Polynomekvationer

Exempel 1

Lös ekvationen  $z^2=-4$z²=−4 och markera rötterna i det komplexa talplanet.

Lösning

Polynomet har enbart reella koefficienter. Därför kommer eventuelle icke-rella rötter i konjugerade par.

Vi löser ekvationen.

 $z^2=-4$z²=−4 

 $z^2=4i^2$z²=4i²

 $z=\pm2i$z=±2i  

Vi markerar de två rötterna $z_1$z₁ och $z_2$z₂  i det komplexa talplanet.

Exempel 2

Lös ekvationen  $z^4+625=0$z⁴+625=0  och markera rötterna i det komplexa talplanet.

Lösning

Polynomet har enbart reella koefficienter. Därför kommer eventuelle icke-rella rötter i konjugerade par.

Vi löser ekvationen.

 $z^4+625=0$z⁴+625=0  

 $z^4=-625$z⁴=−625 

Skriv om HL och VL i polär forom.

 $VL=z^4=r^4\left(\cos4v+i\text{ }\sin4v\right)$VL=z⁴=r⁴(cos4v+i sin4v)

 $HL=625\left(\cos\pi+i\text{ }\sin\pi\right)$HL=625(cosπ+i sinπ) 

För att likheten $VL=HL$VL=HL ska gälla, måste $r^4(\cos4v+i\text{ }\sin4v)=625\left(\cos\pi+i\text{ }\sin\pi\right)$r⁴(cos4v+i sin4v)=625(cosπ+i sinπ) .

Det leder till att

$\begin{cases} r^4=625\\ 4v=\pi +n \cdot 2\pi  \end{cases}$

Vi får att

 $r^4=625$r⁴=625   

 $r=5$r=5

Vi tar bara med den positiva roten eftersom att $r$r motsvarar absolutbeloppen av $z$z.  

 $v$v får vi fram genom att

 $4v=\pi+2\pi n$4v=π+2πn 

 $v=\frac{\pi}{4}+n\cdot\frac{\pi}{2}$v=π4 +n·π2  

De fyra olika lösningarna får vi nu av att sätta värden på $n$n och förenkla ekvationen.

Men vi vet också att då polynomen enbart hade reella koefficienter kommer icke-reella rötter i konjugerade par.

För  $n=0$n=0 gäller att

  $v=\frac{\pi}{4}+0\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}$v=π4 +0·π2 =π4   som ger att    $z₁=5(\cos\frac{\pi}{4}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{4})=$z₁=5(cosπ4 +i sinπ4 )= $\frac{5}{\sqrt{2}}+i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$5√2 +i 5√2   

Då denna rot är icke-reell är även   $z_2=$z₂= $\frac{5}{\sqrt{2}}-i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$5√2 −i 5√2   en lösning till ekvationen.

För  $n=1$n=1 gäller att

 $v=\frac{\pi}{4}+1\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{4}$v=π4 +1·π2 =3π4   som ger att   $z_3=1(\cos\frac{3\pi}{4}+i\text{ }\sin\frac{3\pi}{4})=$z₃=1(cos3π4 +i sin3π4 )=$-\frac{5}{\sqrt{2}}+i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$−5√2 +i 5√2  

Även detta är en icke-reell rot, och vi har då att  $z_4=$z₄= $-\frac{5}{\sqrt{2}}-i\text{ }\frac{5}{\sqrt{2}}$−5√2 −i 5√2  

Markerar vi dessa i det komplexa talplanet motsvarar rötterna hörnen i en regelbunden fyrhörning (kvadrat).

Vi får att de fyra lösningarna är

$\begin{cases} z_1=\cos \frac{\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{\pi }{8}\\ z_2=\cos \frac{5\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{5\pi }{8}\\z_3=\cos \frac{9\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{9\pi }{8}\\z_4=\cos \frac{13\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{13\pi }{8} \end{cases}$