...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Problemlösning med Derivata och kurvor

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Vid tillämpning av derivatan handlar ofta uppgifterna om att hitta ett största eller minsta värde som den givna matematiska modellen kan anta.  Vi vet att största och minsta värdet återfinns i extrempunkterna eller i intervallets gränser.

Vi har i lektionen Problemlösning med derivatan redan gett en hel det tips att tänka på vid problemlösning och tillämpning av derivatan. Men i denna lektion vill vi sammanfatta det vi adderat i detta kapitel. 

Tre olika sätt att bestämma extrempunktens karaktär

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

För att få full poäng vid tillämpning och problemlösning måste du oftast motivera och argumentera för ditt svar. När det gäller derivatan måste du tänka på att verifiera extrempunktens karaktär. Alltså motivera om din extrempunkt är en max-, min- eller terasspunkt. Detta kan du göra på olika sätt. Antingen gör du en teckentabell, använder andraderivatan eller argumenterar för funktionens utseende.

Teckentabell och extrempunktens karaktär

Med hjälp av teckentabellen kan du avgöra karaktären på extrempunkten. Här har vi ett exempel på en teckentabell. Teckentabell

Det är ganska tidskrävande men ger en tydlig bild av grafens utseende. Detta sätt är mycket användbart då du ska skissa en graf. Vill du bara veta om det är en max eller min punkt du  fått fram nära du satt derivatan lika med noll är detta sätt onödigt tidskrävande. 

För att repetera hur du konstruerar en teckentabell så återvänd till lektionen Nollställen och teckentabeller.

Andraderivatan och extrempunktens karaktär

Andra derivatan är ett snabbt sätt att avgöra karaktären på extrempunkten.

Andraderivatan och extrempunkter

Om andraderivatan är lika med noll i extrempunkten måste karaktären avgöras på ett annat sätt, tex med en teckentabell.

Grafen och extrempunktens karaktär

Genom att resonera kring grafens utseende kan man ange extrempunktens karaktär. Här kommer en kort överblick av några polynomfunktioners utseende.
Polynomfunktioners graf

Rimlighet och överslagsräkning

Tänk på att alltid kontrollera att ditt svar är rimligt, svarar på det som efterfrågas och har korrekt enhet. Ett tips är att göra till en vana att alltid uppskatta vad du tror att svaret skulle kunna vara, alltid skriva ett tydligt svar längst ner efter din uträkning och stämma av detta med uppgiftens fråga innan du går vidare till nästa uppgift.

Genom att studera enheterna i uppgiften och vad som efterfrågas i svaret kan du ibland får en ledning i hur uppgiften ska lösas.

Exempel i videon

  • Katten Sickan älskar att hoppa efter en tygråtta. Hennes höjd kan beskrivas med funktionen $f(x)=4x-4x^2$ där $x$ är tiden i sekunder. Hur högt hoppar hon?
  • Eva vill designa ett morotsland med mått/samband enligt figuren (se video). Vad skall $x$ vara så att arean blir så stor som möjligt?
  • Företaget specialcans.com skall designa en cylinderformad burk med förhållandet enligt figuren (se video). Bestäm radie och höjd för att få maximal volym.

Kommentarer

Signe

Hej, i uppgift 7 står det att 20,4m/s blir 340 km/h, stämmer det verkligen? Blir det inte 20,4*3,6=73,6km/h?

David Höglund

På uppgift 7 står det att 20,4 m/s är 340km/h men 20,4*3,6 är 73,44 km/h

e-lijne

Hej
Jag har en uppgift där jag skall konstruera en ”ny” låda med begränsningsarean 6400cm^2 där man skall få ut största möjliga volym.. Jag vet inte hur det skall gå till? Utgångläget är ett rätblock med 50x30x20 i måtten.. Tacksam för hjälp

    Simon Rybrand (Moderator)

    Du skriver att du har ett utgångsläge, får dessa mått inte ändras? Annars blir det ju svårt att optimera måtten.

Anna Nyback

Hejsan,skulle behöva hjälp med denna uppgift:
En boll kastas uppåt och dess höjd h meter efter t sekunder kan beskrivas med funktionen
h(t)=-5t^2+20t +8
Vilken hastighet har bollen när den träffar marken?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Derivatan av sträckan (höjden) ger dig hastigheten. Dvs derivera funktionen och och sätt in det t-värde där bollen träffar marken. Du hittar t-värdet genom att ta reda på där grafen skär x-axeln.

    Anna Nyback

    Tack, nu fattar jag!

Tom Jörlen

Hej!
Jag skulle behöva hjälp med följande fråga:

Beräkna det kortaste vertikala avståndet a mellan kurvan
f(x)=1,2e^x-0,2 och linjen g(x)=x-1 från figuren nedan. Svara exakt.

tack!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Om vi tänker oss att vi flyttar linjen $ g(x)=x-1 $ uppåt så kommer linjen tills slut att tangera $ f(x) $. Vi kan därför använda oss av den linje som tangerar $ f(x) $ med lutningen 1, dvs samma lutning som g(x).
    Först söks därför när $ f´(x) = 1 $.
    $ f´(x) = 1,2e^x $
    $ 1,2e^x = 1 ⇔ $
    $ e^x = \frac{5}{6} ⇔ $
    $ x = ln(\frac{5}{6}) ≈ -0,182 $
    Vid detta x-värde gäller att $ y = f(-0,182) = $ $ 1,2e^{-0,182}-0,2 ≈ 0,8 $
    Tangenten kommer därför att tangera i punkten $ (-0,182; 0,8) $.
    Kvarstår gör nu att bestämma tangentens m-värde vilket ges av
    $ m = 0,8-(-0,182) = 0,982 $
    Tangenten skär alltså y axeln i $0,982$ och $g(x)$ skär y-axeln i $-1$. Linjen har alltså flyttats lodrät uppåt $ 1+0,982 = 1,982 $ steg.
    Avståndet bör vara (ungefärligt) 1,982.
    Stämmer det med det du söker?

nti_ma3

Hej!
Skulle behöva lite hjälp med en uppgift..
”En öppen cylinderformad burk ska ha volymen 125 cm3.
Vilka dimensioner ska burken ha för att materialåtgången ska bi så liten som möjligt?”

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, du behöver här ställa upp och optimera en funktion som beskriver arean för burken då volymen är 125 cm³. Från det vi vet om volymen så kan du ställa upp sambandet:
    $ \pi r^2 h = 125 ⇔ $
    $ h = \frac{125}{\pi r^2} $

    Arean för en cylinder kan beskrivas av funktionen:
    $ M(r) = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h $
    I denna kan du byta ut h mot det vi tog fram ovan och sedan optimera med hjälp av derivata. Hoppas att detta hjälper dig framåt!

      nti_ma3

      Såklart…tack! 🙂

carlitav

Hejsan! Jag har en uppgift som jag inte kan lösa. Skulle du snälla kunna hjälpa mig med denna? Skulle verkligen uppskatta ett svar så snart så möjligt 🙂 Tack på förhand!
En plåtskiva har formen av en rektangel med sidorna 10 cm och 15 cm. Genom att klippa bort lika stora kvadrater i varje hörn och sedan vika plåtskivan kan man tillverka en öppen låda. Hur stor skall sidan i varje kvadrat vara för att lådan skall bli så stor som möjligt, och hur stor blir då volymen?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, gör så att du sätter längden på sidan på den bortklippta kvadraten för x. Då kommer höjden på din låda att vara x.
    Sedan får du måtten (10 – x) och (15 – x) på bredd och djup på lådan då det försvinner just längden x från dessa sidor.
    Sedan kan du ställa upp en volymformel och maximera denna med derivata:
    $ V(x) = x(10-x)(15-x) $
    Hoppas att detta hjälper dig på vägen!

nti_ma3

hej,
hur gör man om derivatans nollställe är utanför definationsmängden t. ex. En klotformad behållare med diametern 20 dc som håller på att fyllas med vatten. Vid en betämd påfyllningshastighet gäller att den tid f(x) minuter, som det tar att fylla behållaren till vattenhöjden x decimeter, ges av sambandet f(x) =-x^3 + 30x^2
bestäm det största värde som derivatan kan anta.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, om du skall bestämma det största värdet för derivatan så behöver det inte vara samma sak som derivatans nollställe. Dvs här kan du först derivera funktionen och undersöka det största värdet för derivatan.

      nti_ma3

      Kan du vänligen visa hur man undersöker det största värdet för derivatan?

        Simon Rybrand (Moderator)

        Hej, du hittar en video om detta här

nti_ma3

Hej! Jag har stött på en uppgift i min mattebok som jag inte löser. En bonde ska bygga två rektangulära hagar med en gemensam sida. Han har 600m stängsel till sitt förfogande. Hur tar jag reda på hagarnas maximala totalarea?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, börja med att kalla den gemensamma sidan för x, då vet vi att en sida i de bägge rektanglarna som tillsammans skapar en stor rektangel. Eftersom det är två hagar med en gemensam sida så kommer det att ”försvinna” 3x från de 600 metrarna stängsel. Därför kommer de övriga två sidorna i den stora rektangeln att vara 600 – 3x och en av dessa $\frac{600-3x}{2}$

    Då kan du ställa upp areafunktionen:
    $A(x)=x \cdot \frac{600-3x}{2}$

Carina Mattsson

I uppgift 3 kanske det hade varit bra att med någon metod visa att x-värdet verkligen ger största volymen och inte minsta. Kan tyckas självklart, men jag tror att man måste visa det.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Carina, Det man kan göra är att undersöka derivatan innan och efter ens funna extremvärde. Vi kan lägga till det i redovisningen av uppgiften. Det brukar vara rekommenderat att göra detta så jag håller med dig.

Gunilla Jacobsson

I figuren för uppgift 2 står det att basen är h-20. Detta borde vara 20-h då det annars ger en andragradsekvation med en positiv x^2-term och därmed har den en minimipunkt istället för maximipunkt vilket efterfrågas.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Gunilla, tack för att du uppmärksammade oss på detta, vi ordnar bilden på momangen.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    kanon-01
    En kanon avlossar ett skott och kanonkulans höjd $h(t)$ meter beskrivs av $ h(t) = 2 + 50t – 0,2t^2 $ där $t$ är tiden i sekunder efter avlossningen. Vilken är kulans högsta höjd?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Din vän vill bygga en fyrkantig sandlåda där det är tänkt använda tegelstenar som kant runt omkring. Din vän har stenar så att det räcker till en omkrets på $8$ meter. Hur lång ska kortsidan vara för att sandlådan ska få den största möjliga arean?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Använd derivata och ta reda på vilken som är den maximala arean för triangeln i figuren. 
    liksidigtriangel_10h-05h2-01

    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (3/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R1
    K

    Kostnaden på tillverkningen av en produkt kan beskrivas med funktionen $K(n) = 8n^2-88n+224$ där $n$ är antalet enheter som tillverkats. Hur många enheter ska man tillverka för att ha så låg tillverkningskostnad som möjligt?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/4/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M1
    R
    K1

    sydfranskt-landskap-klippt

    Sid ska hägna in en del av sin mark för att kunna låta sina hästar gå och beta. Hon planerar att dela in marken i tre lika stora rektangulära hagar som ligger i fil, alltså bredvid varandra. Till förfogande har hon $280$ meter stängsel. Hur stor är den största möjliga arean på varje hage, då de ska vara lika stora?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/1)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R1
    K

    rymdskepp-fran-manen_uppat-01
    En besättningsfri raket håller på att tillverkas och du ska beräkna om inställningarna på raketen är tillräckligt bra för att klara av uppskjutningen, som pågår under fem kritiska sekunder. Höjden över marken kan beskrivas med funktionen $h(t)=3,9^{\frac {t}{2}}-1$ meter efter $t$ sekunder, under de fem första sekunderna av uppskjutningen, enligt de inställningar som råder i dag.

    Efter de fem sekunderna fortsätter raketen i samma hastighet som den då kommit upp till. Raketens hastighet $v(t)$ bör vara inom intervallet $300< v(t) <400$ km/h då uppskjutningen är avklarad, alltså efter de fem första sekunderna, för att undvika att den blir överhettad och exploderar. Vilket råd ger du dina chefer efter din beräkning?

    Träna på att motivera ditt svara med hjälp av matematiska beräkningar på ett papper.

    Rättar...

a-uppgifter (2)

  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/4)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M1
    R
    K1

    En rektangel har sitt vänstra övre hörn på kurvan $ f(x) = 2 \sqrt{x} $ där $x > 0$ och det andra övre hörnet på linjen $x = 4$. Rektangelns båda de nedre hörnen ligger på x – axeln. Bestäm det största möjliga värdet på arean $A_R(x)$ för rektangeln i figuren. 

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/4)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M1
    R
    K1

    konservburk-01
    Ett företag tillverkar  cylinderformade konservburkar. Vilken radie ska en konservburk med volymen $20π$ $cm^3$ anta, för att varje konservburk ska ha så minimal materialåtgång som möjligt?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.