...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Problemlösning Andragradsfunktioner

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Vertex avslöjar största och minsta värdet

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Med hjälp av vertex kan man ofta bestämma funktionens största och minsta värde. Funktionsvärdet motsvarar alltid $y$y -koordinaten i en punkt. Genom vertex går symmetrilinjen. Den ligger mittemellan två punkter på grafen med samma $y$y -värde, tex funktionens nollställen. 

Vad säger funktionsuttrycket om grafen?

Genom att förändra koefficienterna och konstanten i andragradsfunktionens funktionsuttryck så ändras parabelns utseende. 

Hur påverkar koefficienten framför parabelns utseende?

För att en parabel ska ha en minimipunkt, måste andragradstermens koefficient vara positiv.
För att en parabel ska ha en maximipunkt, måste andragradstermens koefficient vara negativ.

Koefficientens storlek avgör hur vid eller smal parabeln är. Ju större tal, ju smalare.

Parabeln $f(x)=ax^2$ƒ (x)=ax2 har sitt vertex i origo. Den är varken förskjuten i sidled eller höjdled.

Hur påverkar koefficienten framför parabelns utseende?

Förstagradstermen påverkar grafen genom att förskjuta den i sidled. Det räcket oftast att känna till det. Det är nämligen inget helt enkelt rörelsemönster grafen följer när det gäller förstagradstermen. Ta gärna hjälp av visualiseringsverktyget. Grafen rör sig utifrån vertex i ett bågformat mönster. Som ett U, då parabeln är negativ och koefficienten blir större och större. Och som en regnbåge, då parabeln är negativ och koefficienten ökar i värde.

Hur påverkar konstanttermen parabelns utseende?

Konstanttermen förskjuter funktionen i höjdled. En positiv konstantterm förskjuter parabeln rakt uppåt. En negativ rakt nedåt. Båda i lika många steg som konstantens värde.

Formler som används i uppgifter med andragradsfunktioner

Andragradsekvation

$ax^2+bx+c=0$

där $a,b,c$ är konstanter och $a≠0$

Symmetrilinjens ekvation

Symmetrilinjen, den linje som går mittemellan två lika y-värden, kan beräknas på två sätt.

 $x_{sym}=\frac{x_1+x_2}{2}$xsym=x1+x22   , där $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$ƒ (x1)=ƒ (x2)  

eller

 $x_{sym}=-\frac{p}{2}$xsym=p2  

Formel från nollställen och punkt

Om vi känner till två nollställen och en punkt på grafen kan vi ta fram andragradsfunktionens formel. Vi utgår då från att vi kan skriva andragradsfunktionens formel som

$f\left(x\right)=k\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$ƒ (x)=k(xx1)(xx2)

där  $x_1$x1  och  $x_2$x2  är nollställenas x-värden. Konstanten  $k$k  styr grafens böjning.

Exempel i videon

  • Eventföretaget Singadanso AB har märkt att intäkterna för en show beror på vilket pris dom sätter på biljetterna. Dom beskriver intäkterna I(x), där x är biljettpriset, med följande funktion:
    $I\left(x\right)=80x-0,1x^2$I(x)=80x0,1x2
    Hjälp företaget att bestämma pris per biljett så att intäkterna blir så höga som möjligt.
  • En andragradsfunktion har nollställen i  $x=-5$x=5  och  $x=6$x=6  och går genom punkten  $\left(-1,150\right)$(1,150). Bestäm funktionens uttryck (formel).
  • En andragradsfunktion  $x^2-\left(a+1\right)x-\left(3+b\right)=0$x2(a+1)x(3+b)=0 har lösningarna  $x_1=-1\text{ och }x_2=4$x1=1 och x2=4 .
    Bestäm konstanterna $a\text{ och }b$a och b .

Kommentarer

Klara Österberg

I fråga 5 får jag ut att funktionens formel är f(x)=x^2 -2x -24. Dvs att andragradstermen är positiv och därför har en minimipunkt och minsta värdet x=1. I uppgiften har funktionen sitt största x-värde för 1. Har jag räknat ut funktionen fel? Kan ni beskriva hur jag kan räkna ut den? Tack!

    Anna Admin (Moderator)

    Hej Klara,
    om du läser av i grafen ser du att minsta värdet för funktionen är $x=-1$. Enligt ditt förslag skulle grafen skära $y$-axeln i $y=-24$ eftersom att det motsvarar konstanten i ditt funktionsuttryck. I figuren ser vi att grafen skär i origo vilket ger att konstanttermen måste vara lika med noll.

    Som du ser i förklaringen till denna uppgift så behöver du inte ta fram funktionsuttrycket utan kan läsa av funktionens värde direkt i grafen.

    Skulle du ändå vilja bestämma funktionsuttrycket så kan du använda dig av nollställena och får att
    $f(x)=a(x-(-2))(x-0)=ax(x+2)=ax^2+2ax$

    För att bestämma värdet på $a$ sätter du in en punkt på grafen. Till exempel $(1,3)$. Vi får då att

    $3=a\cdot 1^2+2\cdot a \cdot 1$
    $3=a+2a$
    $3=3a$
    $a=1$

    vilket ger oss funktionsuttrycket $f(x)=x^2+2x$

    Kolla denna video om du är osäker på vad som hände här ovan Ange andragradsfunktionen utifrån nollställen och en punkt.

    Vi kan då beräkna $f(-2)$ och $f(1)$ som
    $f(-2)=(-2)^2+2(-2)=0$
    $f(1)=1^2+2\cdot 1=3$
    vilket vidare ger oss att

    $f(-2)+f(1)=0+3=3$

André Bakas-Carlsten

Inget av namnen på fråga 3 blir rätt

Aksel Nordin

I uppgift 11 förvandlas ett + till ett – i förklaringen. Varför?

Linus Jakobsson

Fel i svaret på fråga 1. Det står 729 m^2 istället för cm^2.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (3/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M1
    R
    K

    Din vän ska sy en tygpåse. Runt påsen tänker han sy ett dekorationsband. Men detta band har en begränsad längd. Det gör att om påsens ena sida är $x$x cm lång, så kan den andra bara vara $54-x$54x cm lång. $50-x$ 

    Vilken är den största möjliga area påsen kan anta?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Vilken av följande funktioner har en maximipunkt i punkten $(0,6)$(0,6)?

    Öva på att motivera ditt svar på ett papper.

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R1
    K

     Jossan och Rosita ska ta fram symmetrilinjen för funktionen $f\left(x\right)=-x^2-5x+5$ƒ (x)=x25x+5.

    Jossan säger att symmetrilinjen till funktionen kan beräknas genom  $x_{sym}=$xsym= $-\frac{5}{2}$52   
    Rosita säger att den beräknas genom $x_{sym}=$xsym= $-\left(\frac{-5}{2}\right)$(52 )  

    Vem anser du har rätt?

    Ange svaret med personens namn. Träna på att motivera ditt svar.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    En andragradsfunktion har alltid en andragradsterm, men har ofta även en förstagradsterm och en konstantterm. 
    Använd en grafräknare, antingen den här till höger på Matematikvideo eller om du har en egen, och skriv in funktionen

     $f\left(x\right)=x^2+x+1$ƒ (x)=x2+x+1 

    Prova nu och ändra koefficienterna framför de olika termerna en i taget och se vad som händer.

    Vilken term ska man förändra för att parabeln ska förflytta sig i höjdled utan att symmetrilinjen flyttas?

    Rättar...

c-uppgifter (5)

  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Använd figuren och bestäm $f\left(-2\right)+f\left(1\right)$ƒ (2)+ƒ (1) 

    Träna på att motivera ditt svar.

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R1
    K

    För en andragradsfunktion gäller att $f\left(x\right)=0$ƒ (x)=0 har lösningarna $x_1=-4$x1=4 och $x_2=6$x2=6
    För vilket $x$x-värde har funktionen sitt största värde?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    En varm dag vattnar din pappa äppleträdet med en vattenspridare. Vattnets stråle har formen av en båge, en parabel, som kan beskrivas med funktionen $h\left(x\right)=-0,17x^2+1,02x+0,42$h(x)=0,17x2+1,02x+0,42 , där $h\left(x\right)$h(x) är strålens höjd över marken $x$x meter ut från vattenspridaren.Du och din bror tävlar om vem som kan springa under strålen utan att bli blöt.

    Hur långt ut från vattenspridaren ska du springa för att ha störst chans att inte bli blöt?

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    En andragradsfunktion går genom punkten $\left(-4,10\right)$(4,10) och har nollställena $x_1=-5\text{ och }x_2=1$x1=5 och x2=1.

    Bestäm funktionens formel på formen  $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax2+bx+c.

    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    En andragradsfunktion  $x^2+\left(a+4\right)x+\left(b+5\right)=0$x2+(a+4)x+(b+5)=0 har lösningarna  $x_1=1\text{ och }x_2=-3$x1=1 och x2=3.

    Bestäm värdet på konstanterna  $a$a och  $b$b.                                                                                                        (NP VT15)

    Rättar...

a-uppgifter (2)

  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/3)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R1
    K1

    Romeo ser att Julias fönster står öppet. Han vill kasta in en ros genom hennes fönster som är beläget $6$meter över marken och är $2$2 meter högt. Hans kaströrelse kan beskrivas med modellen $h\left(s\right)=2,1+3,4s-0,7s^2$h(s)=2,1+3,4s0,7s2, där $h\left(s\right)$h(s) motsvarar höjden över marken i meter och $s$s motsvarar rosens horisontella rörelse i meter, från den punkt rosen kastas. 

    Hur långt ifrån väggen skall Romeo stå för att pricka fönstret rätt? 

    Träna på att motivera ditt svar med matematiska beräkningar och resonemang.

    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K1

    Din vän säger att  $f\left(x\right)=\left(x-\left(\frac{p}{2}+\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\right)\right)\left(x+\left(\frac{p}{2}+\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\right)\right)$ƒ (x)=(x(p2 +(p2 )2q))(x+(p2 +(p2 )2q)) egentligen är samma funktion som  $g\left(x\right)=x^2+p+q$g(x)=x2+p+q 

    Försök bevisa detta på ett papper och välj sedan det alternativ som du tycker stämmer bäst.

    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.