...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Problemlösning Integraler

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Tillämpning av integraler

Vid tillämpningar av integraler bestämmer man ofta en storhet. Storheter uttrycks med ett mätetal och en enhet. Några exempel på storheter är sträckan $4$4 km, kostnaden $10\text{ }000$10 000  kr och volymen $250$250 liter.

Som hjälp för att avgöra vilken integrand (funktionen som begränsar arean tillsammans med  $x$x-axeln) som ger en viss integral, kan man tänka att integralen kan ses som en summa av en massa förändringar. Här kommer nu en uppräkning av tillämpningsområden. Försök koppla sambanden mellan integralen och integranden.

Integral för sträckan

Integral tillväxthastighet

Integral till hastighet

Integral för arean

Integral för marginalkostnad

Integral till volym

Integral för volym

Integral för energiförbrukning

Integral för arbetet

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Vilken enhet ska integralen ha?

När vi tittade på hur man kan bestämma integralens area, delade vi upp den i rektanglar. Deras areor beräknas med basen gånger höjden, vilket i detta fall motsvarar  $\bigtriangleup y\cdot\bigtriangleup x$y·x.  När vi ska bestämma en integrals enhet gäller samma sak. Nämligen att integralens enhet fås genom multiplikation mellan $y$y -axelns enhet med $x$x -axelns enhet. 

 $\text{Integralen enhet}=y\text{-axelns enhet}\cdot x\text{-axelns enhet}$Integralen enhet=y-axelns enhet·x-axelns enhet 

Ett tips är att använda denna kunskap. För men hjälp av enheterna i uppgiften kan du förhoppningsvis lista ut vilken funktion som är integrandens och vilken som är integralens storhet, genom att jämföra enheterna.

Exempel 1 

Vilken enhet motsvarar integralen, då integranden är hastigheten $v\left(t\right)$v(t) angiven i km/h med avseende på tiden $t$t i timmar?

Lösning:

Genom att multiplicera $y$y -axelns enhet med $x$x -axelns enhet, får vi integralens enhet till  $\frac{km}{h}$kmh  $\cdot h=km$·h=km .

Integral som sträcka

När integranden är en funktion för hastighet, motsvarar integralen en sträcka.

Exempel 2

Vilken enhet motsvarar integralen, då integranden är tillväxthastigheten hos en befolkning $N’\left(t\right)$N(t) angiven i personer/år med avseende på tiden $t$t i år?

Lösning:

Genom att multiplicera $y$y -axelns enhet med $x$x -axelns enhet, får vi integralens enhet till  $\frac{\text{personer}}{\text{år}}$personerår  $\cdot\text{år}=\text{personer}$·år=personer 

år $=$= personer.

Integral som befolkningsmängd

När integranden är en funktion för tillväxthastigheten i personer /år, motsvarar integralen befolkningstillväxten i antal personer.

Formler och begrepp som används vid tillämpningar

Ofta ligger svårigheten i tillämpningen att se sambandet mellan integralen och integranden. När man väl lyckats teckna den integral som gör det möjligt att lösa problemet använder man de vanliga metoderna för att beräkna integralen, med integralkalkylens fundamentalsats eller digitala hjälpmedel.

Integralkalkylens fundamentalsats

$ \int\limits_a^b f(x) dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) – F(a) $ där

a är den undre gränsen och b den övre.
f(x) är integranden, dvs den funktion vi tar fram primitiv funktion F(x) på.
För att få fram värdet på integralen beräknas sedan F(b) – F(a)

Arean mellan kurvor

I föregående lektion gick vi igenom hur man beräknar integralen mellan två kurvor. Här följer formeln för proceduren för beräkning av en sådan integral.

Area mellan kurvor

Arean mellan en övre kurva  $f\left(x\right)$ƒ (x) och en undre  $g\left(x\right)$g(x) i intervallet $a$ till $b$ motsvarar värdet av integralen

$ \int\limits_a^b (f(x) – g(x)) dx $

Egenskaper hos integraler

För att underlätta beräkningen med integralen kan du använda följande egenskaper.

Egenskaper hos integraler

 $\int_a^bk\text{ }\cdot f\left(x\right)\text{ }dx=k\text{ }\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx$abk ·ƒ (x) dx=k abƒ (x) dx    där  $k$k är en konstant.

 $\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx+\text{ }\int_b^cf\left(x\right)\text{ }dx=\int_a^cf\left(x\right)\text{ }dx$abƒ (x) dx+ bcƒ (x) dx=acƒ (x) dx  då  $a\le b\le c$abc 

  $\int_a^bf\left(x\right)\text{ }\pm g\left(x\right)dx=\text{ }\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx\text{ }\pm\text{ }\int_a^bg\left(x\right)\text{ }dx$abƒ (x) ±g(x)dx= abƒ (x) dx ± abg(x) dx

 $\text{ }\int_a^af\left(x\right)\text{ }dx=0$ aaƒ (x) dx=0 

 $\text{ }\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx=\text{ }-\int_b^af\left(x\right)\text{ }dx$ abƒ (x) dx= baƒ (x) dx  

Man kan alltså tolka integralen som en summa av areorna över  $x$x -axeln minus areorna under  $x$x -axeln.

Exempel i videon

  • Beräkna $ \int\limits_0^3 (x^2+4x) dx  $.
  • Beräkna arean av det område som begränsas av funktionerna $ y=x^2 $ och $y = 4x$.
  • Bestäm med en integral konstanten $a$ så att arean blir $ 1 \, a.e $ mellan linjerna $ y=x $ och $y=2x$ i intervallet $(a-1)≤x≤a$ där $a>0$.

Kommentarer

Albin Holmgren

Tror ni har missat att ta 15^2 på sista uträkningen av fråga 12. Rätt svar ska vara 22500 istället för 43500. Tack för annars strålande lektioner!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi kikar på denna fråga så fort vi kan och korrigerar den om så behövs!

Gustav Nyström

Hej
På fråga 2 ovan skall arean för det streckade området under funktionen. På bilden är arean som skall beräknas streckad från x=-1 till x=5 men i lösningen beräknas arean från x=0 till x=5. Undrar således om det blivit något fel eller om det är jag som har missat något?
Tack på förhand! // Gustav

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Du har inte missat något, vi korrigerar det.

Mattefreak

Hej!

Sitter fast på en uppgift.

Bestäm den maximala arean för den rektangel som har ett hörn i origo och det motstående hörnet på grafen till den räta linjen x+2y=200. Tänk på höjden över x ges av värdet y som kan bestämmas av hjälp av linjens ekvation.

Tacksam för hjälp

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Skriv först om linjens ekvation så att du löser ut $y$,dvs som
    $y=-\frac{x}{2}+100$
    Rektangelns bredd är $x$ och höjden är $y=-\frac{x}{2}+100$
    Så arean kommer att bara
    $A(x)=x·(-\frac{x}{2}+100)=-\frac{x^2}{2}+100x$
    Denna funktion optimerar du nu med hjälp av derivata för att hitta den maximala arean. Hoppas att detta hjälper dig vidare!

      Mattefreak

      Tack! Det hjälpte bra 🙂

      Har en till som är lite knepig.

      Bestäm med hjälp av en integral storleken på den yta som ligger mellan grafen till f(x)=5x-X^2 och x-axeln.

        Simon Rybrand (Moderator)

        Först tar du reda på var grafen skär x-axeln genom ekvationen
        $ 5x-x^2=0 ⇔$
        $ x(5-x)=0 ⇔$
        $x_1=0$ och $x_2=5$
        För att ta reda på arean mellan x-axeln och grafen beräknar du integralen
        $\int\limits_{0}^{5}\,5x-x^2\,dx$
        Kommer du vidare utifrån detta?
        Grafen ser ut på följande vis

johnrobert

Hej jag undrar om inte fråga 5 har blivit lite fel eller så har jag inte förstått frågan.mvh Johnrobert

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Ja det var fel i formuleringen av frågan, integralgränserna skall vara från (k-1) till k och inte 5. Tack för att du påpekade detta.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (5)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Eva har tagit fram en graf som beskriver med vilken hastighet  $v(t)$v(t)  hon cyklar när hon åker till skolan  $t$t  sekunder efter att hon startat.

    Vad kan man beräknar med hjälp av arena mellan grafen och  $x$x -axeln?

    drawit-diagram-50

    Träna på att motivera ditt svar.

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Marginalkostnaden på att tillverka en viss mobilmodell kan beskrivas med funktionen  $K’\left(n\right)=120\text{ }000\cdot e^{-0,0002n}$K(n)=120 000·e0,0002n  kr/mobil vid tillverkning av $0\le n\le50\text{ }000$0n50 000 enheter.

    Beräkna marginalkostnaden för den hundrade mobilen.

    Avrunda till hela tusental.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (3/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M1
    R
    K

    Marginalkostnaden på att tillverka en viss mobilmodell kan beskrivas med funktionen  $K’\left(n\right)=120\text{ }000\cdot e^{-0,0002n}$K(n)=120 000·e0,0002n  kr/mobil vid tillverkning av $0\le n\le50\text{ }000$0n50 000 enheter.

    Beräkna kostnadsökningen $K\left(n\right)$K(n) för produktionen om den ökar från tio tusen till tjugo tusen mobiler.

