...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Parallella och Vinkelräta linjer

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

I den här lektionen går vi igenom egenskaperna hos parallella linjer och vinkelräta linjer. Framförallt lär du dig hur lutningen (k – värde) fungerar när linjer är parallella eller vinkelräta.

Två parallella linjer har samma lutning, dvs de har samma riktningskoefficient. Två vinkelräta linjer har en vinkel mellan dem som är $90^{\circ}$90. Om två vinkelräta linjers k-värden, $k_1$k1 och $k_2$k2, multipliceras med varandra så får du $k_1\cdot k_2=-1$k1·k2=1.

Parallella linjer

När två linjer på formen $y=kx+m$y=kx+m är parallella innebär detta att de har exakt samma lutning. Att de har samma lutning brukar ibland kallas för att de har samma riktningskoefficient, förkortat k-värde. Detta betyder också att de aldrig skär varandra. De har därför inte några gemensamma $x$ eller $y$ värden.

Definition av parallella linjer

Två parallella linjer $L_1=k_1x+m_1$L1=k1x+m1 och $L_2=k_2x+m_2$L2=k2x+m2 har samma lutning, dvs

 $k_1=k_2$k1=k2 

Parallella linjer

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Räkneexempel på parallella linjer

Exempel 1

En rät linje är parallell med $y=-x+2$y=x+2 och går genom punkten $\left(2,\text{ }3\right)$(2, 3) . Bestäm linjens ekvation på formen $y=kx+m$y=kx+m.

Lösning

Linjen $y=-x+2$y=x+2 har lutningen $k=-1$k=1.

Då linjerna är parallella så har de samma k-värde. Därför gäller att de har samma k-värde $-1$1.

Vi använder det samt att vi vet att linjen går genom punkten $\left(2,\text{ }3\right)$(2, 3)  för att ställa upp ekvationen

$3=\left(-1\right)\cdot2+m$3=(1)·2+m

$3=-2+m$3=2+m 

$5=m$5=m 

$m=5$m=5 

Nu har vi både linjens lutning och m-värde, den har ekvationen

 $y=-x+5$y=x+5 

Ritar vi ut de bägge linjerna så ser det ut på följande vis.

Exempel på parallella linjer

Vinkelräta linjer

När två linjer är vinkelräta innebär detta att vinkeln mellan linjerna är $90$90 grader. Sambandet mellan dessa bägge linjer blir då att när deras $k$-värden multipliceras med varandra ges produkten $-1$.

Definition av vinkelräta linjer

Två vinkelräta linjer $L_1=k_1x+m_1$L1=k1x+m1 och $L_2=k_2x+m_2$L2=k2x+m2 har en vinkel mellan dem som är $90^{\circ}$90. Förhållandet mellan riktningskoefficienterna är

 $k_1\cdot k_2=-1$k1·k2=1 

Vinkelräta linjer

Räkneexempel på vinkelräta linjer

Exempel 2

Exempel vinkelrät linje

I figuren är en rät linje utritad. Bestäm på formen $y=kx+m$y=kx+m den linje som är vinkelrät mot denna linje och som går genom punkten $\left(0,\text{ }1\right)$(0, 1).

Lösning

Den utritade blåa linjen skär y-axeln där $y=3$y=3. Den har därmed m-värdet 3.

Vi ser även att den går genom punkterna $\left(0,\text{ }3\right)$(0, 3) och $\left(1,\text{ }1\right)$(1, 1). Dess k-värde är därför

 $k=\frac{3-1}{0-1}=\frac{2}{-1}=-2$k=3101 =21 =2.

Den linje som är utritad är alltså $y=-2x+3$y=2x+3.

Vi skall nu ta reda på den vinkelräta linje som går genom $\left(0,\text{ }1\right)$(0, 1).

Vi använder sambandet $k_1\cdot k_2=-1$k1·k2=1 och får

 $-2\cdot k_2=-1$2·k2=1 

 $k_2=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$k2=12 =12 

Vi har nu dess k-värde och vill ta reda på m-värdet. Då linjen går genom punkten $\left(0,\text{ }1\right)$(0, 1) så vet vi dess m-värde. Där $x=0$x=0 så skär linjen y-axeln och då är $y=1$y=1. Därför är $m=1$m=1.

Linjens ekvation är alltså $y=\frac{1}{2}x+1$y=12 x+1.

Ritar vi ut linjen så ser det ut på följande vis.

Exempel lösning på vinkelrät linje 

Några av exemplen som vi går igenom i videon

  • En linje är parallell med $y = 2x – 1$ och går genom $(2, 5)$. Bestäm linjens ekvation.
  • En linje är vinkelrät med $y = -3x + 2$ och går genom origo. Bestäm linjens ekvation.

Kommentarer

Emil Nordlund

I videon där du ska sätta ut punkten (a,4) så sätter du ut den på (a,3) är det fel eller har jag missat något?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Du har inte missat, fel i grafiken där. Vi lägger in att detta skall korrigeras!

Louise Segerman

Hej!
En fråga, som jag verkligen inte hänger med på. )har precis börjat plugga matte b2.
Hur skriver jag en ekvation som är parallell men linjen y=3x*1,5 ?
Och hur ska jag tänka?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Tänk att linjerna skall ha samma lutning (k-värde) men olika m-värde (så att det inte är exakt samma linje). Om du är osäker på vad dessa saker innebär så kika gärna vidare på tidigare videos i detta kapitel.

Michel Tosu

Jag måste säga att jag gillade det andra exemplet i filmen. Det kändes krångligt att komma fram till A från början, men det är häftigt hur man kan lösa ut information som känns väldigt dold från början genom att ställa upp det i en ekvation! =)

Axel

Hej, har lite funderingar på sista exemplet i din video. Vid 06:41 i videon så har du beräknat K men därefter sätter du inte ett nytt K-värde (det som stod i början) varför gör man så?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Där beräknar vi inte ett nytt k-värde utan vi har två sätt att uttrycka samma lutning k på. Dvs att
    $ k=\frac{4}{a} $ och $ k=\frac{2}{a-1} $
    Då kan vi ta reda på konstanten $a$ genom att lösa den ekvation som löses i videon.

      Axel

      Jaha okej, tack!

Sandra Sahlsten

Hej! Har lite hjärnsläpp på en uppgift; skriv en ekvation där k=2 (3,1) med hjälp av enpunktsformeln.. Tack på förhand!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Du har punkten $ (x_1,y_1)=(3,1) $ och lutningen $k=2$ och ställer du upp denna information med hjälp av enpunktsformeln får du
    $ y-y_1=k(x-x_1) $
    Sätt in punktens koordinater och k-värdet
    $ y-1=2(x-3) ⇔$
    Multiplicera in 2 i parentesen
    $ y-1=2x-6 ⇔$
    Addera bägge leden med 1
    $ y=2x-5$
    Här har du räta linjens ekvation

      Sandra Sahlsten

      Okej tack,den ekvations formeln har jag sett i boken med men i detta talet då så undrar jag då varför det inte blir + när man tagit bort parentesen och hur blir det -6 & sen -5.. Tacksam för svar…

        Simon Rybrand (Moderator)

        Uppdaterar och skriver lite mer förklaringar kring varje steg

Karl

Hej,
Jag har två frågor jag inte riktigt hänger med på.
1) Fråga 7 (Lösningen)

2y – 10x = 8

2y = 10x + 8

Hur kommer det säg att om man flyttar = tecknet blir det 10x + 8?
—————————————————————————–
2) fråga 8.

a/b ⋅ k2= −1

Min fråga: Om man vill ha ett bråk med okända variabler t.ex a/b att bli 1 så multiplicerar man det med det ”spegelvända” bråket= a/b ⋅ b/a = 1
och i det här fallet a/b ⋅ -a/b = -1?

    Karl

    Skrev fel på det sista. ska vara:
    a/b ⋅ -b/a = -1?

      Simon Rybrand (Moderator)

      Hej
      Man flyttar egentligen inte likhetstecknet utan man skriver om funktionsuttrycket på samma vis som man jobbar med en ekvation. Tankegången der ut på följande vis:
      $2y – 10x = 8$
      Addera med $10x$ i bägge leden
      $2y = 10x+ 8$
      Dela med $2$ i bägge leden
      $y=5x+4$
      ———
      På din andra frågan så verkar det som att du tänker helt rätt då
      $ \frac{a}{a}=1 $ och $\frac{b}{b}=1$

Sandra Grantelius

Felskrivning i uppgift 6?
I frågan står det att lutningen är x/3 men i svaret står det 1/3.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Nej det är ingen felskrivning, utan lutningen är 1/3 då
    $ \frac{x}{3}=\frac13 x $
    Har uppdaterat förklaringen till uppgiften där vi nu resonerar kort om just detta.

RedEagle

Hej,

Jag förstår inte hur man kommer fram till svaret i uppgift 8. Varför blir svaret -b/a och inte
-a/b?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Om två linjer är vinkelräta så gäller att om vi multiplicerar deras k-värden (lutningar) med varandra så får vi $-1$.
    För att få detta så skall den andra lutningen vara $-b/a$. Det kanske blir tydligare varför om vi sätter in tal istället för a och b.
    Låt säga att $a=2$ och $b=3$ och vi söker ett $k$ så att
    $ \frac{2}{3}·k=-1 $.
    Om $ k=\frac{-2}{3} $ så får vi $\frac{2}{3}·\frac{-2}{3}=\frac{-4}{6}$
    Om $ k=\frac{-3}{2} $ så får vi $\frac{2}{3}·\frac{-3}{2}=-1$
    Det är alltså viktigt att vi har $-b/a$

      RedEagle

      Tack nu förstår jag 🙂

Jerry Andersson

Hur räknar du ut:

Bestäm ekvationen för den linje som går igenom origo och är vinkelrät mot:

a)

x-y+1=0

b)

3x+2y+2=0

    Simon Rybrand (Moderator)

    Om du vet att linjen skall gå genom origo så vet du att denna linjes m-värde är 0. För att ta reda på k-värdet så kan du först skriva om linjen så att den står på k form:
    $x-y+1=0⇔$ (flytta över y till andra sidan likhetstecknet)
    $y=x+1$
    Om linjerna skall vara vinkelrät så skall du få $(-1)$ när deras k-värden multipliceras med varandra.
    Därför har linjen du söker k-värdet $(-1)$ då $ (-1)⋅1=(-1) $
    Alltså gäller att linjens ekvation är
    $ y=(-1)x $
    Hoppas att detta hjälper dig vidare!

Sebastian Törnqvist

Uppgift 2, är inte ett positivt k-värde en indikator på att det ska vara en ”uppåtlutning” (från vänster till höger). Det står att svaret är k=4 men ni vill att man ska dra linjen så att svaret är k=-4

Kan vara jag som är förvirrad.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Jag kikade på uppgiften och det skall vara rätt i denna, dvs det är endast k = 4 som ger rätt svar. Uppgiftens rätta svar är utritad som en blå linje, den linje man själv har ritat ut visas i grå färg, finns dessa med?
    Säg till om det fortfarande inte fungerar, då får vi kika på om det är något annat som gör att rättningen inte fungerar, tex i en viss webbläsare.

Jenrom

En till fråga här, på uppgift 4, i svaret står det:
-1/3 cdotk2 = -1

Vad menas med bokstäverna??
Mvh

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det har blivit ett fel i latexkoden som skriver ut matematiken här på sajten. \cdot betyder multiplikation så det skall stå $ \frac{-1}{3} \cdot k_2 = -1 $. Tack för att du påpekade detta, det är korrigerat.

Jenrom

Hej, jag tror jag har lite hjärnsläpp här nu..

Men när man ska räkna ut m-värdet i uppgift 3.
Jag är med på beräkningen: 1=-2*1+m
Men hur kommer det sig att svaret bli 3=m?

Jag tänker att uträkningen bör bli: (-2)*1+1=-3

Är det så att det bli 3=m för att de bägge ettorna är positiva och att (-2) då ändra till 2?
Mvh Jenny

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Du har här ekvationen $ 1=-2⋅1+m $ där du vill få m ensamt. För att få m ensamt så behöver vi addera med 2 i bägge leden (kika gärna på metoden för ekvationslösning). Det ser då metodmässigt ut på följande vis:
    $ 1=-2⋅1+m ⇔ $
    $ 1=-2+m ⇔ $ (+2 i bägge leden)
    $ 1+2=-2+2+m ⇔ $ (-2+2=0)
    $ 3=m ⇔ $
    $ m=3 $
    Hoppas att detta hjälper dig att förstå!

      Jenrom

      Åh! Såklart! Nu fattar jag! Tack så jättemycket

Nathalie Larsson

Hej, använder Chrome. HAr igår och idag gjort testen, men när jag är klar så snurrar den bara, kan aldrig välja att jag vill spara eller rensa.

Känns dumt när man ändå lagt ner tid på att göra testen.

Är det något fel på sidan? För har både försökt hemma och på skolans datorer, men alltid samma sak

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Det låg ett tekniskt problem i rättningen av uppgiften som vi nu har åtgärdat. Säg till om du fortfarande har problem.
    Nu skall det också gå bra att se förklaringarna till varje uppgift.

Nathalie Larsson

menar man at kx värdet alltid skall vara detsamma som x-värdet i kordinat x??

Jane_Ch

Jag fattar inte hur kan K=-1/-3= 1/3 på den andra ekvation

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, om du delar ett negativt tal med ett annat negativt tal så får du ett positivt svar. Därför är
    $ \frac{-1}{-3}=\frac{1}{3} $

      Jane_Ch

      jaha tack!

nti_ma2

Tack för väldigt bra videogenomgångar!
Fr.o.m. 05:40 är punkten (a,4) felplacerad. Du säger och skriver att y = 4 men punkten är placerad på y = 3 i rutnätet.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, tack för att du uppmärksammade oss på detta. Det skall vi korrigera så fort som möjligt.

Shahad

Hej!
Jag har en fråga som jag har svårt att lösa. Undrar om du kan hjälpa mig med det?
Frågan: Punkten (2,2) speglas i linjen y= -0,5x + 2
Finn koordinaterna för spegelbilden.
Mvh

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hejsan, vi kan anta att spegelbilden befinner sig i punkten S(a, b) och vi kallar punkten (2, 2) för P. Då gäller att linjen PS är vinkelrät mot y = -0,5x + 2 och skärningspunkten mellan linjerna befinner sig i mittpunkten. (rita gärna ut en figur).

    Eftersom linjerna är vinkelräta gäller att
    $ -0,5 \cdot k_2 = -1 \Leftrightarrow $
    $ k_2 = 2 $
    Vi har k – värde och punkten P på linjen PS vilket ger att
    $ 2 = 2 \cdot 2 + m \Leftrightarrow $
    $ m = -2 $
    Linjen PS har alltså ekvationen
    $ y = 2x – 2 $

    För att ta reda på mittpunkten, och kunna använda mittpunktsformeln för att räkna ut spegelbildens koordinater, använder vi ekvationssystemet
    $ y = 2x – 2 $
    $ y = -0,5x + 2 $
    ——–
    $ 2x – 2 = -0,5x + 2 \Leftrightarrow $
    $ 2,5x = 4 \Leftrightarrow $
    $ x = 1,6 $
    och
    $ y = 1,2 $

    Nu används mittpunktsformeln för att ta reda på koordinaterna, vi får
    1,6 = (a + 2)/2
    a = 1,2

    1,2 = (b + 2)/2
    b = 0,4

    Nu har vi S(a, b) och denna har koordinaterna
    (1,2; 0,4)

    Det är ganska många olika steg här och jag kan förstå om det är mycket på en gång.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (8)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Dra punkt A och B så att linjen är parallell med $y=2x-2$y=2x2.

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Dra punkt A och B så att du får en linje som är vinkelrät mot linjen $y=\frac{-x}{4}+2$y=x4 +2 

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Är linjen $y=3x+2$y=3x+2 vinkelrät mot linjen $y=-3x+2$y=3x+2 

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Är linjen $y=-\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}$y=32 x+13  vinkelrät mot linjen $y=\frac{2}{3}x+2$y=23 x+2 ?

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M1
    R
    K

    Linjen A är parallell till $y=-2x+12$y=2x+12 och går genom punkten $(1,1)$(1,1). Bestäm linje A:s ekvation på formen $y=kx+m$y=kx+m.

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    En linje är vinkelrät mot $y=$y=$-\frac{x}{3}$x3 $-11$11. Vilken är linjens lutning?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    En linje är parallell med linjen $2y-10x=8$2y10x=8.
    Vilken är linjens lutning?

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M1
    R
    K

    Linjen $L_1$L1 har ekvationen $y=\frac{a}{b}x$y=ab x och är vinkelrät mot linjen $L_2$L2.
    Hur kan ekvationen för $L_2$L2 se ut?

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar