Partiell integration - Lär dig metoden för att integrera

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 5

Partiell Integration

Integraler

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videon går vi igenom partiell integration. Vi går igenom hur och varför denna metod fungerar, tar exempel och gör ett bevis för att visa att metoden fungerar.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 500+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 3500+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 KR
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
1 vote, average: 4,00 out of 51 vote, average: 4,00 out of 51 vote, average: 4,00 out of 51 vote, average: 4,00 out of 51 vote, average: 4,00 out of 5
1
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
4

Text

Exempel i videon

  • Bestäm $\int cosx⋅x \, dx$.
  • Bevis att $\int f\left(x\right)g(x)\,dx=F(x)g(x)-\int F(x)g´(x)\,dx$

Partiell Integration

Med partiell integration ges en möjlighet att integrera (bestämma primitiv funktion) till vissa produkter av funktioner som annars är mycket svåra att integrera. Ordet partiell betyder ungefär ”en del av” och idén här är att dela upp integralen i olika delar och på det viset hitta den primitiva funktionen.

Själva metoden eller formeln för att utföra en partiell integration är följande.

Metod Partiell integration

$\int f\left(x\right)g(x)\,dx=F(x)g(x)-\int F(x)g´(x)\,dx$

Här gäller att

  • g(x) är deriverbar och g´(x) är derivatan till g(x).
  • F(x) är primitiv funktion till f(x)

Bestämda och obestämda integraler

Vi kan beteckna den primitiva funktionen på olika sätt och i det här sammanhanget är det vanligt att använda en obestämd integral för att beteckna en primitiv funktion. En obestämd integral är ett integraltecken men där vi inte tar med den övre och den undre gränsen. En bestämd integral är istället då vi tar med undre och övre gränser för integralen och oftast kan beräkna ett värde på denna.

Exempel 1

Bestäm den primitiva funktionen till $ f(x) = \frac{x^2}{2} $.

Lösning:

Vi kan beskriva den primitiva funktionen med $F(x)$:
$ F(x) = \frac{x^3}{6}+C $

Vi kan även beskriva den primitiva funktionen med en obestämd integral:
$ \int \frac{x^2}{2} \, dx= \frac{x^3}{6}+C $

Exempel på partiell integration

Exempel 2

Bestäm integralen $ \int sinx⋅x \, dx$

Lösning:

$ \int sinx⋅x \, dx =  (-cosx)⋅x – \int (-cosx)⋅1 \, dx $
$ -cosx⋅x – \int -cosx \, dx = $ $ -cosx⋅x – (-sinx) + C = $
$ -cosx⋅x + sinx + C $

Bevis Partiell integration

I beviset används att derivata och integraler är varandras motsatser samt produktregeln.

Vi utgår ifrån $ F(x)g(x) $ där $ F(x) $ är primitiv funktion till $ f(x) $.
$F\left(x\right)g(x) = \int \frac{d}{dx} (F(x)g(x))\,dx =$
$\int (F'(x)g(x)+F(x)g´(x))\,dx = \int (f(x)g(x)+F(x)g´(x))\,dx =$
$\int f(x)g(x)\,dx+\int F(x)g´(x)\,dx $

Alltså gäller att

$ F(x)g(x) = \int f(x)g(x)\,dx+\int F(x)g´(x)\,dx  ⇔ $
$ \int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x)  –  \int F(x)g´(x)\,dx $

V.S.B.

Kommentarer

  1. Ska det inte vara g´(x) i ditt bevis?

    Campus Lidköping
    1. Hej!
      Jo det skall det vara, vi ordnar det direkt!

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: