...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 3
 /   Trigonometri

När sinussatsen ger två fall (lösningar)

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Introduktion till sinussatsens två fall

En triangel där vi känner till en vinkel och två sidor kan i vissa fall konstrueras på två olika vis. Det tittade vi kort på i lektionen om areasatsen. När så är fallet så kan även sinussatsen ge två fall när man söker en sida eller en vinkel av satsen.

Sinussatsen

I en godtycklig triangel gäller följande samband mellan vinklar och deras motstående sidor.

Bild till areasatsen

 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$sinAa =sinBb =sinCc  

Som vi nämnde i lektionen om sinussatsen kan man skriva om kvoterna till

 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$asinA =bsinB =csinC  

beroende på vilket som passar bäst för uppgiften man ska lösa. Tipset är att välja det samband som ger att en eventuell variabel hamnar i täljaren. Då slipper du lite jobb när du ska lösa ut den.

När ger sinussatsen två fall?

Som nämns ovan så kan sinussatsen ge två fall (lösningar) när vi känner till en vinkel och två av sidorna. Om vi exempelvis har triangeln ABC där vi känner till vinkeln A och sidorna a och b så kan denna triangel ritas ut på följande två vis.

Sinussatsens två fall

Det som gäller här är att vi har en spetsig vinkel A och den motstående sidan a som är mindre än sidan b och större än höjden h. Notera i figuren här ovan att det är sidan a som har flyttats (pendlats) så att ändpunkten längst ned är närmre vinkeln A. Längden på a har dock inte förändrats.

Alltså följande tre kriterier måste gälla för att vi skall få två lösningar:

  • Vinkeln A är bestämd samt sidorna a och b. Däremot vet vi ingen annan vinkel eller sida.
  • Vinkeln A är spetsig.
  • h < a < b

Sinussatsen kan ge två fall

Nedan följer exempel där vi måste undersöka om sinussatsen kan ge två fall.

Exempel 1

Vi känner till följande om triangeln ABC:

Vinkeln  $A=35°$A=35°  och sidorna  $a=4$a=4  och  $b=6$b=6. Bestäm vinkeln $B$B.

Lösning

Vi kan skissa ut triangeln på följande två sätt

exempel på två fall av trianglar

Vi tar då reda på $B_1$B1 och $B_2$B2 med hjälp av sinussatsen.

 $\frac{\sin35\text{°}}{4}=\frac{\sin B}{6}$sin35°4 =sinB6  

 $6\cdot\sin35\text{°}=4\cdot\sin B$6·sin35°=4·sinB 

 $\sin B=$sinB= $\frac{6\cdot\sin35\text{°}}{4}$6·sin35°4   

 $\sin B\approx0,86$sinB0,86 

Vi kan nu ta reda på vinkeln $B$B och de två fall som $B$B kan vara.

 $B_1=\sin^{-1}\left(0,86\right)\approx59,3\text{°}$B1=sin1(0,86)59,3° 

$B_2=180^{\circ}-59,3\text{°}=120,7^{\circ}$B2=18059,3°=120,7

Olika typer av trianglar och antalet fall för dem

Nedan samlar vi i tabellform ett antal olika fall av trianglar som kan vara bra att kunna ta fram när du undersöker om en triangel kan ritas på inget, ett eller två sätt.  $h$h  motsvarar triangelns höjd mot basen.

 Vinkeln $A$A är spetsig (mindre än  $90°$90° ) Vinkeln $A$A är trubbig (större än  $90°$90° )
 $a=h$a=h  $a\ge b$ab   $h$h  <  $a$a  <  $b$b   $a$a  > $b$b 

Som följd av detta gäller att när $a\le$a$h$h kommer längderna inte kunna motsvara sidorna på en triangel. 

Exempel 2

Undersök om det finns någon triangel  $ABC$ABC som uppfyller villkoren

 $AC=13$AC=13  cm,  $BC=5$BC=5 cm och vinkeln  $A=32^{\circ}$A=32 

Lösning

Vi börjar med att ta reda på vinkeln vid $B$B och för att göra det så använder vi sinussatsen. 

 $\frac{\sin B}{13}=\frac{\sin32^{\circ}}{5}$sinB13 =sin325  

 $\sin B=$sinB= $\frac{\sin32^{\circ}\cdot13}{5}$sin32·135   

 $\sin B=1,377…$sinB=1,377…   

Eftersom att sinus bara är definierat för värden mindre eller lika med ett, är detta inte möjligt.

Sinussatsen

De givna värdena kommer ge att antingen är sidan  $BC$BC för kort eller vinkeln  $A$A  för stor.

Genom att sätta in kända vinklar och längde i sinussatsen kan du nu bestämma okända sidor och vinklar även på trianglar som inte är rätvinkliga!

Kommentarer

Johan Ahlberg

Jag får ut ett annat svar på A-uppgiften än det som står i förklaring.
Jag får att A1 ≈ 41,81 och att A2 ≈ 138,19.
I förklaringen avrundas det flera gånger genom hela uträkningen medans jag avrundade inte före jag skrev ett svar.
Hur kommer det sig att det avrundas flera gånger genom hela uträkningen, det verkar ju som att det påverkar svaret avsevärt.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Om du siktar på ett så exakt svar som möjligt så avvaktar du med att ”slå ut” tex sin30 så länge som möjligt.
    Ibland kan det dock vara enklare att slå ut det i delstegen för att följa uträkningen och inte få stora och kompakta uttryck.
    Bägge sätten är möjliga i skolsammanhang, rör det sig om beräkningar i industrin är det förstås viktigt att vara så exakt som möjligt.

Abdullahi Mahamed

i första exemplet ska det va bc=8 inte 6 som ni löste det i lösningen.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för att du sade till om detta, vi fixar det.


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Gabriella försöker rita en triangel med sidorna $100$100 cm, $95$95 cm och $4$4 cm men tycker att det är något som inte riktigt stämmer.

    Går det att rita en sådan triangel?

    Ange svaret med Ja eller Nej.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Vilket samband stämmer för triangeln?

    triangel

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: sinussatsen
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Vad krävs för att sinussatsen skall ge 2 fall/lösningar i följande triangel?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Bestäm vinkeln v i figuren.

    Bestäm vinkeln v i figuren

    Avrunda ditt svar till en decimal.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (4)

  • 5. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/1/0)
    E C A
    B
    P 1 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    I triangeln ABC känner vi till att $A=28^{\circ}$A=28 och att $AC=8$AC=8 och $BC=7$BC=7.

    Vilket är ett korrekt närmevärde av vinkeln  $B$B ?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/2/0)
    E C A
    B
    P 1 1
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    I triangeln ABC är $A=28^{\circ}$A=28 ,  $AB=12,0\text{ }$AB=12,0 cm och $BC=10,0\text{ }$BC=10,0 cm.

    Bestäm den största möjliga vinkel som triangeln kan ha.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M
    R 1
    K
    M NP INGÅR EJ

    Undersök om det finns någon triangel  $ABC$ABC som uppfyller villkoren

     $AC=11$AC=11  cm,  $BC=4$BC=4 cm och vinkeln  $A=43^{\circ}$A=43

    Träna på att motivera ditt svar, men ange här Ja eller Nej.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Peder och Viveka skall sätta upp en flaggstång på sin husvägg med hjälp av ett blått stag. Flaggstången skall vara vinklad uppåt så att vinkeln vid B är trubbig (se figur).

    Avståndet A och B skall vara $1,5\text{ }$1,5 m och avståndet mellan B och C skall vara $1,0$1,0 m.

    Hur långt skall det blåa staget vara?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (2)

  • 9. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/3)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M
    R
    K 1
    M NP INGÅR EJ

    I triangeln $T_1$T1 gäller att $AC=4$AC=4 och $BC=3$BC=3 samt att vinkeln $A=30^{\circ}$A=30.

    I triangeln $T_2$T2 gäller att $AC=9$AC=9 och $BC=a$BC=a  samt att vinkeln $B=30^{\circ}$B=30.

    Bestäm vinkeln $A$A$T_2$T2 så att $T_1$T1 och $T_2$T2 är likformiga.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Liknande uppgifter: Geometri sinussatsen trigonometri
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/2/2)
    E C A
    B
    P
    PL 1 2
    M
    R 1
    K 1
    M NP INGÅR EJ

    Armand arbetar som silversmed och hans specialitet är smycken i form av olika geometriska figurer. Han har bestämt sig för att göra ett smycke i form av en triangel. Till sitt förfogande har han en  $9,0$9,0 cm lång silvertråd som han kan böja och klippa.

    Armand betecknar triangeln $ABC$ABC och bestämmer sig för att vinkeln $A$A ska vara $30^{\circ}$30, sidan $AB$AB  $4,2$4,2 cm och sidan $BC$BC $3,2$3,2 cm.

    Utred på vilket eller vilka sätt smycket kan utformas.

    Vilka möjliga längder kan sidan $AC$AC  anta?

    Avrunda till en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se