...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Linjära ekvationssystem med tre obekanta

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

I den här lektionen lär du dig att lösa linjära ekvationssystem med tre okända (obekanta) variabler.

När du har tre obekanta variabler i ett ekvationssystem så krävs det några fler steg för att lösa detta. Du har i ett sådant ekvationssystem tre okända variabler, t ex $x$x,  $y$y och $z$z. När du anger lösningen så anger du alla dessa variablers värden.

Du kommer på vägen att använda dig av substitutionsmetoden och/eller additionsmetoden så det är bra om du har övat på dessa metoder innan.

Möjlig metod för att lösa ekvationssystem med 3 okända

Nedan anges en möjlig metod för att lösa dessa ekvationssystem. Det kan vara bra att utgå från listan när du gör dina första lösningar. Du kommer dock märka att det kan finnas flera olika vägar att gå.

  1. Välj en lämplig ekvation och lös ut en variabel.
  2. Substituera in i de andra två ekvationerna.
  3. Nu har du fått ett nytt ekvationssystem med två ekvationer med två obekanta.
  4. Detta löser du med en lämplig algebraisk metod, välj substitutionsmetoden eller additionsmetoden.
  5. Du får nu ut två av variablernas värden och kan använda dessa för att lösa ut den tredje.

Värt att nämna är att det ibland är enklare att börja med additionsmetoden och ibland blir substitutionsmetoden enklare. Träna gärna på att variera dig mellan metoderna så att du blir bättre på att se vilken metod som är enklast att använda för olika ekvationssystem.

Exempel 1

Lös ekvationssystemet

$ \begin{cases} x+2y+2z = 2 \quad (1) \\ x-2y-z = 3 \quad (2) \\ 2x – 2y + 2z = 8 \quad (3) \end{cases} $

Lösning

Vi använder ekvation (3) och löser ut $x$x ur denna ekvation.

 $2x-2y+2z=8$2x2y+2z=8 Dela med 2
 $x-y+z=4$xy+z=4 Addera med y och subtrahera med z
 $x=4+y-z$x=4+yz 

Nu sätter vi $x=4+y-z$x=4+yz i ekvation (1) och ekvation (2)

Ekvation (1)
 $x+2y+2z=2$x+2y+2z=2 Substituera
$\left(4+y-z\right)+2y+2z=2$(4+yz)+2y+2z=2 Förenkla VL
$4+3y+z=2$4+3y+z=2 Subtrahera med 4
$3y+z=-2$3y+z=2 

Ekvation (2)
$x-2y-z=3$x2yz=3 Substituera
$\left(4+y-z\right)-2y-z=3$(4+yz)2yz=3 Förenkla VL
$4-y-2z=3$4y2z=3 Subtrahera med 4
$-y-2z=-1$y2z=1

Nu har vi två nya ekvationer som kan användas för ett nytt ekvationssystem.

$ \begin{cases} 3y+z=-2 \quad (A) \\ -y-2z=-1 \quad (B) \end{cases} $

Vi löser ekvationssystemet med additionsmetoden. För att göra det så multiplicerar vi först ekvation (A) med $2$2 för att få de motsatta talen/termerna $2z$2z och $-2z$2z. När vi har multiplicerat (A) med två så får vi ekvationssystemet.

$ \begin{cases} 6y+2z=-4 \\ -y-2z=-3 \end{cases} $

Nu adderar vi ekvationerna

 (6y+2z=-4)
+ ( -y-2z=-1)
——————
6y+2z-y-2z=-4-1

Nu elimineras $z$z och vi får
 $6y-y=-4-1$6yy=41 Förenkla
 $5y=-5$5y=5
 $y=-1$y=1 

Nu har vi $y=-1$y=1 och kan sätta in detta i  $3y+z=-2$3y+z=2  (A) för att ta reda på $z$z. Vi får då

$-3+z=-2$3+z=2 
$z=1$z=1 

Slutligen kan vi sätta in $y$y och $z$z i ekvation $x+2y+2z=2$x+2y+2z=2  (1) för att lösa ut $x$x. Då får vi

 $x-2+2=2$x2+2=2
 $x=2$x=2 

Vi har nu hela lösningen som är
$\begin{cases} x = 2 \\ y=-1 \\ z= 1 \end{cases}$

Exempel i videon

  • Lös ekvationssystemet $ \begin{cases} x + 2y – z = 1 \quad (1) \\ x – y + z = 0 \quad (2) \\ x + y + z = 2 \quad (3) \end{cases} $
...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Kommentarer

Berkan991

oj:) jag mena övning 2

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Nej det kan inte finnas flera lösningar på ekvationssystemet. Antingen har du fel eller så har vi fel 😉
    Stämmer ditt resultat i de övriga två ekvationerna?

Berkan991

Hej!

På b) där så fick jag x=-1 y=3 z=1

och när jag sätter in dessa i x-y+z=-3 så får jag resultatet -3. Blir detta samma sak som eran?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    När du skriver b) vilken uppgift menar du då? Vi har ju inga a) och b) uppgifter i den här lektionen.

Pedro Veenekamp

Fantastisk övning den där!!!
Det skulle kanske vara bra med en sådan övning till.

Tack!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vad bra, då får vi lägga in fler!

larcenterkomvux

Hej, tack för fantastiska videos!
Jag hänger inte riktigt med i slutsteget. Vi har
8−3y+z=0
12−3y−3z=0
Varför multiplicerar vi med -1 för att kunna lösa ekvationen? Är det bara på det viset den kan lösas?
Tack!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det är för att få
    $ (-1) \cdot (8−3y+z) = -8+3y-z $ så att y-termerna eliminerar varandra vid addition av ekvationerna. Då får vi endast en okänd.
    Det kan göras på andra sätt också så länge du ordnar så att en variabel elimineras. Detta är inte enda sättet men det som kanske ser enklast ut utifrån hur systemet började att lösas.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (1)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/2/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M1
    R
    K

    För tre tal gäller följande tre påståenden. 

    Medelvärdet av det största och det minsta talet är $7$7 
    Differensen mellan största och minsta talet är $10$10 
    Summan av de tre talen är $22$22 

    Vilka är de tre talen?

    Rättar...

c-uppgifter (4)

  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationssystemet.

    $\begin{cases} 2x+3y=7+z\\2y-16=-2x-2z \\z=y+x  \end{cases}$

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationssystemet $ \begin{cases} x + y + z = 10 \\ 2x – y – z = 8 \\ x – 2y + 2z = 2 \end{cases} $

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationssystemet $\begin{cases} 2x + y – z = 6 \\ x – y + z = -3 \\ x – 3y + z = -9 \end{cases}$

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationssystemet $\begin{cases} x + y – z = -3 \\ 2x – 4y + z = 18 \\ 3x + 2y – 3z = -7 \end{cases}$

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar