...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Partiell Integration

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Partiell Integration

Med partiell integration ges en möjlighet att integrera (bestämma primitiv funktion) till vissa produkter av funktioner som annars är mycket svåra att integrera. Ordet partiell betyder ungefär ”en del av” och idén här är att dela upp integralen i olika delar och på det viset hitta den primitiva funktionen.

Själva metoden eller formeln för att utföra en partiell integration är följande.

Metod Partiell integration

$\int f\left(x\right)g(x)\,dx=F(x)g(x)-\int F(x)g´(x)\,dx$

Här gäller att

  • g(x) är deriverbar och g´(x) är derivatan till g(x).
  • F(x) är primitiv funktion till f(x)

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Bestämda och obestämda integraler

Vi kan beteckna den primitiva funktionen på olika sätt och i det här sammanhanget är det vanligt att använda en obestämd integral för att beteckna en primitiv funktion. En obestämd integral är ett integraltecken men där vi inte tar med den övre och den undre gränsen. En bestämd integral är istället då vi tar med undre och övre gränser för integralen och oftast kan beräkna ett värde på denna.

Exempel 1

Bestäm den primitiva funktionen till $ f(x) = \frac{x^2}{2} $.

Lösning:

Vi kan beskriva den primitiva funktionen med $F(x)$:
$ F(x) = \frac{x^3}{6}+C $

Vi kan även beskriva den primitiva funktionen med en obestämd integral:
$ \int \frac{x^2}{2} \, dx= \frac{x^3}{6}+C $

Exempel på partiell integration

Exempel 2

Bestäm integralen $ \int sinx⋅x \, dx$

Lösning:

$ \int sinx⋅x \, dx =  (-cosx)⋅x – \int (-cosx)⋅1 \, dx $
$ -cosx⋅x – \int -cosx \, dx = $ $ -cosx⋅x – (-sinx) + C = $
$ -cosx⋅x + sinx + C $

Bevis Partiell integration

I beviset används att derivata och integraler är varandras motsatser samt produktregeln.

Vi utgår ifrån $ F(x)g(x) $ där $ F(x) $ är primitiv funktion till $ f(x) $.
$F\left(x\right)g(x) = \int \frac{d}{dx} (F(x)g(x))\,dx =$
$\int (F'(x)g(x)+F(x)g´(x))\,dx = \int (f(x)g(x)+F(x)g´(x))\,dx =$
$\int f(x)g(x)\,dx+\int F(x)g´(x)\,dx $

Alltså gäller att

$ F(x)g(x) = \int f(x)g(x)\,dx+\int F(x)g´(x)\,dx  ⇔ $
$ \int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x)  –  \int F(x)g´(x)\,dx $

V.S.B.

Exempel i videon

  • Bestäm $\int cosx⋅x \, dx$.
  • Bevis att $\int f\left(x\right)g(x)\,dx=F(x)g(x)-\int F(x)g´(x)\,dx$

Kommentarer

Campus Lidköping

Ska det inte vara g´(x) i ditt bevis?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej!
    Jo det skall det vara, vi ordnar det direkt!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (5)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm den obestämda integralen $ \int \, 4cos(x) dx$. (Partiell integration behöver inte användas.)

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm värdet för den bestämda integralen $ \int \limits_1^{4} \, \frac{1}{x} \, dx $

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm $ \int cosx⋅(x+10) dx$ med hjälp av partiell integration.

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm $ \int x⋅e^x \, dx$ med hjälp av partiell integration.

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Adam har fastnat på en uppgift där han med hjälp av partiell integration skall bestämma $ \int (5x-7)⋅e^x \, dx $. Nedan ser du hans lösning, vilket tips skulle du vilja ge honom för att komma vidare?

    $\int \left(5x-7\right)⋅e^x \, dx =$ $(\frac{5x^2}{2}-7x)⋅e^x – \int (\frac{5x^2}{2}-7x)⋅e^x \, dx $
    kommer inte längre…. 🙁

    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm $ \int cosx⋅x^2 \, dx $.

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm $\int x^2\cdot ln\left(x\right)dx$x2·ln(x)dx.

    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Bestäm  $\int e^x\cdot sin\left(x\right)dx$ex·sin(x)dx.

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar