Naturliga logaritmen ln och talet e – Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Naturliga logaritmen ln och talet e

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videon går vi igenom den naturliga logaritmen ln. Den naturliga logaritmen används när man löser exponentialekvationer på basen e och är användbar vid derivering av exponentialfunktioner.

26 votes, average: 4,38 out of 526 votes, average: 4,38 out of 526 votes, average: 4,38 out of 526 votes, average: 4,38 out of 526 votes, average: 4,38 out of 5
26
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
3

Text

Exempel i videon

  • Förklaring av innebörden av $ ln 2$ och $ ln e $.
  • Beräkna $ ln e $.
  • Beräkna $ ln 2 $.
  • Lös ekvationen $ e^x=7 $.
  • Lös ekvationen $ 3 \cdot e^x=9 $

Den naturliga logaritmen och talet e

Sedan tidigare känner du säkert till tiologaritmen som använts för att lösa exponentalekvationer. Det går även att använda logaritmer som har basen $e$. Dessa logaritmer kommer till användning när man löser exponentialekvationer med basen $e$ samt när exponentialfunktioner som innehåller denna bas skall deriveras. Då blir derivatan enklare att hantera än andra exponentialfunktioner.

Just talet $e$ kan liknas vid exempelvis talet $\pi$ och har egenskaper som exempelvis gör det enklare att derivera exponentialfunktioner. Talet $ e $ har oändligt antalet decimaler men en avrundning kan se ut enligt följande.

$ Talet \, e ≈ 2,7182818 $

Om vi definierar den naturliga logaritmen så kan detta göras på följande vis.

Den naturliga logaritmen till ett tal $a$, är det tal som om man upphöjer $e$ till, så att det ger talet $a$.

Exponentialekvationer med basen e

Nedan följer ett exempel på hur den naturliga logaritmen kan användas för att lösa exponentialekvationer med basen e.

Lös ekvationen $ 10e^{x} = 4 $

Lösning:

$ 10e^{x} = 4 ⇔ $ (/10)

$ e^{x} = 0,4 ⇔ $ (Logaritmera)

$ lne^{x} = ln0,4 ⇔ $ (Logaritmlag)

$ xlne = ln0,4 ⇔ $ (lne=1)

$ x = ln0,4 ≈ -0.916$

Kommentarer

  1. du säger i videon att ”vi har gått igenom talet e förut” men det är väl inte förklarat i någon av videorna under matte c.. så jag undrar, var finns förklaring?

    nordlundkajsa
    1. (uppdatering: videon är åtgärdad)
      Hej och tack för din kommentar, nej det finns ingen tydlig video riktad till just talet e. Skall ändra informationen i videon så snart som möjligt för att det inte skall vara missvisande.

      Är det något speciellt du undrar över talet e och hur det fungerar så hjälper jag dig gärna vidare här i kommentarerna så länge.
      /Simon

      Simon Rybrand
  2. Hur löser man ett tal som ser ut såhär då? ln(x-1)=2

    Luem
    1. Hej,
      Du kan använda ln baklänges (invers), dvs $ e^x $ så att du löser ekvationen på följande vis:
      $ ln(x-1)=2 $ (ln invers)
      $ x-1=e^2 $ (+1)
      $ x=e^2+1 $

      Simon Rybrand
  3. Är det bara jag som inte kan se videon ”Deriveringsregler Polynom” ? När man försöker öppna den videon fås bara ett felmeddelande.

    komvux_boras
    1. Hej, vi kikade på detta och kunde få igång videon både i webbläsaren (firefox) och i en mobil webbläsare. Kollar du på genomgången på datorn eller på mobil/läsplatta? Du kan alltid kontakta oss här om du har frågor om tekniken.

      Simon Rybrand
      1. Hmm, skumt. Jag kollar i datorn (explorer) och de andra videorna kan jag ju se. men just denna verkar inte stödjas.
        Skulle du kanske kunna tipsa om en liknande videgenomgång?

        komvux_boras
  4. När nu definitionen av ln x är ”det tal man tar e upphöjt till för att få x” så blir ju svaren ganska givna utan mellansteg, eller missförstår jag något? 🙂

    nti_ma3
    1. Nej du har förstått definitionen rätt.

      Simon Rybrand
  5. kan du hjälpa mig med den här uppgiften fattar inte hur jag ska göra

    4e^4x = 16

    davdav112
    1. Hej, du har alltså ekvationen
      $ 4e^{4x} = ⇔16 $ (/4)
      $ e^{4x} = 4 $
      Här kan man sedan logaritmera med ln på bägge sidor av likhetstecknet:
      $ lne^{4x} = ln4 ⇔$ (logaritmlag)
      $ 4x⋅lne = ln4 ⇔$ (ln e = 1)
      $ 4x = ln4 ⇔$ (/4)
      $ x = \frac{ln4}{4} ≈ 0,347 $

      Simon Rybrand
  6. om nu e är = det tal man tar det upphöjt till, kan ju inte värdet vara 2,718??

    studying
    1. Hej, nej e är just bara ett tal som har en del speciella egenskaper, framförallt i kombination med derivata, utan det är tex talet ln 2 som är det tal man upphöjer e med för att få 2.

      Simon Rybrand
  7. vad betyder pilarna och dollar-tecknen?

    studying
    1. Hej, vi omger matematiska beräkningar och formler på sajten med dollartecken och sedan skall sajten rendera om det till tydligare matematiskt symbolspråk, det skall alltså inte behövas synas dollartecken och pilar men om man exempelvis har javascript avstängt i webbläsaren så kan det hända att detta inte fungerar. Kontakta oss gärna om du har problem med detta.

      Simon Rybrand
  8. Hur gör jag med ett tal som t.ex detta:

    ln(x) – ln(x-1) = 1.

    Jag har förstått processen med logaritmlagarna vilket ger:

    ln(x/x-1) = 1 -> x/x-1 = e^1. Men hur går jag vidare här?

    nti_ma3
    1. Du har alltså kommit till ekvationen
      $ \frac{x}{x-1} = e $
      Vi skulle här kunna lösa ut x enligt:
      $ \frac{x}{x-1} = e ⇔ $
      $ x = e(x-1) ⇔ $
      $ x = ex-e ⇔ $
      $ x – ex = -e ⇔ $
      $ x(1 – e) = -e ⇔ $
      $ x = \frac{-e}{(1 – e)} $

      Simon Rybrand
  9. Jag vill bara säga tack så jättemycket för dina videos! Dom är guld värda! Man läser igenom förklaring och exempel i boken 5 gånger utan att fatta något, sen kollar man dina videos EN gång och då förstår man plötsligt allt som står i boken! Tack

    nti_ma3
    1. Härligt att läsa att du blir hjälpt av våra genomgångar, fortsatt lycka till med pluggandet!

      Simon Rybrand
  10. skulle du kunna göra en video med exempel på hur man anv logaritmlagarna? vi måste kunna dom utantill

    BotenAnnie
    1. Hej! På vilket sätt tänker du användning av logaritmlagarna? I problemlösning eller att skriva om lite krångligare uttryck med hjälp av lagarna?

      Simon Rybrand
  11. Hej, strålande lektion! Efter dessa sidor om lne i ma3c boken så kommer det ”derivatan av Y = 2^x” finns detta på genomgång på video här någonstans?

    mvh,
    Emil

    darrrrUC
  12. Har kört fast med detta tal så nu behöver jag hjälp!
    Lös ekvationen f'(x)=0 om f(x)=e^2x-e^x

    annas
    1. Hej, här deriverar du först och sedan får du lösa ekvationen f'(x) = 0.

      $ f'(x) = 2e^(2x)-e^x $
      $ f'(x) = 0 ⇔ $
      $ 2e^{2x}-e^x = 0 ⇔$ (+e^x)
      $ 2e^{2x}= e^x ⇔$ (logaritmera)
      $ ln(2e^{2x})= lne^x ⇔$ (logaritmlag i VL)
      $ ln2 + lne^{2x}= lne^x ⇔$ (logaritmlag i VL och HL)
      $ ln2 + 2x⋅lne= x⋅lne ⇔$ (lne=1)
      $ ln2 + 2x= x ⇔$
      $ x = -ln2 $

      Simon Rybrand
  13. Hej, tack för en bra sida. Kan inte öppna ”Deriveringsregler polynom”, Internet explorer slutar fungera varje gång. Fungerar det för andra eller ska jag ladda ner en annan webbläsare?

    jenca
    1. Hej, vi testade i firefox, IE, safari och chrome och där fungerar det. Ett tips kan vara att testa chrome eller firefox och se om det fungerar där. Ibland kan det strula pga någon inställning i webbläsaren. Hör annars av dig till vår support så tar vi det därifrån!

      Simon Rybrand
  14. Hej! Har fastnat på en uppgift från Origo 3c boken som lyder;

    Bestäm derivatan m.h.a. deriveringsreglerna för;

    f(x)=7e^2x-7^2x.

    Jag gjorde så att jag deriverade term för term enligt deras egna regler för att sedan sätta ihop de i slutet.

    Mitt svar blir att; f'(x)=14e^2x – 7^2x * ln 7 * 2

    Men i bokens facit så står det att; f'(x)=14e^2x + 2 * ln 7 * 7^2x.

    Varför blir facitsvaret positivt för både 7^2x och konstanten 2?

    nti_ma3
    1. Hej, Jag kan inte se att det skall vara positivt där utan det bör fortfarande vara en subtraktion.

      Simon Rybrand
      1. Så är mitt svar rätt? =) Eller hur hade du gjort? Tack för snabb respons!

        nti_ma3
  15. Jag skulle vilja se en introduktionsvideo som behandlar talet e, i detta klipp hoppar man direkt in och jag har svårt att förstå..

    Marcus

    nti_ma3
    1. Hej, bra förslag! Vi skall planera in detta under de närmaste veckornas videoutveckling!

      Simon Rybrand
  16. Hej!
    Jag har kört fast på ett problem. Jag ska bestämma var funktionen har en inflextionspunkt. Ska jag räkna ut f”(x) och sätta det ekvivalent med 0?

    f(x)=e^2x-2e^x

    qwert
    1. Ja det stämmer, du söker där andraderivatan är lika med 0. Där konkaviteten går från – till + eller vice versa.

      Simon Rybrand
  17. Hej

    För funktionen f(x) = e^2x gäller att f(1,1) =9

    a) Bestäm ett nämnevärde till f'(1,1)
    f(x) =e^2x
    f'(x) = 2e^2x
    f'(1,1) = 2e^2×1,1 = cirka 18
    Stämmer detta?

    Dock har jag inte riktigt förstått hur jag ska redovisa b)
    b) Visa att f'(3,3) = 2 x 9^3

    qwert
    1. Hej, a) verkar ju stämma bra. Fattas det information i b). En snabb överslagsräkning ger att
      $ f´(3,3) = 1470,19…$
      och
      $ 2\cdot9^3 = 1458 $

      Simon Rybrand
      1. Tack så mycket, kanon! Det är all information, dock ska det inte vara ett = utan det ska vara cirka. Jag tänkte lika dant, dock skulle b) vara en uppgift som skulle visa A-kvalité och det var därför jag inte visste riktigt om något mer skulle redovisas.

        qwert
  18. hej Simon !
    kan du förklara varför
    (e ^-0,0007x )^2 = 1 / 0,0014
    jag är med på att regeln för exp är man kan gångra 7 * 2 = 14 men varför 1 genom 0,0014?

    BotenAnnie
  19. alltså, till frågan ovan. e försvann och ln var inte med …

    BotenAnnie
    1. Hej, Det man kan göra är att använda potensregeln $ a^{-b}=\frac{1}{a^b} $ och skriva om uttrycket enligt:
      $\left(e^{-0,0007x}\right)^2 = e^{-0,0014x}=\frac{1}{e^{0,0014x}}$

      Vart x försvinner i din uträkning vet jag inte, har du ett värde på x?

      Simon Rybrand
  20. Hej! Jättebra videos, jag lär mig massor av dessa!
    Jgag inte tycker mig hitta svaret på denna fråga någonstans dock:
    Bestäm f ’(0) algebraiskt då f(x)= ex – e-x. Tack!

    Sara Hagberg
    1. Oj, nu blev det fel. Bestäm f ’(0) algebraiskt då f(x)= e^x – e^-x skulle det vara.

      Sara Hagberg
      1. Här gör du först så att du deriverar och då får du
        $ f'(x) = e^x – (-e^{-x}) = e^x+e^{-x} $
        Sedan sätter du in x = 0 i derivatan och får
        $f'(0)=e^0+e^{0}$
        Potensregeln $a^0=1$ ger att
        $ f´(0) = 1+1 = 2 $

        Simon Rybrand
  21. Har stött på ett problem.
    I mattebok 3bc – VUX;

    Vad är det för skillnad på uppgift 2423 och 2428?

    Såhär ser det ut:
    Uppgift 2423.
    ”Lös ekvationen. Svara dels exakt, dels med ett närmevärde med tre deicmaler”.
    a) 10^x = 15
    b) e^x = 15
    c) 4 * 10^x = 28
    Osv..
    Jag förstår att man deriverar med 4 på uppgift c).
    Dock till problemet..
    Här ska man tydligen räkna ut på detta viset:
    10^x = 15
    x * (lg10) = lg 15
    x = lg 15 = 1,176

    Medans uppgift 2328 ser ut såhär:
    ”Lös ekvationen 2^x = 5, exakt och med närmevärde med tre decimaler, med hjälp av
    a) 10-logaritmer
    b) naturliga logaritmer
    c) Jämför dina svar och kommentera resultatet.

    Men då ska plötsligt räkna ut på detta sätt:
    2^x = 5
    x * (log 2) = log 5
    x = log 5/log 2 = 2,322

    Varför deriverar jag i uppgift 2428 men inte uppgift 2423?
    Det är ju enda skillnaden, alla svar stämmer i facit också. :/
    Sen undrar jag varför man deriverar log 5/log 2 och inte log 2/log 5 istället?

    Tack på förhand!
    /Carro

    Caroline
    1. Hej Carro
      Du skriver att du skall derivera, det behöver du inte göra (oftast inte i alla fall) göra när du löser så kallade exponentialekvationer som är ekvationer där den okända variabeln befinner sig i exponenten.
      Jag tror att du tycker att metoderna ser olika ut på de bägge uppgifterna för att tiologaritmen av talet 10 är lite speciell. Det är nämligen så att $ lg(10) = 1 $ då det tal man upphöjer 10 med för att få 10 är just 1.
      Så när du har $ 10^x = 15 $ så får du:
      $ lg(10)^x = lg(15) $
      $ xlg(10) = lg(15) $
      Här är alltså lg(10) = 1 så du kan direkt skriva det som
      $ x*1 = lg(15) $
      $ x = lg(15) $
      Hoppas att detta reder ut din fråga!

      Simon Rybrand
  22. om jag ska lösa ekvationen lnx – ln(x-1) = 1
    och skriver om det till e^x – e^(x-1) = e^0
    för att få x fritt måste jag väl dela allt på vl med e? eller är det parantesen jag borde flytta över? så det blir x = e^0/(x-1) ?

    förvandlar jag fel?
    potensreglerna gäller väl inte vid – ?
    /joel

    Joel Håkansson
    1. Hej
      Hade nog inte gjort om det på det vis som du skriver. Hade nog löst ekvationen på följande vis.
      Börja med att tillämpa logaritmlagen $ lnA-lnB=ln(A/B) $ i VL.
      $ln(\frac{x}{x-1})=1$
      Nu skriver vi bägge leden med basen e (”avlogaritmerar”)
      $\frac{x}{x-1}=e^1⇔$
      $\frac{x}{x-1}=e$
      Multiplicera med $(x-1)$
      $x=ex-e⇔$
      $ex-x=e$
      Bryt ut x i VL
      $x(e-1)=e⇔$
      $x=\frac{e}{e-1}$

      Simon Rybrand
  23. Hej, skulle gärna vilja har lite hjälp med följande uppgift…

    (eˣ)²+5eˣ=14

    Tack på förhand!

    /Cornelia

    Elna Cornelia Karlsson
    1. $(e^x)^2+5e^x=14$
      Sätt $e^x=t$
      $t^2+5t=14$
      $t^2+5t-14=0$
      $t_1=2$
      $t_2=-7$ (kan ej vara en lösning då $e^x$ alltid är positivt.
      Alltså har du att
      $ e^x=2 $
      och att $x=ln2$

      Simon Rybrand
  24. Hej
    Jag undrar om man kan beräkna ekvation f(-1) = 10lnx – x^2 + 8x på det sättet:
    f(-1) = 10ln(-1)-(-1)^2 +8*(-1) där 10ln(-1) är odefinierad och det ger: f(-1) = -(-1)^2 +8*(-1)

    Hälsningar

    Iwona
    1. Hej
      Det du skall göra där är ju att sätta in $ x=-1 $ i funktionen och beräkna funktionsvärdet. Så det ser ut som att du är på väg åt rätt håll i grundtanken. Dock är $ln(-1)$ inte odefinierat.

      Simon Rybrand
  25. Bara en synpunkt men tycker ni borde ha en video som tillägnar ämnet att skriva om
    ex.talet: Derivera y = 2^3x genom att skriva om med basen e.

    Anika Hossain
    1. Skall ta med detta i framtida planering, dvs en video om att skriva om exponentialfunktioner så att de stå på basen e.

      Simon Rybrand
  26. Hej, har fastnat på en uppgift helt. Har svårt för talet e och naturliga logaritmen samt Derivatan av a^x.
    Antalet råttor R(t) på en soptipp kan beräknas med formeln R(t)=390 * e^0,09x

, där t = antalet månader från en given tidpunkt.
    a) Hur många råttor fanns det från början?
    b) Beräkna R'(3) och förklara med ord vad det betyder.
    c) När ökar antalet råttor med 900 st/månad?


    Henning Wennberg
    1. a) Beräkna R(0)
      b) Betyder ökning/minskning av antalet råttor per månad efter 2 månader. Derivera först och beräkna sedan R´(3).
      c) Sätt $R´(x)=900$ och lös ekvationen.
      Hoppas att detta hjälper dig vidare!

      Simon Rybrand
  27. Hej,
    I uppgift 7 får man fel om man skriver enbart svaret. Man har ju aldrig behövt skriva ut x= på de andra ekvationerna man löser så borde vara samma här?

    Alexandra Trudel
    1. Vi ordnar det, tack för att du sade till!

      Simon Rybrand
  28. Hej,

    Fattar inte riktigt varför svaret blir -3 i fråga 7,

    Har fått för mig att man ska ställa upp det på följande sätt (tänker enbart på höger led här):
    e^0 = lne * 0 = 1 * 0 = 0
    Men det kanske inte alls är så den formeln funkar? Eller är det ett special fall när exponenten är noll?

    Sebastian Sollerman
    1. Det är speciellt då exponenten är noll då vi har potenslagen
      $a^0=1$

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: