...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Linjär approximation

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Linjär approximation

Ibland kan det vara svårt att bestämma värdet för en funktion då denna kan vara komplicerad eller att man inte har tillgång till en räknare. Då kan man bestämma ett ungefärligt funktionsvärde med hjälp av linjär approximation.

Idén här är att man bestämmer ekvationen för en tangent med hjälp av bland annat derivata och sedan bestämmer ett närmevärde med hjälp av tangenten till det sökta funktionsvärdet.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Härledning av tangentens ekvation

linjar-approximation

I figuren ovan är en tangent $L(x)$ till funktionen $f(x)$ utritad i punkten $ (a, f(a)) $. Denna tangent kan bestämmas på formen $ y = kx+m $. Här vill vi skriva tangentens ekvation allmänt men också på ett vis som gör det enkelt för oss att bestämma närmevärden med hjälp av denna. Vi kommer därför att skriva om tangentens ekvation på slutet så att denna blir enklare att använda senare.

Här gäller att $ y = f(a) $, $ x = a $ och $ k=f´(a) $. Vi söker nu m – värdet:

$  f(a) = f´(a)⋅a+m ⇔ $
$  m=  f(a) – f´(a)⋅a $

Vi kan nu skriva L(x) = kx+m som
$ L(x) =f´(a)⋅x+f(a) – f´(a)⋅a = $
$ f(a) + f´(a)(x-a)$

En tangent $ L(x) $ till en funktion $f(x)$ kan allmänt skrivas som

$L(x) = f(a) + f´(a)(x-a) $

Exempel på linjär approximation

Vi kan nu använda oss av tangentens ekvation på allmän form form att kunna bestämma närmevärden för funktionsvärden. Viktigt att känna till här är att vi får mindre eller större fel när vi gör denna approximation.

Exempel 1

Bestäm en linjär approximation till $ f(x) = \frac{8}{x} $ kring $ x = 2 $. Bestäm sedan ett närmevärde till $ f(2,01) $ med hjälp av approximationen och beräkna felet som uppstår med en räknare.

Lösning:

$ f(2) = \frac{8}{2} = 4 $

$ f´(x) = -\frac{8}{x^2} $
$ f´(2) =-\frac{8}{4} = -2  $

Vi kan nu skriva tangenten som $ L(x) = 4 + (-2)(x-2) = 4 – 2(x-2) $.

Vi kan nu beräkna närmevärdet till $ f(2,01) = 4-2(2,01-2)= $ $ 4-2⋅0,01=4-0,02=3,98 $

Om vi beräknar $ f(2,01) $ med räknare ges svaret $ f(2,01)≈3,9800995 $

Felet blir därmed ungefärligt $3,9800995-3,98 = 0,0000995$

Exempel i videon

  • Använda att $\sqrt{4} = 2$ och funktionen $f(x) = \sqrt{x}$ för att bestämma ett närmevärde till $\sqrt{5}$. Bestäm också felet vi får med hjälp av räknare.
  • Bestäm utan räknare ett närmevärde till $f(0,04)$ om $f(x) = e^{4x}$. Bestäm sedan $f(0,04)$ med en räknare och ange felet.

Kommentarer

Adane Hailu

Hej!
Fråga nummer 7.
Varför subtraherar vi från närmevärde den exakta värden, alltså för att få felet måste vi subtraherar från exakt värden eller? Tack!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det du vill ha är differensen mellan det exakta värdet och närmevärdet. För att få det så är det enklaste att ta det största av de två och subtrahera med det andra.
    Då får du ett positivt svar och därmed skillnaden mellan dem.

Janne

Ni har ett räkne fel vid tiden 08:29 inom parantesen 4(x-4) där skall väl stå 4(x-0)??

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Ja, a=0 så det står fel där i videon. Vi har korrigerat videon nu.
    Tack för att du sade till om detta!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (5)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm tangentens ekvation i $x=2$ då $f(x) = 3x^2$

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    I figuren är en tangent utritad som tangerar $ f(x) = x^3+3x^2 $ i punkten A. Bestäm tangentens ekvation på formen $ y=kx+m $. linjar-approximation-exempel

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Använd att $\sqrt{9} = 3$ och bestäm ett närmevärde med fyra decimaler till $ \sqrt{8} $ med hjälp av linjär approximation.

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Använd svaret du fick från fråga $3$ och en räknare för att bestämma felet med fyra decimaler. (Beräkna $ \sqrt{8} $ med hjälp av en räknare och jämför med svaret på den linjära approximationen)

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm felet med med hjälp av en räknare i uppgift $5$. (Använd radianer som vinkelmått.)

    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Bestäm en linjär approximation till $ f(x) = e^{2x}⋅sin(x) $ kring $ x = 0 $ och använd denna till att beräkna $f(0,02)$ utan räknare.

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Låt $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}\cdot ln\left(x\right)}{2}$ƒ (x)=x·ln(x)2  . Bestäm ett närmevärde till $f\left(1,2\right)$ƒ (1,2) med hjälp av linjär approximation kring punkten $x=1$x=1. Ange felet med fem decimaler i textrutan nedan.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Ekvationen $4\cdot sin\left(\frac{x}{2}\right)+x=\sqrt{e^{\frac{x}{3}}}-x$4·sin(x2 )+x=ex3 x har en lösning nära $x=0$x=0. Bestäm ett närmevärde till lösningen med hjälp av linjär approximation.

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar