...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Permutationer

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Fakultet

Innan man kan göra beräkningar på permutationer kan det vara bra att känna till begreppet fakultet som betecknas med symbolen ! (utropstecken). När k! beräknas multipliceras alla heltal från k till 1 med varandra, några exempel på detta kan vara:

  • 4! = 4⋅3⋅2⋅1 = 24
  • 2! = 2⋅1 = 2
  • 4!⋅2! = 4⋅3⋅2⋅1⋅2⋅1 = 24⋅2 = 48
  • 0! definieras som 0! = 1.
...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Permutationer och dess innebörd

En permutation innebär följande.

En permutation anger på hur många vis ett ordnat urval utan återläggning kan ske av $k$ element bland $n$ element.

Man beräknar antalet permutationer av $k$ element bland $n$ element genom

$ P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} $

Dvs du väljer ut element/föremål/personer ur en grupp till bestämda platser eller med en speciell ordning mellan dessa utvalda element.

Så om du skall beräkna antalet permutationer av 2 element bland 10 element beräknas

$ P(10, 2) = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1} = 10⋅9 = 90 $

Det här kan då tolkas som att det finns 90 olika sätt att göra ett ordnat urval av 2 personer bland 10 personer.

Exempel i videon

  • På hur många sätt kan man välja 3 personer ur en grupp på 6 personer till en båtbesättning med rollerna kapten, styrman och maskinist.
  • Beräkna P(10, 3)
  • Beräkna P(100, 2)
  • Beräkna 3!
  • Beräkna 5!
  • Definition av 0!
  • Beräkna 3!⋅2!
  • Beräkna $ \frac{1000!}{(1000-2)!} $
  • Förklara innebörden av P(4, 3)
  • På en musikskola där 10 elever är inskrivna väljs varje vecka elever till en grupp med rollerna basist, gitarrist, trummis och pianist och spelar en låt. Hur många år kommer det att ta innan alla möjliga musikgrupper har spelat? Under ett år har musikskolan öppet 40 veckor.

Kommentarer

Adam Johansson

Hej,

En viktig uppgift som ofta dyker upp är denna:
Hur många ”ord” kan bildas av (t.ex.) ordet ”Banan”?
Det är ju P(5,3)=60. Men sen ska man dela med 2!.
Kan ni förklara det sista steget på ett bra sätt så man kan alla uppgifter som liknar denna 🙂
Mvh, Adam Johansson

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det sista steget du har där beror på att du har samma bokstäver a och n i ordet banan två gånger. Så vi måste räkna dem som samma. Hjälper detta dig vidare?

mikaelhagfeldt@gmail.com

Påbörjade nyligen kapitlet om Permutationer och har kört fast på en uppgift. Den lyder:

”Hur många delmängder med två element finns av mängden A = [1, 2, 3, 4, 5]? Observera att elementen i mängder inte är ordnade. Man skiljer med andra ord inte på mängderna [1, 2] och [2, 1]”

Jag kom fram till att man kan använda sig utav n!/(n-r)!, dock ger det ett dubbelt så stort svar än det svar som står i facit. Jag får fram 20 lika permutationer, men svaret anger att det endast skall vara 10. Vad gör jag för fel?

MVH

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Eftersom inte ordningen spelar någon roll så är detta en kombination och inte en permutation. Du skall undersöka hur många kombinationer det finns av 2 element ur mängden med 5 element. Dvs:
    ${5 \choose 2} = \frac{5!}{2!\left(5-2\right)!} =$
    $\frac{5!}{2! \, 3!}=\frac{5⋅4}{2⋅1}=\frac{20}{2}=10$

      mikaelhagfeldt@gmail.com

      Jaha? Är det alltid så att man dividerar en extra gång med r! när det gäller kombinationer? Eller alternativt multiplicerar med 1/r! ?

        Simon Rybrand (Moderator)

        Ja när det är en kombination så delar du med r! (eller k!) för att plocka bort de kombinationer som är samma. Se gärna videon där vi jämför permutationer och kombinationer.

Sandra Grantelius

Nummer 6 är fel. I förklaringen är 40320 rätt men av alternativen säger den att 8 är rätt.

Tack för en otroligt bra hemsida!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Kul att du gillar sajten! Uppgiften skall nu vara rätt kodad så att rätt alternativ stämmer.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $6!$6!

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna  $4!-2!$4!2! 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $P(9, 9)$.

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    I en partistyrelse med $14$ medlemmar skall det väljas en ordförande, en kassör, en suppleant och en vice ordförande. På hur många sätt kan dessa fyra roller väljas?

    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    En familj med två föräldrar och tre barn har en bil med $5$ platser. Varje söndag åker hela familjen till mormor. De bestämmer sig för att prova nya platser i bilen varje gång. Det är bara föräldrarna som har körkort. Hur lång tid tar de innan alla möjliga placeringar i bilen är använda?

     

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Woolloomooloo är en förort till Sydney, Australien.
    Hur många ”ord” kan bildas av bokstäverna i WOOLLOOMOOLOO?

     

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Hur många permutationer finns det av $p$ element bland $p$ element?

    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av följande uttryck är en omskrivning av $n!+(n+1)!$ ?

     

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar