Linjär approximation - Ta fram närmevärden till funktioner

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 5

Linjär approximation

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videon går vi igenom hur du kan beräkna närmevärden till funktioner med hjälp av linjär approximation där man använder tangenter till kurvan för att få fram närmevärden.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 500+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 3500+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 KR
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
3 votes, average: 3,67 out of 53 votes, average: 3,67 out of 53 votes, average: 3,67 out of 53 votes, average: 3,67 out of 53 votes, average: 3,67 out of 5
3
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
4

Text

Exempel i videon

  • Använda att $\sqrt{4} = 2$ och funktionen $f(x) = \sqrt{x}$ för att bestämma ett närmevärde till $\sqrt{5}$. Bestäm också felet vi får med hjälp av räknare.
  • Bestäm utan räknare ett närmevärde till $f(0,04)$ om $f(x) = e^{4x}$. Bestäm sedan $f(0,04)$ med en räknare och ange felet.

Linjär approximation

Ibland kan det vara svårt att bestämma värdet för en funktion då denna kan vara komplicerad eller att man inte har tillgång till en räknare. Då kan man bestämma ett ungefärligt funktionsvärde med hjälp av linjär approximation.

Idén här är att man bestämmer ekvationen för en tangent med hjälp av bland annat derivata och sedan bestämmer ett närmevärde med hjälp av tangenten till det sökta funktionsvärdet.

Härledning av tangentens ekvation

linjar-approximation

I figuren ovan är en tangent $L(x)$ till funktionen $f(x)$ utritad i punkten $ (a, f(a)) $. Denna tangent kan bestämmas på formen $ y = kx+m $. Här vill vi skriva tangentens ekvation allmänt men också på ett vis som gör det enkelt för oss att bestämma närmevärden med hjälp av denna. Vi kommer därför att skriva om tangentens ekvation på slutet så att denna blir enklare att använda senare.

Här gäller att $ y = f(a) $, $ x = a $ och $ k=f´(a) $. Vi söker nu m – värdet:

$  f(a) = f´(a)⋅a+m ⇔ $
$  m=  f(a) – f´(a)⋅a $

Vi kan nu skriva L(x) = kx+m som
$ L(x) =f´(a)⋅x+f(a) – f´(a)⋅a = $
$ f(a) + f´(a)(x-a)$

En tangent $ L(x) $ till en funktion $f(x)$ kan allmänt skrivas som

$L(x) = f(a) + f´(a)(x-a) $

Exempel på linjär approximation

Vi kan nu använda oss av tangentens ekvation på allmän form form att kunna bestämma närmevärden för funktionsvärden. Viktigt att känna till här är att vi får mindre eller större fel när vi gör denna approximation.

Exempel 1

Bestäm en linjär approximation till $ f(x) = \frac{8}{x} $ kring $ x = 2 $. Bestäm sedan ett närmevärde till $ f(2,01) $ med hjälp av approximationen och beräkna felet som uppstår med en räknare.

Lösning:

$ f(2) = \frac{8}{2} = 4 $

$ f´(x) = -\frac{8}{x^2} $
$ f´(2) =-\frac{8}{4} = -2  $

Vi kan nu skriva tangenten som $ L(x) = 4 + (-2)(x-2) = 4 – 2(x-2) $.

Vi kan nu beräkna närmevärdet till $ f(2,01) = 4-2(2,01-2)= $ $ 4-2⋅0,01=4-0,02=3,98 $

Om vi beräknar $ f(2,01) $ med räknare ges svaret $ f(2,01)≈3,9800995 $

Felet blir därmed ungefärligt $3,9800995-3,98 = 0,0000995$

Kommentarer

  1. Ni har ett räkne fel vid tiden 08:29 inom parantesen 4(x-4) där skall väl stå 4(x-0)??

    Janne
    1. Hej
      Ja, a=0 så det står fel där i videon. Vi har korrigerat videon nu.
      Tack för att du sade till om detta!

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: