Linjär optimering - Största och Minsta värde – Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 B

Linjär optimering – Största och Minsta värde

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

Linjär optimering är en metod för att hitta ett så optimalt värde som möjligt för en målfunktion som begränsas av ett antal olika villkor (i form av olikheter). Här går vi igenom metoden för att bestämma det största eller minsta värdet så att en målfunktion kan optimeras.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 500+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 3500+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 KR
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
6 votes, average: 5,00 out of 56 votes, average: 5,00 out of 56 votes, average: 5,00 out of 56 votes, average: 5,00 out of 56 votes, average: 5,00 out of 5
6
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
3

Text

Exempel i videon

  • Beskriv området i planet som begränsas av x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 3, y ≤ -x + 4
  • Beräkna det största värdet för målfunktionen m = 3x + 6y i området som begränsas av x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 3, y ≤ -x + 4.
  • Bestäm det största och det minsta värdet som m = 2x + 3y kan anta i området som begränsas av 0 ≤ x ≤ 10, y ≥ 0, y + ≤ 14, y ≤ 0,5x + 2

Områdets största och minsta värde

Då du fått ett antal villkor som dina variabler $x$x  och $y$y  ska uppfylla, kommer alla de olika möjliga kombinationerna av $x$x och $y$y, som uppfyller alla villkor samtidigt, återfinnas i det avgränsade området.

Största och minsta värde - Linjär optimering

Men vilken av alla punkter motsvarar det optimala värdet? För att kunna bestämma detta behöver vi en målfunktion.

Målfunktion

Den funktion  $m\left(x,\text{ }y\right)=ax+by$m(x, y)=ax+by  som ger möjlighet att beräkna det man vill optimera när man löser ett optimeringsproblem kallas för en målfunktion.

Det kan handla både om att hitta det största och det minsta värdet.

Var i området hittar man det största och minsta värdet?

När man letar efter det optimala värdet, alltså det största eller minsta värdet, för en målfunktion i ett område i planen, så har det visat sig att det alltid återfinns i något av områdets hörnpunkter. Undersök själv om du vill, genom att sätta in en massa punkter från området i målfunktionen och beräkna dess värde! Eller kan du bara köpa att någon annan har kontrollerat detta åt oss.

Så för att hitta det optimala värdet räcker det att man undersöker områdes hörnpunkter. 

Optimala värdet

Enligt linjärprogrammeringens fundamentalsats så hittas alltid det optimala (dvs antingen det största eller minsta värdet) i en hörnpunkt.

Metoden för hitta största och minsta värde

Metoden vi använder i genomgången är följande.

  1. Markera området i ett koordinatsystem (plan).
    Det gör du lättast genom att, först skriva om olikheterna i systemet i likhet med räta linjens $k$k -form och sedan rita ut linjerna och där efter markera det önskade området som uppfyller det linjära systemets villkor.

  2. Bestäm hörnpunkternas koordinater. Antigen grafiskt, med eller utan räknare, eller algebraiskt, men hjälp av ett ekvationssystem.

  3. Bestäm största/minsta värde för målfunktionen. Det gör du genom att sätta in punkternasns $x$x– och $y$y-värde i målfunktionen.

  4. Jämför det givna värdet av målfunktionen för det olika punkterna och ange ditt svar. Var noga med att kontrollera vad uppgiften efterfrågar. Ibland är det största eller/och minsta värdet, ibland punkten och inte sällan även det punktens koordinater motsvarar.

Kom ihåg att att alltid verifiera de variabler du inför, när du gör en tillämpning av ett problem. Det gäller även vid linjär optimering!

Kommentarer

  1. I fråga 3 förstår jag inte hur man här kan se linjernas olikheter? Hur vet man alltså om y är större och lika med eller mindre och lika med ett tal .

    vanessa.aira
  2. Nä nu blev det fel. Jag menar alltså från de olika alternativen är ju y antingen mindre eller större än osv hur kan jag från grafen då avläsa sett på ett tydligt sätt? Ser ju tex inte hel den röda linjen så känns därför lite oklart. Är det en ren chansning man drar där Då.

    vanessa.aira
    1. Hej,
      Det hänger ihop med att ta fram linjernas ekvationer på formen
      y = kx +m. Så för den röda linjen har du exempelvis punkterna (3, 0) och (5, 2) vilket kan användas för att bestämma linjens ekvation. I förklaringen ges en uträkning av k = 1. Sätter vi en punkts koordinater, tex (3, 0), samt detta k värde så ges ekvationen:
      0 = 3*1 + m
      m = -3

      Dvs vi har linjens ekvation y = x – 3 och det gråstreckade området skall vara större än detta, dvs y ≥ x – 3.

      Hoppas att detta hjälper dig vidare!

      Simon Rybrand
  3. På fråga 3, är inte de två sista svaren exakt samma svar??

    viktorrydberg
    1. Jo det var de, vi ordnar det så att det inte kan missuppfattas, tack för att du kommenterade detta.

      Simon Rybrand
  4. Jag fattar inte varför ni har spelat in era videos med sjukt lågt ljud ???

    Det är ju hopplöst att höra nåt utan lurar och knäpptyst i rummet…

    nti_ma3
    1. Hej, det är ju förstås inte bra att det är för lågt för dig. Ljudet styrs ju dels av videospelaren samt av din dators/mobils ljudkapacitet. Har du provat att maximera dessa volymer? Du är också välkommen att kontakta vår support, du hittar kontaktuppgifter här.

      Simon Rybrand
  5. jag undrar varför den fjärde hörnpunkterna är (0,4) om x är 4 och y är 0 (xy) blir (4,0)…..jag är bara förvirrad! tack på förhand

    Rizalyn Asopardo
    1. Hej
      Det kan man verkligen undra, det skall förstås stå $(4,0)$ i koordinatssystemet, vi skall åtgärda detta.

      Simon Rybrand
  6. Hej!
    Jag förstår inte riktigt uppgift 3. Hur tar man fram ekvationerna för linjerna i figuren, finns det en formel man använder sig utav?

    Sandra Kümpel
    1. Hej,
      Där behöver du kunna ta fram Räta linjens ekvation för de tre utritade linjerna. Det kan man säga finns en metod för detta som du hittar i lektionen som länkas här.
      Sedan är det också viktigt att det är området ”under” eller ”över” denna linje som vi söker och inte själva linjen i sig.

      Simon Rybrand
  7. Hej! skulle du kunna förklara hur man löser följande fråga: i en teaffär blandar man två olika sorters te för en ny smak. Den ena sorten kostar 135 kr/kg och den andra 168kr/kg. Hur stora andelar har man tagit av varje sort om blandningen kostar 150kr/kg

    Daniel yazdi
    1. Hej
      Du kan ställa upp följande ekvationssystem:
      $ 135x+168y = 150 $
      $ x+y = 1 $
      där $x$ är ena mängden och $y$ den andra. Tillsammans utgör dessa delar 100 % av blandningen, dvs att $ x+y=1 $
      Kommer du vidare utifrån detta?

      Simon Rybrand
      1. Nope/: Kom också fram till 135x+168y=150 men fastnar efter detta

        Daniel yazdi
        1. 135x=75
          168y=75

          Sen avrunda till y=0.45 och x=0.55?

          Daniel yazdi
        2. Du kan exempelvis lösa ut $x$ ur $ x+y=1 $ först så att du får $ x=1-y $. Detta sätter vi in i den andra ekvationen och får
          $ 135(1-y)+168y=150 ⇔$
          $ 135-135y+168y=150 ⇔$
          $ 33y=15 ⇔$
          $ y≈0,45$
          Då gäller att $x=0,55$

          Simon Rybrand
          1. tackar!!

            Daniel yazdi
  8. Hej! När man ska dra en linje från y axeln, hur vet man vart den ska hamna på x axeln? Ska
    Man bara dra den rakt ner eller hur gör man?
    Hälsningar Caroline

    Caroline Tovedal Böö
    1. Hej
      Har du ett specifikt exempel som vi kan utgå från för att förklara?
      Det brukar ofta ha att göra med en rät linjes ekvation och hur denna linje ser grafiskt.

      Simon Rybrand
  9. Hej Simon,
    I videon på 2:21, anges att y=-1+4=3 där x=-1 och y=3. Hur kan punkten då bli (1,3) som angiven i videon när x=-1. Punkten borde istället bli (-1,3) således borde linjens utseende vara annorlunda än den ritad i videon om man ska följa den tredje olikheten y≤-x+4.

    Tack på förhand.

    Pattie
    1. Hej
      Det är viktigt att tänka där på att vi har positiva $x=1$ men att det i funktionen $y=-x+4$ finns ett negativt tecken framför $x$ så att det just där blir $-1$.
      Hade $x=(-1)$ där så hade istället det blivit $y=-(-1)+4=+1+4=5$

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: