...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Interaktivt material Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

När sinussatsen ger två fall (lösningar)

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Introduktion till sinussatsens två fall

En triangel där vi känner till en vinkel och två sidor kan i vassa fall konstrueras på två olika vis. När så är fallet så kan även sinussatsen ge två fall när man söker en sida eller en vinkel av satsen.

Sinussatsen

triangel-sinussatsen

Sinussatsen

$\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{sinC}{c}$sinAa =sinBb =sinCc 

och går även att skriva som

$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$asinA =bsinB =csinC 

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

När ger sinussatsen två fall?

Som nämns ovan så kan sinussatsen ge två fall (lösningar) när vi känner till en vinkel och två av sidorna. Om vi exempelvis har triangeln ABC där vi känner till vinkeln A och sidorna a och b så kan denna triangel ritas ut på följande två vis.

Sinussatsens två fall

Det som gäller här är att vi har en spetsig vinkel A och den motstående sidan a som är mindre än sidan b och större än höjden h. Notera i figuren här ovan att det är sidan a som har flyttats (pendlats) så att ändpunkten längst ned är närmre vinkeln A. Längden på a har dock inte förändrats.

Alltså följande tre kriterier måste gälla för att vi skall få två lösningar:

  • Vinkeln A är bestämd samt sidorna a och b. Däremot vet vi ingen annan vinkel eller sida.
  • Vinkeln A är spetsig.
  • h < a < b

Exempel på lösningar där sinussatsen ger två fall

Nedan följer exempel där vi måste undersöka om sinussatsen kan ge två fall.

Exempel 1

Vi känner till följande om triangeln ABC: Vinkeln A = 35° och sidorna a = 4 och b = 6. Bestäm vinkeln B.

Lösning:

Vi kan skissa ut triangeln på följande två sätt

exempel på två fall av trianglar

Vi tar då reda på $B_1$B1 och $B_2$B2 med hjälp av sinussatsen.

$\frac{sin35\text{°}}{4}=\frac{sinB}{6}$sin35°4 =sinB6 

$6\cdot sin35\text{°}=4\cdot sinB$6·sin35°=4·sinB

$sinB=\frac{6\cdot sin35\text{°}}{4}$sinB=6·sin35°4 

$sinB\approx0,86$sinB0,86

Vi kan nu ta reda på vinkeln $B$B och de två fall som $B$B kan vara.

$B_1=arcsin\left(0,86\right)\approx59,3\text{°}$B1=arcsin(0,86)59,3°

$B_2=180^{\circ}-59,3\text{°}=120,7^{\circ}$B2=18059,3°=120,7

Olika typer av trianglar och antalet fall för dem

Nedan samlar vi i tabellform ett antal olika fall av trianglar som kan vara bra att kunna ta fram när du undersöker om en triangel kan ritas på inget, ett eller två sätt.

A är spetsig (mindre än 90°)A är trubbig (över 90°)
 $a=h$a=h $a\ge b$ab h < a < ba > b

Kommentarer

Abdullahi Mahamed

i första exemplet ska det va bc=8 inte 6 som ni löste det i lösningen.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för att du sade till om detta, vi fixar det.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Gabriella försöker rita en triangel med sidorna $100\text{ }cm$100 cm$95\text{ }cm$95 cm och $4\text{ }cm$4 cm men tycker att det är något som inte riktigt stämmer. Går det att rita en sådan triangel?

    (Svara Ja eller Nej)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket samband stämmer för triangeln?

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad krävs för att sinussatsen skall ge 2 fall (lösningar)?

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/1/0)
    ECA
    B
    P11
    PL
    M
    R
    K

    I triangeln ABC känner vi till att $A=28^{\circ}$A=28 och att $AC=8$AC=8 och $BC=7$BC=7.

    Vilket är ett korrekt fall av vinkeln B?

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/2/0)
    ECA
    B
    P11
    PL1
    M
    R
    K

    I triangeln ABC är $A=42^{\circ}$A=42, $AB=12,0\text{ }cm$AB=12,0 cm och $BC=10,0\text{ }cm$BC=10,0 cm. Bestäm den största möjliga vinkel som triangeln kan ha.

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/2/0)
    ECA
    B
    P11
    PL1
    M
    R
    K

    Peder och Viveka skall sätta upp en flaggstång på sin husvägg med hjälp av ett blått stag. Flaggstången skall vara vinklad uppåt så att vinkeln vid B är trubbig (se figur). Avståndet A och B skall vara $1,5\text{ }m$1,5 m och avståndet mellan B och C skall vara $1,0\text{ }m$1,0 m.

    Hur långt skall det blåa staget vara?

    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/3)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K1

    I triangeln $T_1$T1 gäller att $AC=4$AC=4 och $BC=3$BC=3 samt att vinkeln $A=30^{\circ}$A=30.

    I triangeln $T_2$T2 gäller att $AC=9$AC=9 och $BC=a$BC=a  samt att vinkeln $B=30^{\circ}$B=30.

    Bestäm vinkeln $A$A$T_2$T2 så att $T_1$T1 och $T_2$T2 är likformiga.

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar