...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Linjär optimering - träna exempel på plan och halvplan

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

I den här lektionen går vi inte igenom ny teori. Vi exemplifierar itället hur man kan förstå och jobba med olikheter för att beskriva områden i planet.

Det kan det vara bra att ha förkunskaper om räta linjens ekvation för att kunna följa alla resonemang. Framförallt att förstå räta linjer skrivna på formen $ y = kx + m $ där

  • k = riktningskoefficienten eller linjens lutning.
  • m = y – värdet där linjen skär y – axeln, dvs där x = 0.

Ligger halvplanet över eller under linjen?

Här kommer ett trick, som kanske kan hjälpa dig om du känner dig osäker på hur vida halvplanet ligger över eller under linjen.

Lägg din högra hand på högkant längst upp på koordinatsystemets övre kant. Lillfingret ska vara parallellt med $x$x -axeln och handflatan öppen nedåt mot koordinatsystemets nedre kant.  För sedan din högra hand ovanifrån mot linjen och låt den ”landa” på linjen. Området som hamnar under handflatan är då under linjen och motsvarar alltså att  $y$y -värdena är mindre än linjen. För området ovanför handen gäller att halvplanet är över linjen, vilket i sin tur med för att  $y$y -värdena är större än linjen.

För linjen  $x=a$x=a gäller i stället att du för handen från höger mot linjen och avgör på så sätt om det markerade halvplanet är på ovansidan av handen, vilket motsvarar större värden eller på undersidan av handflatan och motsvarar mindre värden.

Utöver detta bör du observera om linjen är heldragen och tillhör halvplanet eller streckad och inte tillhör halvplanet, för att kunna teckna korrekt olikhet.

 $\le,\ge$,  olikheterna är slutna. tillhör alla punkter på linjen halvplanet. Linjen som delar planet är heldragen.

 $<,>$<,>  olikheterna är öppna. Då tillhör ingen av punkterna på linjen halvplanet. Linjen som delar planet är streckad.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Hur kan man avgöra om en punkt tillhör halvplanet?

Vi kan undersöka det grafiskt genom att rita upp linjen och plottar ut punkten och på så sett se om den tillhör halvplanet. 

Men vi kan även undersöka det algebraiskt. Ofta går det snabbare än att rita halvplanet i ett koordinatsystem.

Genom att sätt in punktens koordinater i olikheten och se om den uppfylls kan vi avgöra hur vida den tillhör halvplanet eller ej. Uppfylls olikheten tillhör punkten planet. Om inte tillhör den ej halvplanet.

Tex skulle vi kunna undersöka om punkten $\left(4,\text{ }-1\right)$(4, 1)  tillhör halvplanet som beskrivs av olikheten  $y<$y< $2x-3$2x3 genom att sätta in värdet på $x$x och $y$y för punkten i $VL$VL och $HL$HL . Punkten har ju har $x$x -värdet fyra och $y$y -värdet minus ett. Det skulle i vår olikhet  $y<$y< $2x-3$2x3 ge att

 $VL=-1$VL=1  och $HL=2\cdot4-3=5$HL=2·43=5 

vilket i sin tur leder till att

 $VL<$VL< $HL$HL   då  $-1<5$1<5 

Detta stämmer överens med vad den den givna olikheten anger och därför tillhör punkten $\left(4,-1\right)$(4,1) halvplanet.

Tips när du ska markera ett område

Då den linjära olikheten som definierar ett halvplan, inte uttrycks på så sätt att den är lik räta linjens $k$k -form, alltså att variabeln $y$y  är själv i ena ledet, bör den skrivas om så att det blir lättare att avgöra punkternas relation till halvplanet.

Till exempel underlättar det jobbet med att markera halvplanet som beskrivs av olikheten  $y+2x-3\le0$y+2x30 om man först skriver om olikheten så här.

 $y+2x-3\le0$y+2x30        Addera båda leden med $3$3 

 $y+2x\le3$y+2x3                Subtraheta båda leden med $2x$2x

 $y\le-2x+3$y2x+3 

Nu kan man lättare rita linjen som delar planet i två halvor! 

Exempel i videon

  • Markera ett område i planet som kan beskrivas av y < -x + 3.
  • Ligger punkten (-2, 0) i det halvplan som beskrivs av y +2x + 2 ≤ 0

Kommentarer

Judith Lysell

Hej!
Även här får man fel för rätt svar på fråga 3 och fråga 6.
Jag har testat att skriva det på lite olika sätt, men det blir ändå fel.

Hanna Lundqvist

Tycker att det hade varit bra att här beskriva att uppgiften med punkten i videon går betydligt snabbare att lösa algebraiskt, upplever att eleverna behöver förstå den aspekten av hur en olikhet fungerar och inte alltid gör det. Alltså inte ta bart den grafiska lösningen bara komplettera med den algebraiska.

Även att rita upp den räta linjen enbart med hjälp av k-värdet som också är mer tidseffektivt och tyder på, eller kan ge, en djupare förståelse av funktionens form.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Hanna och tack för din kommentar!
    Vi tar med oss detta i framtida utveckling av lektionen.

Mattefreak

Jag sitter fast hårt på denna och har snart nationella, behöver bli klok på detta snarast. HJÄLP!

Funktionen V(x.y)= 3x-2y är definierad på området i xy-planet som bestäms av
x >_0
0 <_y <_ -x+5

1. Rita upp en del av området som beskrivs av olikheterna.
2. Bestäm funktionen V:s maximala och minimala värde i detta område.
3. Fungerar det att bestämma max/min värde för funktionen V (x,y)= X^2-3y med samma metod?

    Simon Rybrand (Moderator)

    1. Rita ut linjen $y=-x+5$ och det område som du söker är alla värden under denna linje och till höger om y-axeln och över x-axeln.
    2. Här måste du testa hörnen, dvs (0; 0), (0, 5) och (5, 0)

Andrea Olsson

Hej!
När du ska skriva om uttrycket y + 2x + 2 <_ 0, varför subtraherar du med -2? Det framgår inte varför du subtraherar med 2… Är det för att något + 2 = 0, och då blir det -2?

Mvh
Andrea

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Anledningen till att jag subtraherar med 2 där är för att skriva om olikheten så att den liknar $y=kx+m$, dvs vi vill få y ensamt på ena sidan av olikhetstecknet. Så där subtraherar jag med 2 för att få bort +2 på vänstra sidan då $+2-2=0$


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (9)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    I figuren är ett halvplan markerat med blått, vilken olikhet beskriver detta halvplan?

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    I figuren är ett halvplan markerat med blått, vilken olikhet beskriver detta halvplan?

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    I figuren är ett halvplan markerat med blått, vilken olikhet beskriver detta halvplan?

    Halvplan

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    I vilken av figurerna är halvplanet som motsvarar olikheten $y\le x+2$yx+2 markerad med blått?

     A.    

     

    B.   

     

    C.   

     

    D.   

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    I figuren är ett halvplan markerat med blått, vilken olikhet beskriver detta halvplan?

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    I figuren är ett halvplan markerat med blått, vilken olikhet beskriver detta halvplan?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilken av följande punkter ligger i området som beskrivs av  $y>-2x+3$y>2x+3 ?

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Ligger punkten $\left(0,0\right)$(0,0) i halvplanet som begränsas av  $y\ge x$yx ?

    Svara ja eller nej, men öva även på att motivera ditt svar algebraiskt och grafiskt.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (1/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R1
    K

    Vilken av följande punkter ligger i området som beskrivs av olikheten  $y<$y< $x-2$x2  ?

    Träna även på att motivera ditt svar grafiskt och algebraiskt.

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar