Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 5
/ Differentialekvationer
Problemlösning Differentialekvationer
Formler och begrepp som används i video och övningar
Differentialekvation
En differentialekvation är ett samband (en ekvation) mellan en funktion och en eller flera derivator av samma funktion.
Homogen differentialekvation av första ordningen
Innehåller en förstaderivata och kan skrivas på formen $ y´+ay = 0 $
och har den allmänna lösningen $y = Ce^{-ax}$.
Inhomogena differentialekvationer av första ordningen
Är differentialekvationer som innehåller en förstaderivata och där ena ledet (högerledet) kan skrivas som en funktion f(x). Den allmänna formeln för dessa ekvationer är
$ y’ + ay = f(x) $
Differentialekvationer av andra ordningen
Differentialekvationer på formen $y” + ay’ + by = 0$
som har den karakteristiska ekvationen $r^2 + ar + b = 0$
och lösningen $y = e^{rx}$.
Separabla differentialekvationer
Differentialekvationer på formen $g(y) \cdot y’ = f(x)$.
Exempel i videon
- Befolkningsmängden i mattelandet förändras enligt differentialekvationen $\frac{dy}{dx}=0,002y$ där $t$ är tiden räknat från år 1994 då det fanns en miljon i landet. Beräkna folkmängden i landet år 2011.
- Differentialekvationen $y´=y+x-2$ har en lösning som uppfyller villkoret $y(1)=2$. Använd Eulers stegmetod med steglängden $h=0,5$ och beräkna för denna lösning
a) $y(2)$
b) $y(0,5)$ - Lufttycket $y \, kPa$ avtar med höjden $x$ km över havet. På varje höjd förändras lufttrycket med en hastighet som är proportionell mot det aktuella lufttrycket.
a) Uttryck detta med en differentialekvation.
b) Vid havsytan är lufttrycket $ 101 \, kPa $. Bestäm proportionalitetskonstanten om lufttrycket har halverats på höjden $ 5,5 \, km $. - Ricky blandar ren röd färg i en behållare på 60 liter med rent vattten. Den röda färgen rinner in i behållaren med hastigheten 3 liter per minut och samtidigt rinner det ut 3 liter per minut. Hur mycket färg finns det i behållaren efter 20 minuter?
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (3)
-
1. Premium
Magnus köper aktier för $10\text{ }000$10 000 kr. Under en lågkonjunktur minskar värdet av aktierna med en hastighet av $3\text{ }\%$3 % per år av det aktuella värdet. Beskriv förändringen med en differentialekvation.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Differentialekvationer Matematik 5 Problemlösning DifferentialekvationerRättar... -
2. Premium
I en stad finns $165\text{ }000$165 000 invånare år 2015. Befolkningstillväxten är proportionell mot den aktuella befolkningsmängden med proportionalitetskonstanten $0,045$0,045. Hur många invånare beräknas staden ha år 2025? Avrunda till hela tusental.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Differentialekvationer Matematik 5 Problemlösning DifferentialekvationerRättar...3. Premium
Vilket eller vilka av följande påståenden är korrekt(a)?
A. En differentialekvation som innehåller $y’$y’ är alltid en differentialekvation av första ordningen.
B. För differentialekvationer av typen $y”+ay+by=0$y”+ay+by=0 finns tre olika karaktäristiska ekvationer.
C. Differentialekvationer av typen $y”=f\left(x\right)$y”=ƒ (x) kan lösas med hjälp av primitiva funktioner.
D. En differentialekvation av typen $y’+ay=0$y’+ay=0 kallas inhomogen.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Differentialekvationer Matematik 5 Problemlösning DifferentialekvationerRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!c-uppgifter (3)
-
4. Premium
Bestäm lutningen för lösningskurvan till $y’=2x+3y$y’=2x+3y i punkten $\left(0,\frac{1}{9}\right)$(0,19 ) .
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Differentialekvationer Matematik 5 Problemlösning DifferentialekvationerRättar... -
5. Premium
En liten kula som hänger i en tråd med längden $l=1,0$l=1,0 meter. Kulan sätts i rörelse genom att den först hålls stilla $20$20 cm från jämviktsläget och sedan släpps. Pendelrörelsen kan beskrivas med differentialekvationen $y”+\frac{g}{l}y=0$y”+gl y=0 , där $y$y är kulans avstånd i meter från jämviktsläget och $g$g är tyngdkonstanten med värdet $9,82$9,82 . Bestäm kulans avstånd från jämviktsläget $5,7$5,7 sekunder efter rörelsens start.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Differentialekvationer Matematik 5 Problemlösning DifferentialekvationerRättar... -
6. Premium
En vikt är upphängd i en fjäder och svänger vertikalt kring jämviktsläget. Rörelsen kan beskrivas med differentialekvationen $0,20y”=-3,2y$0,20y”=−3,2y , där $y$y är avståndet i meter till jämviktsläget efter $t$t sekunder. Då tidtagningen börjar är vikten $2,4$2,4 cm från jämviktsläget och dess hastighet är $0$0 m/s. Bestäm viktens avstånd till jämviktsläget efter $10$10 sekunder.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Differentialekvationer Matematik 5 Problemlösning DifferentialekvationerRättar...
a-uppgifter (2)
-
7. Premium
Lös differentialekvationen $\frac{dy}{dx}=\left(3x^2+x+1\right)\left(y^2+1\right)$dydx =(3x2+x+1)(y2+1) om $y(0)=1$y(0)=1 .
Tips: Derivatan av $f\left(x\right)=\tan^{-1}x$ƒ (x)=tan−1x är $f’\left(x\right)=\frac{1}{1+x^2}$ƒ ’(x)=11+x2 .
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Differentialekvationer Matematik 5 Problemlösning DifferentialekvationerRättar... -
8. Premium
Ett föremål med massan $m$m faller nedåt med luftmotståndet $F_L$FL som motkraft. Rörelsen kan beskrivas med differentialekvationen $m\cdot\frac{dv}{dt}=mg-F_L$m·dvdt =mg−FL , där luftmotståndet är proportionellt mot hastigheten och $g$g är tyngdkonstanten. Använd proportionalitetskonstanten $k$k och bestäm föremålets sluthastighet. Utgå från att föremålet ej slår i marken.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Differentialekvationer Matematik 5 Problemlösning DifferentialekvationerRättar... -
-
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
elisabeth karlsson
Uppgift 3:
Gissar att det ska stå ay’
B. För differentialekvationer av typen y”+ay+by=0 finns tre olika karaktäristiska ekvationer.
/Elisabeth
elisabeth karlsson
Hej,
Önskar fler uppgifter på problemlösning liknande de som tas upp i videon. En uppgift tycker jag var för lite.
Mvh Elisabeth
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Elisabeth
Vi kikar på att kunna lägga till det, vi reviderar mycket av våra videos på derivata och integraler för tillfället så det finns anledning att ordna det!
/Simon
nti_mae
Uppgift 2 i videon är fortfarande fel?
tack
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, jag trodde att den nya versionen var upplagd här. Vi ordnar detta per omgående, ber om ursäkt för otydligheten.
Arish
Hej!
I det andra exemplet ska inte y bli 2.5.
Så här tänkte jag : Lutning är 1 och h=0.5
Då måste nästa y bli, 2+0.5*1=2.5 så står det att man ska räkna i boken. Alltså för att få nästa y-värde så tar man y-noll +h*lutning.
Eller är det fel?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Arish, har du tänkt på att vi i det här fallet går ”neråt” så att y värdet minskar? Där får man – lutning.
Encore
I det andra exemplet används steglängden 0.5 och lutningen 1, borde inte y vid x=1.5 bli 2+0.5 då istället för 2+1 eller är jag helt ute och cyklar? (0.5*1=0.5)
Simon Rybrand (Moderator)
Hej och tack för din kommentar. Jag har uppdaterat videon så att den är korrekt. Eftersom steglängden är 0,5 får vi alltså nästa y värde 2 – 0,5 = 1,5. Vi går alltså ett halvt steg och kommer därmed halva lutningen neråt.
Endast Premium-användare kan kommentera.