    Avrunda till hela tusen tal.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Funktionen $v\left(t\right)$v(t) motsvarar fotbollens hastighet i $m/s$m/s , $t$t sekunder efter en specifik utspark. 

    Vad kan man beräkna med integralen $\int_0^8v\left(t\right)\text{ }dt$08v(t) dt?

    Träna på att motivera ditt svar.

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (3/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M1
    R
    K

    Under en tioårsperiod följde befolkningstillväxten  $N’\left(t\right)$N(t) invånare/år i en stad funktionen  $N’\left(t\right)=23\text{ }500+500t$N(t)=23 500+500t  där $t$t motsvarar antalet år efter $2005$2005.

    Beräkna ökningen av antalet invånare i staden mellan  $2007$2007 och $2015$2015.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (6)

  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M1
    R
    K

    Man kan beräkna energiförbrukningen i en viss fabrik med hjälp av funktionen för effekten $E\left(x\right)=\left(-0,12x^3+6x^2-100x+1000\right)MW$E(x)=(0,12x3+6x2100x+1000)MW där $x$x motsvarar tiden i timmar räknat från  $8.00$8.00 på förmiddagen.

    Hur mycket energi förbrukas i denna fabrik under en dagsproduktion om produktionen pågår mellan klockan  $8.00$8.00 och  $20.00$20.00 varje dag?

    Ange svaret avrunda till ett heltal med enheten MWh.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M1
    R
    K

    Bestäm konstanten $a>0$a>0 så att arean mellan funktionerna $f(x)=1-0,5x$ƒ (x)=10,5x  och  $g(x)=1+x$g(x)=1+x  i intervallet  $a-1\le x\le a$a1xa  blir $3$3 a.e.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R1
    K

    Ett elfordon har konstruerats så att batteriet laddas under vissa förutsättningar. 

    Figuren visar grafen till funktionen $f$ƒ , som visar energiförbrukningen för batteriet en specifik åktur.

     

    Hur många kilometer från start är batteriet som mest laddat?

    Ange endast antalet kilometer i svaret men träna på att kunna motivera ditt val.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/2)
    ECA
    B
    P
    PL11
    M1
    R
    K

    Funktionen  $v(t)=0,05\cdot e^{0,5t}$v(t)=0,05·e0,5t  beskriver den hastighet i liter per sekund som vattnet kommer ur kranen $t$t  sekunder efter att man börjat öppnat den.

    Beräkna hur lång tid det tar att fylla en cylinderformad vas med en halv liter vatten.

    Svara med en decimals noggrannhet och enheten sekunder.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/1)
    ECA
    B11
    P
    PL
    M
    R
    K

    Funktionen $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) är utritad i i koordinatsystemet.

    Använd figuren och uppskatta $ \int\limits_{-2}^4 f´(x) \,dx $

    Linjär funktion

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/1)
    ECA
    B
    P
    PL11
    M1
    R
    K

    En cistern med  $50\text{ }000\text{ }m^3$50 000 m3  vatten har börjat läcka. När läckaget börjar är utflödet av vatten  $3\text{ }000\text{ }$3 000  l/s.
    En säkerhetsventil gör att utflödets hastighet minskar konstant med  $200$200 l/$s^2$s2. Detta fortgår tills utflödet helt stoppats.

    Hur mycket vatten kommer att rinna ut ur cisternen, med tanke på säkerhetsventilen?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

a-uppgifter (3)

  • 12. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/3)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M1
    R1
    K

    Marginalkostnaden på att tillverka en viss mobilmodell kan beskrivas med funktionen  $K’\left(n\right)=120\text{ }000\cdot e^{-0,0002n}$K(n)=120 000·e0,0002n  kr/mobil vid tillverkning av $0\le n\le50\text{ }000$0n50 000 enheter.

    Hur många mobiler kan man tillverka för kostnaden en halv miljard kronor?

    Ange svaret endast med antalet mobiler.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 13. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/3)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M1
    R1
    K

    En cistern med  $50\text{ }000\text{ }m^3$50 000 m3  vatten har börjat läcka. När läckaget börjar är utflödet av vatten $3\text{ }000\text{ }$3 000  l/s.
    En säkerhetsventil gör att utflödets hastighet minskar konstant. Detta fortgår tills utflödet helt stoppats.

    Med vilken konstant hastighet måste utflödet minska så att det endast rinner ut $10\text{ }000$10 000  liter vatten?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 14. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL
    M1
    R1
    K

    Ett av uttrycken nedan ger möjlighet att kunna beräkna cirkelns area då cirkelns mitt är placerat i origo och punkten $P$P ligger på cirkelperiferin.

    Vilket? 
    drawit-diagram-49
    Öva på att motivera ditt val.

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar