = Ca^4 \quad (1) \\ −4,1=Ca^4lna \quad (2) \end{cases}$
          insättning av (1) i (2) ger
          $-4,1 = 76⋅lna ⇔$
          $lna= \frac{-4,1}{76} ⇔$
          $a= e^{\frac{-4,1}{76}}$
          Där har du förändringsfaktorn och du kan nu lösa ut C som är startvärdet. Hjälper detta dig vidare?

          Simon Rybrand
          1. Haha, jag som kliade mig x antal ggr i huvudet pga ln4!
            Nu fick jag fram rätt svar på denna:)
            Tack för hjälp, och vill också säga att era föreläsningar är super:)
            /Frida

            Frida Schöldborg
  8. Det är från boken matematik 5000, uppgifter i diagnos 2 uppgift 8c. Måste säga att denna boken inte är den mest pedagogiska eller korrekta då jag har stött på många fel..

    Patrik
  9. Hur kommer det sig att första termen får ett e i svaret (6e^-1/3+e^x/2)
    när man skall derivera y=9x^2/3+2e^x/2 ?

    Tack för en bra sida!!

    Patrik
    1. Hej, det låter konstigt. Var är det du hittar detta? Är det någonstans i den här lektionen?

      Simon Rybrand
  10. Hur får man reda eller räknar ut i övning 4 att det blir f(x) = x^2 +3 ?
    Från definitionen?

    Tack för sodan, mycket bra!

    Patrik
    1. Du får kika på $ f(x+h) $ och $ f(x) $ i derivatans definition och försöka att se det mönster som framkommer där.
      Du har ju $((2 + h)^2 + 3) – (2^2 + 3)$ och vi ser här att 3 är samma i bägge delarna. Däremot så förändras det som upphöjs till 2 och det bör därmed vara x. Så att vi har $ f(x)=x^2+3 $.

      Simon Rybrand
  11. Hej!
    Bra video som vanligt, men jag blev lite förvirrad över uppgift 4. Om funktionen skulle vara f(x) = X^2 + 3 , Borde inte då derivatans definition bli f'(x) = ( ((2+h)^2 +3) – (2^2 +3) ) / h ? Alltså att f(x+h) upphöjs i två precis som f(x) gör.

    // Andreas

    Jellycow
    1. Hej Andreas! Bra att du kommenterade detta, det är korrigerat i uppgiften.

      Simon Rybrand
  12. Hej jag har problem med en uppgift som ser ut på följande sätt:

    Funktionen y=150 x e^(0.8x) kan skrivas y=150 x a^(x)
    a) bestäm talet a med två decimaler

    Tacksam över tips på hur man löser detta.

    fredrikamoliis
    1. Hejsan, funktionerna liknar varandra i det att vi har 150x i bägge, vi kan då söka ett sätt att skriva
      $ a^x $ så att vi ser att det är lika med $ e^{0,8x} $
      Vi kan skriva $ a = e^{lna} $ vilket ger att
      $ a^x = (e^{lna})^x = e^{lna⋅x} $
      vilket ger att lna=0,8 och att $ a = (e^{0,8}) $

      Simon Rybrand

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: