Problemlösning med Derivata och kurvor - (Matte 3) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Problemlösning med Derivata och kurvor

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videon går vi igenom några problem där vi använder derivata och förståelse för denna för att lösa problemställningarna. I den här genomgången går vi inte igenom ny teori utan repeterar och fördjupar kunskaperna från tidigare videogenomgångar.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
15 votes, average: 4,20 out of 515 votes, average: 4,20 out of 515 votes, average: 4,20 out of 515 votes, average: 4,20 out of 515 votes, average: 4,20 out of 5
15
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
2

Text

Vid tillämpning av derivatan handlar ofta uppgifterna om att hitta ett största eller minsta värde som den givna matematiska modellen kan anta.  Vi vet att största och minsta värdet återfinns i extrempunkterna eller i intervallets gränser.

Vi har i lektionen Problemlösning med derivatan redan gett en hel det tips att tänka på vid problemlösning och tillämpning av derivatan. Men i denna lektion vill vi sammanfatta det vi adderat i detta kapitel. 

Tre olika sätt att bestämma extrempunktens karaktär

För att få full poäng vid tillämpning och problemlösning måste du oftast motivera och argumentera för ditt svar. När det gäller derivatan måste du tänka på att verifiera extrempunktens karaktär. Alltså motivera om din extrempunkt är en max-, min- eller terasspunkt. Detta kan du göra på olika sätt. Antingen gör du en teckentabell, använder andraderivatan eller argumenterar för funktionens utseende.

Teckentabell och extrempunktens karaktär

Med hjälp av teckentabellen kan du avgöra karaktären på extrempunkten. Här har vi ett exempel på en teckentabell. Teckentabell

Det är ganska tidskrävande men ger en tydlig bild av grafens utseende. Detta sätt är mycket användbart då du ska skissa en graf. Vill du bara veta om det är en max eller min punkt du  fått fram nära du satt derivatan lika med noll är detta sätt onödigt tidskrävande. 

För att repetera hur du konstruerar en teckentabell så återvänd till lektionen Nollställen och teckentabeller.

Andraderivatan och extrempunktens karaktär

Andra derivatan är ett snabbt sätt att avgöra karaktären på extrempunkten.

Andraderivatan och extrempunkter

Om andraderivatan är lika med noll i extrempunkten måste karaktären avgöras på ett annat sätt, tex med en teckentabell.

Grafen och extrempunktens karaktär

Genom att resonera kring grafens utseende kan man ange extrempunktens karaktär. Här kommer en kort överblick av några polynomfunktioners utseende.
Polynomfunktioners graf

Rimlighet och överslagsräkning

Tänk på att alltid kontrollera att ditt svar är rimligt, svarar på det som efterfrågas och har korrekt enhet. Ett tips är att göra till en vana att alltid uppskatta vad du tror att svaret skulle kunna vara, alltid skriva ett tydligt svar längst ner efter din uträkning och stämma av detta med uppgiftens fråga innan du går vidare till nästa uppgift.

Genom att studera enheterna i uppgiften och vad som efterfrågas i svaret kan du ibland får en ledning i hur uppgiften ska lösas.

Exempel i videon

  • Katten Sickan älskar att hoppa efter en tygråtta. Hennes höjd kan beskrivas med funktionen $f(x)=4x-4x^2$ där $x$ är tiden i sekunder. Hur högt hoppar hon?
  • Eva vill designa ett morotsland med mått/samband enligt figuren (se video). Vad skall $x$ vara så att arean blir så stor som möjligt?
  • Företaget specialcans.com skall designa en cylinderformad burk med förhållandet enligt figuren (se video). Bestäm radie och höjd för att få maximal volym.

Kommentarer

  1. Hej, i uppgift 7 står det att 20,4m/s blir 340 km/h, stämmer det verkligen? Blir det inte 20,4*3,6=73,6km/h?

    Signe
  2. På uppgift 7 står det att 20,4 m/s är 340km/h men 20,4*3,6 är 73,44 km/h

    David Höglund
  3. Hej
    Jag har en uppgift där jag skall konstruera en ”ny” låda med begränsningsarean 6400cm^2 där man skall få ut största möjliga volym.. Jag vet inte hur det skall gå till? Utgångläget är ett rätblock med 50x30x20 i måtten.. Tacksam för hjälp

    e-lijne
    1. Du skriver att du har ett utgångsläge, får dessa mått inte ändras? Annars blir det ju svårt att optimera måtten.

      Simon Rybrand
  4. Hejsan,skulle behöva hjälp med denna uppgift:
    En boll kastas uppåt och dess höjd h meter efter t sekunder kan beskrivas med funktionen
    h(t)=-5t^2+20t +8
    Vilken hastighet har bollen när den träffar marken?

    Anna Nyback
    1. Hej
      Derivatan av sträckan (höjden) ger dig hastigheten. Dvs derivera funktionen och och sätt in det t-värde där bollen träffar marken. Du hittar t-värdet genom att ta reda på där grafen skär x-axeln.

      Simon Rybrand
    2. Tack, nu fattar jag!

      Anna Nyback
  5. Skulle väldigt gärna vilja få lite hjälp med följande fråga:

    Cylinderformade burkar med volymen V v.e ska tillverkas. Till röret används ett tjockare material som kostar A kr/a.e och till botten- och toppskivan används ett material som kostar B kr/a.e. Vilket är förhållandet mellan burkens radie och höjd om man vill minimera materialkostnaden och A=2B?

    Uppgiften finns med bland problemlösning med derivata/andraderivata så sannolikt det man ska använda sig av.
    Tack på förhand!

    Elna Cornelia Karlsson
    1. Hej! Diskuterar gärna denna uppgift med dig men då det krävs lite utrymmer för förklaring och diskussion så vore det bra om du postade den i vårt forum, du hittar vårt forum här. Posta den där så tar vi diskussionen där!

      Simon Rybrand
  6. Hej!
    Jag skulle behöva hjälp med följande fråga:

    Beräkna det kortaste vertikala avståndet a mellan kurvan
    f(x)=1,2e^x-0,2 och linjen g(x)=x-1 från figuren nedan. Svara exakt.

    tack!

    Tom Jörlen
    1. Om vi tänker oss att vi flyttar linjen $ g(x)=x-1 $ uppåt så kommer linjen tills slut att tangera $ f(x) $. Vi kan därför använda oss av den linje som tangerar $ f(x) $ med lutningen 1, dvs samma lutning som g(x).
      Först söks därför när $ f´(x) = 1 $.
      $ f´(x) = 1,2e^x $
      $ 1,2e^x = 1 ⇔ $
      $ e^x = \frac{5}{6} ⇔ $
      $ x = ln(\frac{5}{6}) ≈ -0,182 $
      Vid detta x-värde gäller att $ y = f(-0,182) = $ $ 1,2e^{-0,182}-0,2 ≈ 0,8 $
      Tangenten kommer därför att tangera i punkten $ (-0,182; 0,8) $.
      Kvarstår gör nu att bestämma tangentens m-värde vilket ges av
      $ m = 0,8-(-0,182) = 0,982 $
      Tangenten skär alltså y axeln i $0,982$ och $g(x)$ skär y-axeln i $-1$. Linjen har alltså flyttats lodrät uppåt $ 1+0,982 = 1,982 $ steg.
      Avståndet bör vara (ungefärligt) 1,982.
      Stämmer det med det du söker?

      Simon Rybrand
  7. Hej!
    Skulle behöva lite hjälp med en uppgift..
    ”En öppen cylinderformad burk ska ha volymen 125 cm3.
    Vilka dimensioner ska burken ha för att materialåtgången ska bi så liten som möjligt?”

    nti_ma3
    1. Hej, du behöver här ställa upp och optimera en funktion som beskriver arean för burken då volymen är 125 cm³. Från det vi vet om volymen så kan du ställa upp sambandet:
      $ \pi r^2 h = 125 ⇔ $
      $ h = \frac{125}{\pi r^2} $

      Arean för en cylinder kan beskrivas av funktionen:
      $ M(r) = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h $
      I denna kan du byta ut h mot det vi tog fram ovan och sedan optimera med hjälp av derivata. Hoppas att detta hjälper dig framåt!

      Simon Rybrand
      1. Såklart…tack! 🙂

        nti_ma3
  8. Hejsan! Jag har en uppgift som jag inte kan lösa. Skulle du snälla kunna hjälpa mig med denna? Skulle verkligen uppskatta ett svar så snart så möjligt 🙂 Tack på förhand!
    En plåtskiva har formen av en rektangel med sidorna 10 cm och 15 cm. Genom att klippa bort lika stora kvadrater i varje hörn och sedan vika plåtskivan kan man tillverka en öppen låda. Hur stor skall sidan i varje kvadrat vara för att lådan skall bli så stor som möjligt, och hur stor blir då volymen?

    carlitav
    1. Hej, gör så att du sätter längden på sidan på den bortklippta kvadraten för x. Då kommer höjden på din låda att vara x.
      Sedan får du måtten (10 – x) och (15 – x) på bredd och djup på lådan då det försvinner just längden x från dessa sidor.
      Sedan kan du ställa upp en volymformel och maximera denna med derivata:
      $ V(x) = x(10-x)(15-x) $
      Hoppas att detta hjälper dig på vägen!

      Simon Rybrand
  9. hej,
    hur gör man om derivatans nollställe är utanför definationsmängden t. ex. En klotformad behållare med diametern 20 dc som håller på att fyllas med vatten. Vid en betämd påfyllningshastighet gäller att den tid f(x) minuter, som det tar att fylla behållaren till vattenhöjden x decimeter, ges av sambandet f(x) =-x^3 + 30x^2
    bestäm det största värde som derivatan kan anta.

    nti_ma3
    1. Hej, om du skall bestämma det största värdet för derivatan så behöver det inte vara samma sak som derivatans nollställe. Dvs här kan du först derivera funktionen och undersöka det största värdet för derivatan.

      Simon Rybrand
      1. Kan du vänligen visa hur man undersöker det största värdet för derivatan?

        nti_ma3
  10. Hej! Jag har stött på en uppgift i min mattebok som jag inte löser. En bonde ska bygga två rektangulära hagar med en gemensam sida. Han har 600m stängsel till sitt förfogande. Hur tar jag reda på hagarnas maximala totalarea?

    nti_ma3
    1. Hej, börja med att kalla den gemensamma sidan för x, då vet vi att en sida i de bägge rektanglarna som tillsammans skapar en stor rektangel. Eftersom det är två hagar med en gemensam sida så kommer det att ”försvinna” 3x från de 600 metrarna stängsel. Därför kommer de övriga två sidorna i den stora rektangeln att vara 600 – 3x och en av dessa $\frac{600-3x}{2}$

      Då kan du ställa upp areafunktionen:
      $A(x)=x \cdot \frac{600-3x}{2}$

      Med denna kan du säkert jobba vidare själv och optimera med hjälp av derivata, titta annars in i forumet så tar vi det därifrån.

      Simon Rybrand
  11. I uppgift 3 kanske det hade varit bra att med någon metod visa att x-värdet verkligen ger största volymen och inte minsta. Kan tyckas självklart, men jag tror att man måste visa det.

    Carina Mattsson
    1. Hej Carina, Det man kan göra är att undersöka derivatan innan och efter ens funna extremvärde. Vi kan lägga till det i redovisningen av uppgiften. Det brukar vara rekommenderat att göra detta så jag håller med dig.

      Simon Rybrand
  12. I figuren för uppgift 2 står det att basen är h-20. Detta borde vara 20-h då det annars ger en andragradsekvation med en positiv x^2-term och därmed har den en minimipunkt istället för maximipunkt vilket efterfrågas.

    Gunilla Jacobsson
    1. Hej Gunilla, tack för att du uppmärksammade oss på detta, vi ordnar bilden på momangen.

      Simon Rybrand

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: