...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Interaktivt material Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Linjär optimering - Största och Minsta värde

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Områdets största och minsta värde

Då du fått ett antal villkor som dina variabler $x$x  och $y$y  ska uppfylla, kommer alla de olika möjliga kombinationerna av $x$x och $y$y, som uppfyller alla villkor samtidigt, återfinnas i det avgränsade området.

Största och minsta värde - Linjär optimering

Men vilken av alla punkter motsvarar det optimala värdet? För att kunna bestämma detta behöver vi en målfunktion.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Målfunktion

Den funktion  $m\left(x,\text{ }y\right)=ax+by$m(x, y)=ax+by  som ger möjlighet att beräkna det man vill optimera när man löser ett optimeringsproblem kallas för en målfunktion.

Det kan handla både om att hitta det största och det minsta värdet.

Var i området hittar man det största och minsta värdet?

När man letar efter det optimala värdet, alltså det största eller minsta värdet, för en målfunktion i ett område i planen, så har det visat sig att det alltid återfinns i något av områdets hörnpunkter. Undersök själv om du vill, genom att sätta in en massa punkter från området i målfunktionen och beräkna dess värde! Eller kan du bara köpa att någon annan har kontrollerat detta åt oss.

Så för att hitta det optimala värdet räcker det att man undersöker områdes hörnpunkter. 

Optimala värdet

Enligt linjärprogrammeringens fundamentalsats så hittas alltid det optimala (dvs antingen det största eller minsta värdet) i en hörnpunkt.

Metoden för hitta största och minsta värde

Metoden vi använder i genomgången är följande.

  1. Markera området i ett koordinatsystem (plan).
    Det gör du lättast genom att, först skriva om olikheterna i systemet i likhet med räta linjens $k$k -form och sedan rita ut linjerna och där efter markera det önskade området som uppfyller det linjära systemets villkor.

  2. Bestäm hörnpunkternas koordinater. Antigen grafiskt, med eller utan räknare, eller algebraiskt, men hjälp av ett ekvationssystem.

  3. Bestäm största/minsta värde för målfunktionen. Det gör du genom att sätta in punkternasns $x$x– och $y$y-värde i målfunktionen.

  4. Jämför det givna värdet av målfunktionen för det olika punkterna och ange ditt svar. Var noga med att kontrollera vad uppgiften efterfrågar. Ibland är det största eller/och minsta värdet, ibland punkten och inte sällan även det punktens koordinater motsvarar.

Kom ihåg att att alltid verifiera de variabler du inför, när du gör en tillämpning av ett problem. Det gäller även vid linjär optimering!

Exempel i videon

  • Beskriv området i planet som begränsas av x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 3, y ≤ -x + 4
  • Beräkna det största värdet för målfunktionen m = 3x + 6y i området som begränsas av x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 3, y ≤ -x + 4.
  • Bestäm det största och det minsta värdet som m = 2x + 3y kan anta i området som begränsas av 0 ≤ x ≤ 10, y ≥ 0, y + ≤ 14, y ≤ 0,5x + 2

Kommentarer

Pattie

Hej Simon,
I videon på 2:21, anges att y=-1+4=3 där x=-1 och y=3. Hur kan punkten då bli (1,3) som angiven i videon när x=-1. Punkten borde istället bli (-1,3) således borde linjens utseende vara annorlunda än den ritad i videon om man ska följa den tredje olikheten y≤-x+4.

Tack på förhand.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det är viktigt att tänka där på att vi har positiva $x=1$ men att det i funktionen $y=-x+4$ finns ett negativt tecken framför $x$ så att det just där blir $-1$.
    Hade $x=(-1)$ där så hade istället det blivit $y=-(-1)+4=+1+4=5$

Caroline Tovedal Böö

Hej! När man ska dra en linje från y axeln, hur vet man vart den ska hamna på x axeln? Ska
Man bara dra den rakt ner eller hur gör man?
Hälsningar Caroline

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Har du ett specifikt exempel som vi kan utgå från för att förklara?
    Det brukar ofta ha att göra med en rät linjes ekvation och hur denna linje ser grafiskt.

Daniel yazdi

Hej! skulle du kunna förklara hur man löser följande fråga: i en teaffär blandar man två olika sorters te för en ny smak. Den ena sorten kostar 135 kr/kg och den andra 168kr/kg. Hur stora andelar har man tagit av varje sort om blandningen kostar 150kr/kg

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Du kan ställa upp följande ekvationssystem:
    $ 135x+168y = 150 $
    $ x+y = 1 $
    där $x$ är ena mängden och $y$ den andra. Tillsammans utgör dessa delar 100 % av blandningen, dvs att $ x+y=1 $
    Kommer du vidare utifrån detta?

      Daniel yazdi

      Nope/: Kom också fram till 135x+168y=150 men fastnar efter detta

        Daniel yazdi

        135x=75
        168y=75

        Sen avrunda till y=0.45 och x=0.55?

        Simon Rybrand (Moderator)

        Du kan exempelvis lösa ut $x$ ur $ x+y=1 $ först så att du får $ x=1-y $. Detta sätter vi in i den andra ekvationen och får
        $ 135(1-y)+168y=150 ⇔$
        $ 135-135y+168y=150 ⇔$
        $ 33y=15 ⇔$
        $ y≈0,45$
        Då gäller att $x=0,55$

          Daniel yazdi

          tackar!!

Sandra Kümpel

Hej!
Jag förstår inte riktigt uppgift 3. Hur tar man fram ekvationerna för linjerna i figuren, finns det en formel man använder sig utav?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Där behöver du kunna ta fram Räta linjens ekvation för de tre utritade linjerna. Det kan man säga finns en metod för detta som du hittar i lektionen som länkas här.
    Sedan är det också viktigt att det är området ”under” eller ”över” denna linje som vi söker och inte själva linjen i sig.

Rizalyn Asopardo

jag undrar varför den fjärde hörnpunkterna är (0,4) om x är 4 och y är 0 (xy) blir (4,0)…..jag är bara förvirrad! tack på förhand

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det kan man verkligen undra, det skall förstås stå $(4,0)$ i koordinatssystemet, vi skall åtgärda detta.

nti_ma3

Jag fattar inte varför ni har spelat in era videos med sjukt lågt ljud ???

Det är ju hopplöst att höra nåt utan lurar och knäpptyst i rummet…

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det är ju förstås inte bra att det är för lågt för dig. Ljudet styrs ju dels av videospelaren samt av din dators/mobils ljudkapacitet. Har du provat att maximera dessa volymer? Du är också välkommen att kontakta vår support, du hittar kontaktuppgifter här.

viktorrydberg

På fråga 3, är inte de två sista svaren exakt samma svar??

    Simon Rybrand (Moderator)

    Jo det var de, vi ordnar det så att det inte kan missuppfattas, tack för att du kommenterade detta.

vanessa.aira

Nä nu blev det fel. Jag menar alltså från de olika alternativen är ju y antingen mindre eller större än osv hur kan jag från grafen då avläsa sett på ett tydligt sätt? Ser ju tex inte hel den röda linjen så känns därför lite oklart. Är det en ren chansning man drar där Då.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Det hänger ihop med att ta fram linjernas ekvationer på formen
    y = kx +m. Så för den röda linjen har du exempelvis punkterna (3, 0) och (5, 2) vilket kan användas för att bestämma linjens ekvation. I förklaringen ges en uträkning av k = 1. Sätter vi en punkts koordinater, tex (3, 0), samt detta k värde så ges ekvationen:
    0 = 3*1 + m
    m = -3

    Dvs vi har linjens ekvation y = x – 3 och det gråstreckade området skall vara större än detta, dvs y ≥ x – 3.

    Hoppas att detta hjälper dig vidare!

vanessa.aira

I fråga 3 förstår jag inte hur man här kan se linjernas olikheter? Hur vet man alltså om y är större och lika med eller mindre och lika med ett tal .


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (7)

  • 1. Premium

    Rapportera fel

    Var hittas alltid det största eller minsta värdet för en målfunktion vars variabler begränsas av ett område i planet?

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Den totala vinsten $m$m kronor för ett företag som tillverkar två olika modeller av jeans kan beskrivas med målfunktionen $m=2300x+2750y$m=2300x+2750y , där $x$x är antalet sålda jeans av den första modellen och $y$y av den andra.

    Hur stor är vinsten per sålt exemplar av den första modellen?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad är en målfunktion?

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm koordinaterna för skärningspunkten mellan linjerna $y=2x-8$y=2x8 och $x+y=10$x+y=10.

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M1
    R
    K

    Vilket system av olikheter beskriver det blåa området?

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm det minsta värdet för målfunktionen $m\left(x,\text{ }y\right)=10x+y$m(x, y)=10x+y, som begränsas av området i figuren. 


    Svara exakt med heltalslösning.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm det största värdet för målfunktionen  $m=x+2y$m=x+2y som begränsas av området i figuren. 


    Svara exakt med heltalslösning.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Bestäm det största värdet för målfunktionen $m=2000x+360y$m=2000x+360y  med följande villkor.

    $ \begin{cases} x ≥ 0 \\ y ≥ 0 \\ y ≤ 3 – x \end{cases} $

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar