...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Kontinuerliga Funktioner - Fördjupning

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Kontinuerliga funktioner

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

I introduktionslektionen om kontinuerliga funktioner sa vi att man förenklat kan säga, att den kontinuerlig funktionens graf går att rita utan att lyfta pennan från papperet. Som en grov förklaring av de kontinuerliga funktionerna kan detta var till hjälp. Men vi sa även att det kan lura oss lite. En funktion som vi måste lyfta på pennan för att kunna rita, kan vara kontinuerlig. Vi ska här ge en fördjupad definition av kontinuerliga funktioner.

Definition av kontinuerliga funktioner

En funktion  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) är en kontinuerlig funktion om den är kontinuerlig i varje punkt i sin definitionsmängd.

Det innebär att en funktion kan vara kontinuerlig i sina olika definierade intervall, även om det finns avbrott definitionsmängden och där med i grafen. Ett exempel på detta är rationella uttryck där nämnaren gör att funktionen inte är definierad för vissa värden för $x$x.

Vi har här funktionen  $f\left(x\right)=\frac{1}{\left(x-3\right)}+4$ƒ (x)=1(x3) +4 

Kontinuerlig funktion

Vi ser att man måste lyfta penna då  $x=3$x=3  för att kunna rita grafen. Men efter som att funktionen inte är definierad för detta $x$x -värde, så är ändå funktionen kontinuerlig, sammanhängande, i sina definierade intervall,  $x>3$x>3 och $x$x$<3$<3. Funktionen uppfyller alltså definitionen för en kontinuerlig funktion.

Däremot är funktionen inte kontinuerlig i punkten $\left(3,\text{ }f\left(3\right)\right)$(3, ƒ (3)) eftersom att den inte har samma funktionsvärde om man närmar sig punkten från höger eller vänster. Från höger går funktionens värde mot positiv oändlighet och från vänster mot den negativa oändligheten.

En funktion är kontinuerlig i $x = c$ om

$ \lim\limits_{x \to c^+} f(x) =\lim\limits_{x \to c^-} f(x) =f(c) $

Så man får tänka ett varv till, innan man lätt avfärdar alla funktioner med avbrott som diskontinuerliga.

Grafer med absolutbelopp

I Ma3c ingår också begreppet absolutbelopp. Dessa funktioner bör man också beakta då man ska undersöka funktionens derivata.

En funktion är bara deriverbar om den är kontinuerlig.

Exempel 1

Är funktionen till grafen deriverbar?

Grafen till en diskontinuerlig funktion

Lösning:

Då funktionen inte är kontinuerlig är den inte heller deriverbar.

En funktion är deriverbar om derivatan är entydig för alla definierade  $x$x -värden.

Men dess utom får funktionen inte gör några plötsliga ”vändningar” för att derivatan ska bli entydig.

Exempel 2

Är funktionen $f\left(x\right)=\left|-3x+1\right|$ƒ (x)=|3x+1|  deriverbar för alla  $x$x ? 

Lösning:

Vi ritar funktionen för att lättare se om funktionen är kontinuerlig. Det är den.

Graf f(x)=I-3x+1I

Är derivatan entydig för alla definierade $x$x -värden?

Funktionen är mycket ”spetsig” i  $x=\frac{1}{3}$x=13  . Om v i närmar oss $x=\frac{1}{3}$x=13  från vänster har vi en negativ derivata och från höger en positiv. Det gör att funktionen inte är deriverbar i $x=\frac{1}{3}$x=13  , då funktionen är kontinuerlig i hela sin definitionsmängd, men inte har ett entydigt gränsvärde i  $x=\frac{1}{3}$x=13  .

Exempel i videon

  • Ange definitionsmängd, avgör om  $f\left(x\right)$ƒ (x) är kontinuerlig samt skissa kurvan till  $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ƒ (x)=1x  .

Kommentarer

Evelina Persson

Hej, i sista frågan blir det en bugg i formeln och vi förstår inte på grund av dollartecknet.

    Anna Admin (Moderator)

    Hej Evelina, tack för att du uppmärksammade oss på detta. Det är nu korrigerat.
    Lycka till med funktionerna!

Asha Ahmed

Jag skrev a=0,a=4 och det är rätt svar, så varför står det fel?


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (7)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Är grafen kontinuerlig?

    Linjediagram

    Svara med Ja eller Nej.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Är grafen kontinuerlig?

    Grafen till en diskret funktion

    Svara med Ja eller Nej.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Är grafen kontinuerlig?

    Grafen till en rationell funktin

    Svara med Ja eller Nej.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken är värdemängden för  $y=x^2-9$y=x29 ?

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Frågan ingå i Ma3c.

    Är funktionen $f\left(x\right)=\left|2x-1\right|$ƒ (x)=|2x1| deriverbar för alla $x$x ? 

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Fråga ingår i Ma3c.

    Figuren visar grafen till en funktion. Är funktionen deriverbar för alla $x$x?

    Grafen till en diskontinuerlig funktion
    Välj det alternativ du anser stämmer bäst.

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Fråga ingår i Ma3c.

    Figuren visar grafen till en funktion. Är funktionen deriverbar för alla $x$x?

    Grafen till en rationell funktion

    Välj det alternativ du anser stämmer bäst.

    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken är defintionsmängden för  $f\left(x\right)=\sqrt{4-x}$ƒ (x)=4x ?

    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M1
    R1
    K

    Skissa grafen till funktionen  $f(x)=$ƒ (x)=$\frac{1}{2-x}$12x   för hand, genom att först beräkna funktionsvärdet för väldigt stora och små  $x$x -värden.

    Är funktionen kontinuerlig?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R
    K1

    För vilket värde på $a$a är funktionen $f(x)$ƒ (x) inte kontinuerlig?

     $f(x)=$ƒ (x)=  $\frac{x^2-ax+9}{(a^2-4a)}$x2ax+9(a24a)  

    Svara på formen ”a=siffra och a=siffra”

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.