Fördjupning av Kontinuerliga funktioner - Derivata (Ma 3) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Kontinuerliga Funktioner – Fördjupning

Kontinuerliga funktioner

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videon fördjupar vi begreppet kontinuerliga funktioner. Det är inte riktigt så enkelt som att man bara kan se om grafen är sammanhängande.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
8 votes, average: 4,50 out of 58 votes, average: 4,50 out of 58 votes, average: 4,50 out of 58 votes, average: 4,50 out of 58 votes, average: 4,50 out of 5
8
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

10
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
MEDELPOÄNG
ALLA
1

Text

Kontinuerliga funktioner

I introduktionslektionen om kontinuerliga funktioner sa vi att man förenklat kan säga, att den kontinuerlig funktionens graf går att rita utan att lyfta pennan från papperet. Som en grov förklaring av de kontinuerliga funktionerna kan detta var till hjälp. Men vi sa även att det kan lura oss lite. En funktion som vi måste lyfta på pennan för att kunna rita, kan vara kontinuerlig. Vi ska här ge en fördjupad definition av kontinuerliga funktioner.

Definition av kontinuerliga funktioner

En funktion  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) är en kontinuerlig funktion om den är kontinuerlig i varje punkt i sin definitionsmängd.

Det innebär att en funktion kan vara kontinuerlig i sina olika definierade intervall, även om det finns avbrott definitionsmängden och där med i grafen. Ett exempel på detta är rationella uttryck där nämnaren gör att funktionen inte är definierad för vissa värden för $x$x.

Vi har här funktionen  $f\left(x\right)=\frac{1}{\left(x-3\right)}+4$ƒ (x)=1(x3) +4 

Kontinuerlig funktion

Vi ser att man måste lyfta penna då  $x=3$x=3  för att kunna rita grafen. Men efter som att funktionen inte är definierad för detta $x$x -värde, så är ändå funktionen kontinuerlig, sammanhängande, i sina definierade intervall,  $x>3$x>3 och $x$x$<3$<3. Funktionen uppfyller alltså definitionen för en kontinuerlig funktion.

Däremot är funktionen inte kontinuerlig i punkten $\left(3,\text{ }f\left(3\right)\right)$(3, ƒ (3)) eftersom att den inte har samma funktionsvärde om man närmar sig punkten från höger eller vänster. Från höger går funktionens värde mot positiv oändlighet och från vänster mot den negativa oändligheten.

En funktion är kontinuerlig i $x = c$ om

$ \lim\limits_{x \to c^+} f(x) =\lim\limits_{x \to c^-} f(x) =f(c) $

Så man får tänka ett varv till, innan man lätt avfärdar alla funktioner med avbrott som diskontinuerliga.

Grafer med absolutbelopp

I Ma3c ingår också begreppet absolutbelopp. Dessa funktioner bör man också beakta då man ska undersöka funktionens derivata.

En funktion är bara deriverbar om den är kontinuerlig.

Exempel 1

Är funktionen till grafen deriverbar?

Grafen till en diskontinuerlig funktion

Lösning:

Då funktionen inte är kontinuerlig är den inte heller deriverbar.

En funktion är deriverbar om derivatan är entydig för alla definierade  $x$x -värden.

Men dess utom får funktionen inte gör några plötsliga ”vändningar” för att derivatan ska bli entydig.

Exempel 2

Är funktionen $f\left(x\right)=\left|-3x+1\right|$ƒ (x)=|3x+1|  deriverbar för alla  $x$x ? 

Lösning:

Vi ritar funktionen för att lättare se om funktionen är kontinuerlig. Det är den.

Graf f(x)=I-3x+1I

Är derivatan entydig för alla definierade $x$x -värden?

Funktionen är mycket ”spetsig” i  $x=\frac{1}{3}$x=13  . Om v i närmar oss $x=\frac{1}{3}$x=13  från vänster har vi en negativ derivata och från höger en positiv. Det gör att funktionen inte är deriverbar i $x=\frac{1}{3}$x=13  , då funktionen är kontinuerlig i hela sin definitionsmängd, men inte har ett entydigt gränsvärde i  $x=\frac{1}{3}$x=13  .

Exempel i videon

  • Ange definitionsmängd, avgör om  $f\left(x\right)$ƒ (x) är kontinuerlig samt skissa kurvan till  $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ƒ (x)=1x  .

Kommentarer

  1. Jag skrev a=0,a=4 och det är rätt svar, så varför står det fel?

    Asha Ahmed

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: