Polynomfaktorisering – Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Polynomfaktorisering

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

Polynomfaktorisering är en viktig del av att kunna lösa ekvationer av andra graden eller högre. I den här videon går vi igenom vad ett polynom är, hur man faktoriserar dessa och tar några enkla och svårare exempel.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 500+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 3500+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 KR
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
26 votes, average: 3,38 out of 526 votes, average: 3,38 out of 526 votes, average: 3,38 out of 526 votes, average: 3,38 out of 526 votes, average: 3,38 out of 5
26
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
4

Text

Exempel i videon

  • Exempel på de olika delarna i polynomet $P(x)=2x^2-16x+14$.
  • Faktorisera talet 12.
  • Faktorisera $ P(x)=x^2+4x $.
  • Faktorisera $ P(x)=x^2-9 $.
  • Faktorisera $ P(x)=x^2-2x-3 $.

Vad är en faktorisering?

Faktorisering innebär att man delar upp en produkt i faktorer. När man multiplicerar två tal eller variabler av varandra så kallas det man får ut för en produkt. Vid faktorisering så gör man detta ”tvärtom”. Man utgår från en produkt och delar upp den i faktorer istället.

Om man därför skulle faktorisera siffran $12 $ så skulle denna siffra kunna skrivas som $3 \cdot 4 $ och då kallas trean och fyran för faktorer. Nu är detta inte särskilt krångligt utan det viktiga är att kunna faktorisera algebraiska uttryck och ett av alla algebraiska uttryck är det så kallade polynomet. Man brukar definiera ett polynom som ett algebraiskt uttryck som endast får innehålla positiva heltalsexponenter.

Polynomfaktorisering

Om vi skulle faktorisera polynomet $p(x) = 3x + 4x²$ så skulle det kunna se ut enligt följande:

$ p(x) = 3x + 4x² = x(3 + 4x) $.

Här gäller då att den ena faktorn är $x$ och den andra faktorn blir $(3 + 4x)$. Meningen med att kunna faktorisera dessa typer av algebraiska uttryck är framförallt för att kunna lösa ekvationer.

 

Kommentarer

  1. Hur faktoriseras polynom med udda koefficienter? h(x)=7x²-5x-2

    Lindalucas
    1. Hej
      Det är tyvärr lite krångligare att faktorisera dessa typer av polynom på ett enkelt vis. Men ett sätt är att lösa ekvationen 7x²-5x-2 = 0 för att på så vis hitta en faktorisering. Om vi då hittar rötterna kan vi skriva om polynomet på faktorform.

      $ 7x^2-5x-2 = 0 $ /7
      $ x^2 – \frac{5}{7}x – \frac{2}{7} = 0 $ /pq
      $ x = \frac{5}{14} ± \sqrt{ \frac{25}{196} + \frac{2}{7} } $
      Förenkla inuti roten ur tecknet:
      $ x = \frac{5}{14} ± \sqrt{ \frac{81}{196} } $
      $ x = \frac{5}{14} ± \frac{9}{14} $
      x₁ = 1
      x₂ = $ – \frac{2}{7} $

      Med hjälp av dessa rötter kan vi faktorisera polynomet enligt:
      $ (x – 1)(x + \frac{2}{7}) $

      Enligt min erfarenhet är det sällan man behöver faktorisera såpass krångliga uttryck i Matematik C men det är självklart bra att kunna. Om du vill fördjupa dig inom detta kan man läsa lite granna kring faktorsatsen.

      Simon Rybrand
  2. Hur faktoriseras polynom ? p(x)= -10x²+50x-60

    Amanda
    1. Hej Amanda,

      När du faktoriserar ett sådan polynom gäller att du behöver hitta lösningarna till p(x) = 0.
      p(x)= -10x²+50x-60
      bryt ut -10
      p(x)= -10(x²-5x+6)
      p(x) = 0 ⇔
      x²-5x+6 = 0 (pq – formeln)
      $ x = 2,5 ± \sqrt{6,25 – 6} $
      $ x = 2,5 ± 0,5 $
      x₁ = 3
      x₂ = 2

      Detta ger oss faktorerna (x – 3) och (x – 2) och hela polynomet faktoriseras enligt

      p(x) = -10(x-3)(x-2)

      Simon Rybrand
  3. Tjabba! Bra genomgång!
    Funderar dock på varför man behöver krångla så mycket för att få ut k när man ändå kan se vad k är från början genom att kolla på antalet X^2.
    Tex, om polynomet innehåller 2X^2 vet man att k = 2.
    Är det för att beskriva det matematiskt eller? Och i så fall, är man tvungen att göra så? Tänker mest på prov osv..

    MVH
    // Andreas

    Jellycow
    1. Hej, i just det exemplet var det så att k var samma som koefficienten framför x^2 men det behöver inte alltid vara så. Så om du får en annan uppgift så kan det vara bra att känna till att du alltid kan lösa ut k på det viset.

      Simon Rybrand
  4. Tusen tack. Du räddar mina betyg 🙂

    aros_swe
  5. ”Vi har här lösningarna x = 9 eller x = -1, vi kan då faktorisera polynomet enligt:
    p(x) = 2x^2 – 16x – 18 = 2(x – 9)(x + 1)”

    Jag hänger inte med på varför lösningarna x=9 och x=-1 helt plötsligt får -9 och 1 när dom sätts in i faktoriseringen?

    Crippe
    1. Hej,
      Låt säga att vi har en ekvation (x+2)(x-3) = 0. För att VL skall bli lika med noll i det här fallet så skall antingen (x+2) eller (x-3) bli lika med noll vilket ger lösningarna (-2) och 3. Så om vi har lösningarna -2 och 3 så kan vi faktorisera enligt (x+2)(x-3).

      Simon Rybrand
  6. Hej
    Hängde med tills på fjärde frågan, varför delar du 18 till 9 men sätter in 16x direkt i Pq-fomeln ? tar du 4 uphöjt i 2? hänger i resonemanget i helhet men inte till vf du kommer fram till roten ur ”16” +9 ?

    watson770
    1. Hej, vi sätter inte in 16x ”direkt” i pq formeln utan precis som du skriver tar vi (p/2 = 8/2) 4^2 för att få 16. Kika gärna lite granna på hur du tillämpar pq formeln på liknande uppgifter så tror jag att det klarnar, annars så fråga vidare.

      Simon Rybrand
  7. Hej! Hur faktoriserar man polynomet f(t) = 4t-4t^2-1? Behöver hjälp snabbt :/

    Ragge
    1. Hej, här kan du först bryta ut -1 ur uttrycket så att du får
      $ -(4t^2-4t+1) $
      och tillämpa kvadreringsregel baklänges så att du får
      $ -(4t^2-4t+1) = -(2t+1) $

      Simon Rybrand
  8. i vilka sammanhang är det lämpligt att ha ett polynom skrivet i faktorn?

    azadeh
    1. Hej, ofta så kommer detta till användning när man söker nollställen (där funktionen skär x – axeln) till en funktion. Det kan också vara bra då man löser ekvationer (hitta dess rötter).

      Simon Rybrand
  9. Hej! Vill bara se så jag förstått allt rätt. Om jag ska bryta ut faktorerna ur polynomet: 4x – x^2, ska jag först sätta allt = 0? Sen blir det väl x(4-x)=0
    Men vad gör jag sen? Vad är mitt svar? Har lite svårt för matte…Tack!

    Mickan
    1. Ja när du har faktoriserat uttrycket så att du har x(4-x) så har du gjort det du behöver om uppgiften är just att du bara skall faktorisera.

      Du kan även få uppgiften att lösa ekvationen x(4-x)=0 genom nollproduktmetoden. Dvs
      $ x_1 = 0 $
      $ x_2 = 4 $
      Då bör det stå tydligt att du skall lösa just den ekvationen.

      Simon Rybrand
  10. Hejsan!
    Tack för bra genomgångar:)

    Dock undrar jag om man kan använda metoden ovan om man tex har uppgifter som ser ut såhär:

    4x^3-2x^2-x

    Sen undrar jag också om det finns ett sätt att veta/ räkna ut att ett tal ej går att faktorierna?

    Tack för all hjälp.

    Jennifera
    1. Hej, när det gäller din nämna uppgift så kan du bryta ut x ur varje term, dvs
      $ 4x^3-2x^2-x = x(4x^2-2x-1) $
      Sedan behöver du hitta lösningarna (pq-formeln) till
      $ 4x^2-2x-1=0 $
      för att faktorisera hela polynomet.

      Det finns, så vitt jag vet, ingen bombsäker metod för att alltid veta att allt går/går inte att faktorisera på ett användbart sätt. Det bästa tror jag är att du tränar på många liknande uppgifter och sakta, men säkert, lär dig vilka vägar som är framkomliga för olika typer av faktoriseringar.

      Simon Rybrand
  11. Hej! Det tredje steget, P(x)=k(x-x1)(x-x2) förstår jag inte vad det kommer ifrån. Jag känner inte igen formeln (är det ens en sats?). Jag frågade en som studerar matematik på universitetet och han svarade att det hade och göra med någonting som kallas ”faktorsatsen”. Har ni en genomgång av faktorsatsen på er hemsida, och om inte, vad är det för något?
    Tack på förhand! mvh

    mikaelhagfeldt@gmail.com
    1. Hej, det stämmer att faktorsatsen kan vara viktig att känna till i dessa sammanhang. Faktorsatsen säger att om x = a är ett nollställe till polynomet f(x) innebär detta att x–a är en delare, och endast då, för polynomet f(x). Vi skulle alltså kunna säga att om vi har en rot x=2 till ett polynom så säger faktorsatsen att detta polynom måste ha en faktor (x–2). Vi har en video om faktorsatsen här:
      https://matematikvideo.se/faktorsatsen/

      Simon Rybrand
  12. Polynomet p(x) = x^3 – 2x^2 – 5x + 6 har tre nollställen, -2, 1 och 3. faktorisera polynomet.

    Hur gör jag här?

    nti_ma3
    1. Du kan använda dig av dina nollställen som ger faktorerna p(x) = (x+2)(x-1)(x-3).

      Simon Rybrand
  13. Hej, jag behöver verkligen hjälp med faktorisering av polynom!! hur faktoriseras exempelvis x^2 + x – 12 ?

    Etolie
    1. Hej
      När du skall faktorisera det polynom du nämner här så kan det vara bra att lösa ekvationen
      $ x^2+x-12=0 ⇔ $
      $ x=-0,5±\sqrt{12,25} ⇔ $
      $ x=-0,5±3,5 ⇔ $
      $ x_1=3, x_2=-4 $
      Då vet du att du har nollställena för funktionen i dessa x – värden och du får faktorerna
      (x-3)(x+4)

      Simon Rybrand
      1. Tusen tack för hjälpen!!!!

        Etolie
      2. Eventuellt en asdum fråga:
        I första ledet av pq-formen bör det inte bli minus 0,5 om det är p:et är den osynliga ettan framför det positiva x:et? Jag fick resultatet till negativ 3 och positiv 4?
        Sen undrar jag varför faktorerna blir med omvänt tecken?

        tenka
        1. Det var verkligen ingen dum fråga 😉 Det skall förstås vara minustecken framför $0,5$. Det är korrigerat.
          Du vänder på tecknet i faktorerna för att det då blir rätt lösning. Om vi har ekvationen
          $ (x-3)(x+4)=0 $
          så har den lösningarna $x_1=3$ och $x_2=-4$
          Hoppas att det går att förstå!

          Simon Rybrand
  14. Hej!
    Jag behöver hjälp att faktorisera polynomet 36x-4x^2-80.
    Jag förstår att man kan bryta ut (-4), men när det väl kommer till att använda pq-formeln tar det helstopp..

    L
    1. Du kan använda pq formeln här men du behöver skriva om ekvationen innan du kan tillämpa den, jag visar en bit på vägen:
      $36x-4x^2-80 = 0 ⇔$
      $ 4x^2-36x+80=0 ⇔$ (dividera med 4)
      $ x^2-9x+20=0 ⇔$ (pq-formeln)
      $ x=4,5±\sqrt{20,25-20}⇔$
      $ x=4,5±\sqrt{0,25}⇔$
      $ x=4,5±0,5$

      Simon Rybrand
  15. Jag behöver hjälp med en lite lättare uppgift.

    Bryt ut (faktorisera) 4x från polynomet: 8x^2+4x. Skriv det som blir kvar, utan mellanslag eller parenteser.

    Kan du hjälpa mig? Tacksam för snabbt svar 🙂

    Ellinor
    1. $ 8x^2+4x = 4x(2x+1) $

      Simon Rybrand
  16. Hej! Det är svårt att full titta hela genomgången (videon). Alltså det startar men avbryter sig hela tiden och då måste man börja om hela videon igen.

    Detta är webbläsaren ”Google Chrome”. De andra är ännu svårare att titta genomgångarna.

    Mvh, Osman Mohamed.

    Mohamed Osman
    1. Hej Osman,

      Kan du kontakta vår support på support@matematikvideo.se. Nämn i mailet ditt problem, vilken/vilka webbläsare du använder, ditt operativsystem (windows/mac) och lite vad det är för dator/surplatta/telefon.

      Simon Rybrand
  17. Hej!

    När jag kollar på alla hemsidor så lyder pq formeln: x = -p/2 +- (roten ur) (p/2)^2 -q men när jag kollar på videon och alla dina exempel så har du inte tagit minus p/2 utan bara p/2 som det är vilket ger ett helt annat tal.

    Detta ger t.ex. x1 och x2 under punkt 2: x1 = 1 och x2 = -3 istället för x1 = 3 och x2 = -1

    Är det något jag har missförstått från grunden? Det var 5 år sedan jag gick ur gymnasiet och jag gick endast Matematik B vilket gör att jag har svårt att komma ihåg vissa saker, jag behövde friska upp minnet på pq-regeln genom att kolla på internet men det går inte riktigt ihop nu.

    Kevin Coldevin
    1. Hej,
      Man skriver som du säger pq – formeln som
      $ x^2+px+q=0 ⇔ $
      $ x=-p/2 ± \sqrt{(p/2)^2-q} $

      Så om du har +px i ekvationen så kommer det att bli -p/2. Men om du har -px så får du istället +p/2. Det är det som är fallet i denna video. Kika gärna på genomgången om pq formeln hos oss så går vi igenom just detta där.

      Simon Rybrand
  18. Förstår lite halvt, allt detta i första kapitlet.. Antar att det är öva öva öva som gäller..
    Men så stöter jag på detta problem i boken:
    f(x) = x^2 – 10x + 16
    Svaret ska tydligen vara (x-2)(x-8) i facit. Men om jag försöker kontrollrätta svaret så får jag x^2 – 8x – 2x + 10. Varför inte 16 i slutet som i början på frågan?
    Svaret som jag trodde var rätt var (x-5)(x-5)… Förstår inte alls.. 🙁

    Caroline
    1. Hej!

      När du kontrollrättade svaret har du plussat 8 med 2 istället av att multiplicera dem: 2*8 = 16

      Pedro Veenekamp
      1. Men är man tröttmössa eller? 🙂 Tack!! Verkligen!

        Caroline
  19. Hej! finns det klipp där du går igenom hur man bestämmer extrempunkter och avgör om de är lokala maximi eller minimipunkter? Har stött på flera sådana tal nu och förstår inte hur man räknar ut dessa. Exempel:
    f(x) =x^2 + 5

    Misho
    1. Hej, ja sådana videos finns. Börja med den här om extrempunkter och fortsätt sedan framåt i lektionerna.

      Simon Rybrand
  20. Hur faktoriseras polynom som denna? p(x)=2x³+7x²-4x-2

    Samuel Rörgren
    1. Hej
      Ett sätt att faktorisera polynom som det är att hitta en lösning x = a först till p(x)=0. Det kan för vissa polynom göras genom att pröva några enkla lösningar som x=…, x=-2,x=-1,x=1,x=2,…
      Sedan används faktorsatsen och polynomdivision för att faktorisera. Se gärna videos i Matematik 4 om detta.
      Här testade jag att rita ut polynomet först för att kunna se nollställena men detta polynom har inga enkla nollställen alls. Så då är nog det enklaste att använda dig av en graf för att faktorisera.
      Stämmer polynomet så att du inte får en alltför svår faktorisering?

      Simon Rybrand
  21. Hej.

    Hur bestämmer jag extrempunkter på F(x) = 2x^2 -8x – 5? 🙂

    Mathias Nilsson
    1. Hej, har du jobbat med symmetrilinjer i matematik 2 eller derivata och extrempunkter? Funderar på vilken metod som jag skall visa dig. Nämn gärna vilken kurs som du går.

      Simon Rybrand
  22. I det sista exemplet, kan man inte kvadratkomplettera istället och ”gå bakvägen”?

    p(x)=x²-2x-3 -> x²-2x-3=0 -> x²-2x+1=4 -> (x-1)²=4 -> x-1=±2 -> x=1±2 -> x1=-1 x2=3.

    Och om vi då ska svara faktoriserat så borde det helt enkelt vara tvärtom dvs, f(x)=(x-3)(x+1).

    Fredrik Eriksson
    1. Hej
      Du kan absolut kvadratkomplettera där istället för att använda dig av pq formeln. Kvadratkomplettering lyfts sälla fram i dessa områden men det funkar absolut lika bra som att använda sig av pq formeln (som kommer från kvadratkomplettering). Se bara upp så att du kan göra det exempelvis om du har en koefficient som skall multipliceras med faktorerna (se videon om detta).
      Kika gärna på det sista exemplet också i övningarna där vi går igenom en liknande uppgift!

      Simon Rybrand
  23. var kan jag hitta information om dessa polynomräkneregler?

    När jag ska förenkla samt bestämma graden. vad är skillnaden eller tankesättet när det är (ekvation) – (ekvation) och (ekvation) * (ekvation) te x (3x^2 – 2x) * (x^2 – 5) tolkar jag som vanligt (a+b)(a-b) ??

    (x^2+3x-4)-(x^2-4-) men här är det annorlunda?

    Joel Håkansson
    1. Hej
      Du kan kika på reglerna för att förenkla och utveckla algebraiska uttryck. Här kan det vara bra att gå igenom de första 5 lektionerna till Matematik 2 där dessa saker gås igenom från grunden.
      För att utveckla $ (3x^2 – 2x)⋅(x^2 – 5) $ så använder du reglerna för att multiplicera ihop parenteser (utvidgade distributiva lagen).
      När du skall förenkla (x^2+3x-4)-(x^2-4-?) så behöver du tänka på att när du tar bort en parentes där det står minus framför denna så ändras tecknen. Dvs
      (x^2+3x-4)-(x^2-4-?) = x^2+3x-4-x^2+4+?
      (Lät det stå ? då det fattades något där i ditt exempel)

      Simon Rybrand
  24. Jag har några som jag ska faktorisera men behöver hjälp med.
    p(x) = 5×2 – 15x
    p(x) = x2 – 6x + 5

    Alla Sapkina
    1. Hej
      Har svårt att tolka dina uttryck här, menar du tex $5·2-15x$?

      Simon Rybrand
      1. 5x*2 och x*2 på den andra

        Alla Sapkina
        1. Ja om det är multiplikation där så $p(x) = 5·2 – 15x= 5(2-3x)$ och den andra blir då omöjlig att faktorisera. Om det hade varit $p(x)=x^2-6x+5$ så hade den gått att faktorisera.

          Simon Rybrand
  25. Om man ska bestämma ett algebraiskt uttryck när man har följande p(-4)= P(2)=0 och p(1) = -10 hur ska man då tänka?

    Mattefreak
    1. Du har nollställena $x=-4$ och $x=2$ vilket ger oss faktorerna $(x+4)$ och $(x-2)$ och vi kan skriva uttrycket som
      $ p(x)=k(x+4)(x-2) $
      För att bestämma konstanten k så använder du villkoret att $ p(1) = -10 $
      Kommer du vidare utifrån detta?

      Simon Rybrand
      1. Tack, nu är jag åter på spåret!

        Mattefreak
  26. Hej! Har verkligen problem med att lösa detta tal. Kan du hjälpa mig? 🙂
    x^2 −x−6 / x^3 + 2x^2

    Davidahl
    1. Vad skall du göra i uppgiften? Förenkla?

      Simon Rybrand
      1. Oj, glömde skriva det! Precis, behöver hjälp att förenkla. 🙂

        Davidahl
        1. Ok, så här kan du göra:
          $\frac{x^2 −x−6}{x^3 + 2x^2} = \frac{\left(x+2\right)(x-3)}{x^2(x + 2)} = \frac{(x-3)}{x^2} $

          Simon Rybrand
  27. På fråga 4 är även alternativ 2 en korrekt faktorisering.

    På fråga 8 är även b=-2 en lösning. Den negativa lösningen tappas i steget när man tar ”roten ur” på båda sidor i ekvationen.

    camilla ekesiöö storm
    1. Faktorisera polynomet så långt som möjligt skall det stå istället.

      Simon Rybrand
  28. Kan inte polynomet på fråga 4 faktoriseras till f(x)=x^2(2+3x)(2-3x)?

    Ebelia Perlkvist
    1. Hej
      Ja det är en mer fullständig faktorisering, vi korrigerar detta.

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: